В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз
на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей
электрической системой, способной совершать свободные колебания, является
последовательный RLC-контур (рис. 1).
Рисунок 1. Последовательный
RLC-контур.
Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения
. После
переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через
резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс
может иметь колебательный характер. Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не
содержащей внешнего источника тока, записывается в виде
где – напряжение на конденсаторе, q –
заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого
соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Уравнение, описывающее свободные
колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду, если в качестве
переменной величины выбрать заряд конденсатора q(t):
Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной
энергии (R = 0). Тогда
(*)
Здесь принято обозначение: Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в
отсутствие затухания. Оно в точности совпадает по виду с уравнением свободных
колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения.
Рис. 2 иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и
механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q(t)
конденсатора и смещения x(t) груза от положения равновесия, а также графики тока
J(t) и скорости груза v(t) за один период колебаний.
Рисунок 2. Аналогия процессов свободных
электрических и механических колебаний.
Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом
колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между
электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице
1.
Электрические величины
Механические величины
Заряд конденсатора
q(t)
Координата
x(t)
Ток в цепи
Скорость
Индуктивность
L
Масса
m
Величина, обратная электроемкости
Жесткость
k
Напряжение на конденсаторе
Упругая сила
kx
Энергия электрического поля конденсатора
Потенциальная энергия пружины
Магнитная энергия катушки
Кинетическая энергия
Магнитный поток
LI
Импульс
mv
Таблица 1.
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются
гармоническими, то есть происходят по закону
q(t) = q0cos(ωt + φ0).
Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную
частоту свободных колебаний
Амплитуда q0 и начальная фаза φ0 определяются начальными
условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из
состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в
контуре (рис. 1) после переброса ключа K в положение 2,
q0 = Cε, φ0 = 0. При свободных колебаниях происходит
периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в
магнитную энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь
энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:
Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс
свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За
каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре,
превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими
(рис. 3).
Рисунок 3. Затухающие колебания в
контуре.
Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям
груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо
пропорционально скорости тела: Fтр = – βv. Коэффициент β в этой
формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Уравнение свободных
колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид
(**)
Физическая величина δ = R / 2L называется
коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения
является функция
которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний.
Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал
времени в течение которого амплитуда
колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем
затухания Ранее было введено понятие добротности Q колебательной системы:
где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ.
Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные
колебания, может быть дано энергетическое определение:
Для RLC-контура добротность Q выражается формулой
Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно
порядка нескольких десятков и даже сотен. Следует отметить, что собственная
частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью
несколько меньше собственной частоты ω0 идеального контура с теми же значениями
L и C. Но при Q ≥ (5 – 10) этим различием можно
пренебречь.
Знаете ли Вы, что, как и всякая идолопоклонническая религия, релятивизм представляет собой инструмент идеологического подчинения одних людей другим с помощью абсолютно бессовестной манипуляции их психикой для достижения интересов определенных групп людей, стоящих у руля этой воровской машины? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.