Энтропия. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Энтропия (от греч. entropia-поворот, превращение)- понятие, впервые введённое в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. В статистической физике Энтропия служит мерой вероятности осуществления к--л. макроскопич. состояния, в теории информации-мерой неопределённости к--л. опыта (испытания), к-рый может иметь разл. исходы. Эти трактовки энтропии имеют глубокую внутр. связь. Напр., на основе представлений об информационной энтропии можно вывести все равновесные статистич. распределения (см. Гиббса распределения).

Энтропия в термодинамике была введена Р. Клаузиусом (R. Clausius, 1865) на основе второго начала термодинамики, к-рое можно сформулировать математически в виде Клаузиуса неравенства

. Интеграл берётся по замкнутому циклич. процессу, при к-ром система получает (или у неё отбирают) малые количества теплоты dQ при соответствующих значениях абс. температуры Т. Знак равенства относится к обратимым процессам (р а в е н с т в о К л а у з и у с а). Из равенства Клаузиуса следует, что для обратимого процесса

есть полный дифференциал функции состояния S, называемый Э. (дифференциальное определение Э.). Разность Э. системы в двух произвольных состояниях А и В (заданных, напр., значениями температур и объёмов) равна

(интегральное определение Э.). Интегрирование здесь ведётся вдоль пути любого квазистатич. обратимого процесса, связывающего состояния А и В. Т. о., из второго начала термодинамики следует, что существует однозначная функция состояния S, к-рая при обратимых адиабатич. процессах (dQ =0) остаётся постоянной. Из неравенства Клаузиуса вытекает, что при необратимых процессах

поэтому в адиабатически изолированных системах (см. Термодинамическая система)при необратимых процессах Э. может только возрастать (закон возрастания Э.).

т. е. сообщаемое системе кол-во теплоты равно сумме приращения внутренней энергии dU и совершаемой системой элементарной работы, где а_i - внеш. параметры состояния, A_i - сопряжённые им внутр. параметры. Когда единственным внеш. параметром является объём системы V, элементарная работа равна pdV, где р-давление. С учётом первого начала термодинамики дифференциальное определение Э. принимает вид

откуда следует, что Э. представляет собой потенциал термодинамический при выборе в качестве независимых переменных внутр. энергии U и внеш. параметров а_i. Частные производные Э.

определяют уравнения состояния системы. Уравнение (3) определяет абсолютную температурную шкалу.

Ф-ла (2) определяет энтропию лишь с точностью до аддитивной постоянной (т. е. оставляет начало отсчёта Э. произвольным). Абс. значение энтропии можно установить с помощью третьего начала термодинамики, согласно к-рому принимается S= 0 при Т=0.

Энтропия в неравновесной термодинамике может быть определена для таких неравновесных состояний, когда можно ввести представление о локальном равновесии термодинамическом в отд. подсистемах (напр., в малых, но мак-роскопич. объёмах). По определению, Э. неравновесной системы равна сумме Э. её частей, находящихся в локальном равновесии. Термодинамика неравновесных процессов позволяет более детально исследовать процесс возрастания Э. и вычислить кол-во Э., образующееся в единице объёма в единицу времени вследствие отклонения от тер-модинамич. равновесия - производство энтропии. Для пространственно неоднородных неравновесных систем второе начало термодинамики может быть записано в виде уравнения баланса для плотности

энтропии S(x, t), где х - радиус-вектор физически бесконечно малого элемента среды:

J_S(x, t) - вектор потока Э.; s(x,t)>=0 - локальное производство энтропии. Полное производство Э. равно интегралу от s(х, t)по объёму системы. Если термодинамич. сил ы X_i(x, t)(градиенты температуры, хим. потенциалов компонентов, массовой скорости и т. д.) создают в системе сопряжённые им потоки J_i(x, t)(теплоты, вещества, импульса и др.), то в такой системе

. Если величины X_i, J_i - векторы или тензоры, то в выражении для s подразумевается их полная свёртка. Потоки J_i связаны с термодинамич. силами X_k линейными соотношениями

, где L_ik- онсагеровские кинетические коэффициенты .Следовательно, локальное производство Э.

выражается квадратичной формой от термодинамич. сил.

Энтропия в равновесной статистической физике зависит от выбора статистич. ансамбля. Для микроканонич. ансамбля Гиббса (см. Гиббса распределения ),описывающего равновесное состояние изолированных систем, Э. выражается через статистический вес состояния W(

, N, V):

где W(

, N, V) - число квантовомеханич. состояний, энергия к-рых

лежит в узком интервале

вблизи значения

системы из N частиц в объёме V. В классич. статистич. физике W-величина безразмерного объёма в фазовом пространстве системы при заданных

, N, V:

где dГ_N = dpdq/N!h^3N; dpdq - элемент объёма в 6N-мерном фазовом пространстве системы из N частиц (р - обобщённый импульс; q - обобщённая координата). Интегрирование ведётся в пределах

- Гамильтона функция системы из N частиц). Для канонич. ансамбля Гиббса, описывающего равновесное состояние систем в термостате, Э. выражается через каноническое распределение Гиббса f(p, q):

Аналогичным образом определяется энтропия для систем с переменным числом частиц в термостате через большое каноническое распределение Гиббса f_N(p, q):

В квантовой статистике энтропия для всех равновесных ансамблей выражается через статистич. оператор (или матрицу плотности) :

Символ Sp

означает сумму диагональных матричных элементов оператора

; суммирование ведётся по волновым функциям состояний допустимой симметрии относительно перестановки частиц.

Вдали от областей сосуществования фаз и критич. точек значения Э., вычисленные с помощью разл. ансамблей Гиббса, совпадают с термодинамической энтропией в пределе N

, V

при N/V= const (см. Термодинамический предел).

Информационная энтропия

Энтропия в статистич. физике связана с информационной энтропией, к-рая служит мерой неопределённости сообщений (сообщения описываются множеством величин х₁ х₂, ..., х_n и вероятностей Р₁, Р₂, ...,Р_n их появления). Для дискретного статистич. распределения вероятностей P_k информационной Э. (с точностью до постоянного множителя) наз. величину

Величина S_u = 0, если к--л. из P_k равна 1, а остальные - нулю, т. е. информация достоверна, неопределённость отсутствует. Э. принимает наибольшее значение, когда все P_k одинаковы (неопределённость в информации максимальна). Непрерывной случайной величине х с функцией распределения f(x)соответствует информационная Э.

Информационная энтропия, как и термодинамическая, обладает свойством аддитивности (энтропия неск. сообщений равна сумме Э. отд. сообщений). Из вероятностной трактовки Э. в статистич. физике выводятся осн. равновесные распределения: канонич. распределение Гиббса, к-рое соответствует макс. значению информационной энтропии при заданной ср. энергии, и большое канонич. распределение Гиббса - при заданных ср. энергии и ср. числе частиц в системе.

Энтропия в неравновесной статистической физике зависит от способа описания неравновесного состояния системы. Напр., неравновесное гидродинамич. состояние од-нокомпонентных газов и жидкостей определяется неоднородными распределениями ср. значений плотностей энергии <

(x)>^t, числа частиц <

(x)>^t и импульса <

(x)>^t, т. е. плотностей интегралов движения. Динамические переменные

в классич. случае являются функциями координат и импульсов частиц, а в кван. случае-соответствующими операторами. Операция усреднения <...>^t выполняется с неравновесной функцией распределения f(p, q, t), удовлетворяющей Лиувилля уравнению дf/дt = {H, f}; Н - гамильтониан системы, {Н, f} - Пуассона скобка. В квантовом случае в уравнении Лиувилля надо заменить f на неравновесный статистич. оператор p^{^}(t), а классич. скобку Пуассона - на квантовую.

Э. в неравновесной статистич. физике пропорциональна (S = kS_u)максимуму информационной Э. S_u=- <ln f>^t при заданных ср. значениях динамических переменных, выбранных для описания неравновесного состояния. Напр., если неравновесное состояние характеризуется ср. значениями

, то максимуму информац. Э. соответствует локально-равновесное распределение

где

-плотность энергии в сопровождающей системе координат, движущейся с массовой скоростью u(x, t). Функционал Месье - Планка Ф(t) определяется из условия нормировки f_l и зависит от b(x, t), b(х, t)m(x, t), u(x,t), где b(x, t) - обратная локальная темп-pa, m(x, t) - локальный хим. потенциал. В этом случае неравновесная Э.

Операция <...>^t_l означает усреднение по распределению (13), причём

Основная идея неравновесной термодинамики состоит в том, что термодинамич. равенства должны выполняться для элемента среды, движущегося с массовой скоростью. Из (15) следует, что для этого необходимо, чтобы

Равенства (16) являются условиями самосогласованного выбора параметров b(x, t), m(x,t), u(x, t)и определяют их зависимость от неравновесных ср. значений <H^{^}(x)>^t ,

Локально-равновесное распределение служит вспомогательным распределением для определения понятия Э. неравновесного состояния, но не описывает необратимых переноса явлений. Потоки энергии и импульса, вычисленные с помощью f_l (t), соответствуют потокам этих величин в идеальной гидродинамике. Неравновесная функция распределения может быть получена как формальное решение ур-ния Лиувилля с нач. условием локального равновесия в нек-рый момент времени t₀: f(t; t₀) = exp [- iL(t - t₀)] f_l(t₀). Оператор Лиувилля L определяется через скобки Пуассона: iLf= {H, f}. Это решение зависит от нач. состояния, к-рое реальная система должна "забывать" из-за корреляций между элементами среды. Можно считать, что пучок фазовых траекторий с различными t₀(-

<t₀<t)реализует ансамбль Гиббса для неравновесных состояний. Предполагая, что нач. состояния распределены с экспоненциальной вероятностью T^-1ехр[-(t - t₀)/Т] (гипотеза об априорных вероятностях), получим неравновесную функцию распределения

Т^-1 = e

+0 после термодинамич. предельного перехода при вычислении средних. функция распределения (17) удовлетворяет уравнению Лиувилля с малым источником в правой части e

+0. Кроме того, предполагаются выполненными условия самосогласования (16).

С помощью функции распределения (17) можно усреднить уравнения движения для

и получить теплопроводности уравнение и Навье - Стокса уравнение, в к-рых коэффициенты тепло-проводности и вязкости представлены в виде пространственно-временных корреляционных функций потоков энергии и импульса (Грина-Кубо формулы). Отсюда следует уравнение баланса (5) для плотности Э. и другие соотношения неравновесной термодинамики.

В неравновесной статистич. физике закон возрастания Э. тесно связан со свойством симметрии уравнения Лиувилля относительно обращения времени. Малый член ~e

+0 в уравнении (18) нарушает эту симметрию, снимая вырождение, т. е. отбирая запаздывающее решение уравнения Лиувилля. Такое решение приводит к s>0 в уравнении (5), т. е. делает возможным возрастание Э. При этом существенно, что e

+0 после термодинамич. предельного перехода. Другое решение уравнения Лиувилля (c e

-0) приводит к убыванию Э. и должно быть отброшено как нефизическое.

Э. для других процессов, отличных от гидродинамических, может быть определена с помощью к в а з и р а в н ов е с н о г о с о с т о я н и я, к-рое соответствует максимуму информационной Э. при заданных средних значениях не-к-рого набора динамических переменных, характеризующих неравновесное состояние. В общем случае квазиравновесное состояние может сильно отличаться от локального равновесия.

Понятие Э. используется также в классич. механике как характеристика хаоса динамического в системах с неустойчивостью движения-экспоненциальной расходимостью близких в нач. момент траекторий. Количественной мерой неустойчивости таких систем служит э н т р о п и я К р ыл о в а- К о л м о г о р о в а - С и н а я, или К-э н т р о п и я. Для широкого класса систем K-энтропия выражается через положительные показатели Ляпунова по формуле

Если положительные показатели Ляпунова отсутствуют и, следовательно, движение устойчиво, то K-энтропия равна нулю.

Литература по энтропии

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.