Дисперсия волн. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Дисперсия волн - в линейных системах зависимость фазовой скорости гармонич. волн от частоты (длины волны) и, как следствие, изменение формы произвольных (негармонич.) волновых возмущений в процессе их распространения. Термин "дисперсия" (от лат. dispergo - рассеивать, развеивать, разгонять) был введён в физику И. Ньютоном (I. Newton) в 1672 при описании разложения пучка белого света, преломляющегося на границе раздела сред. Волновая концепция позволила объяснить это явление зависимостью скорости распространения монохроматич. волн от частоты (цвета). В результате под Д. в. стали понимать именно эту зависимость, относя к следствиям Д. в. такие физ. эффекты, как расплывание импульсов, различие фазовой и групповой скоростей, неравномерное движение волновых фронтов и т. д. Иногда термин "Д. в." используется для обозначения разложения волнового поля в гармонич. спектр (напр., при прохождении волны через дифракц. решётку). Последующая эволюция понятия Д. в. связана с его обобщениями на поглощающие, активные, параметрические и нелинейные системы (среды, волноводы, поверхности жидкостей и т. д.).

Традиц. описание Д. в. основано на представлении произвольного волнового поля в линейных однородных системах в виде совокупности гармонич. нормальных волн . Циклич. частоты и волновые векторы k нормальных волн связаны дисперсионным уравнением

в изотропных средах

- волновое число. Д. в. имеет место, если соотношение (1) не сводится к линейному и однородному. Ключевыми понятиями при анализе процесса Д. в. являются фазовые

и групповые v_гр скорости. Они различаются между собой (в анизотропных средах не только по величине, но и по направлению); совпадают лишь при отсутствии Д. в., когда

. Существует нек-рый разнобой в терминологии, характеризующей Д. в. Так, в классич. оптике Д. в. считается нормальной (или отрицательной), если фазовая скорость уменьшается с ростом частоты, и аномальной (или положительной), если

. Однако в квантовой оптике понятие отрицательной Д. в. относят к случаю распространения света в неравновесных средах с отрицательной силой осцилляторов; а в электронике Д. в. наз. аномальной, если фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны (обратные волны).

Рис. 1. Цуг на глубокой воде Наблюдатель

в каждый момент времени видит три гребня; однако, измеряя их число неподвижным датчиком, он зарегистрирует шесть всплесков.

Строго говоря,

определяются для квазигармонич. волновых пакетов (длинных цугов волн), групповая скорость примерно совпадает со скоростью движения огибающей цуга, а фазовая-со скоростью перемещения вариаций поля (рис. 1). Искажениями огибающей цуга и его фазовой структуры можно пренебречь только на ограниченных участках трассы распространения длиной

, где l₀-исходная длина волнового пакета. На длинных трассах

цуг расплывается, его характерный размер растёт пропорционально пройденному пути:

(рис. 2). В непоглощающих (и слабопоглощающих) средах v_гр совпадает со скоростью переноса энергии, а следовательно, и со скоростью передачи информации, закодированной с помощью амплитудной или фазовой модуляции.

Рис. 2. Пример расплывания волнового пакета. Сначала огибающая импульса искажается в окрестностях наиболее крутых участков (фронтов). При больших временах импульс, продолжая передвигаться в среднем с групповой скоростью, расширяется, а форма его огибающей приближённо повторяет форму пространственного спектра исходного сигнала.

Рис. 3. Схема разбегания волн на глубокой воде от одиночного всплеска.

В случае произвольных волновых возмущений, не близких к гармоническим, Д. в. может приводить к сложным явлениям. Напр. при разбегании поверхностных волн на глубокой воде от одиночного одномерного всплеска (рис. 3) число волновых гребней постоянно увеличивается; новые гребни зарождаются парами, один из них равноускоренно удаляется от места всплеска, постепенно расплываясь, другой, становясь круче, асимптотически приближается к оси симметрии всплеска. Ускорение первого гребня гравитац. волны а₁=0,325g, второго а₂=0,069g, где g - ускорение свободного падения.

Рис. 4. Распространение квазимонохроматического сигнала в многомодовом волноводе.

При неоднозначной зависимости

выделяют отд. ветви нормальных волн - моды .В однородных средах они различаются либо поляризацией (напр., обыкновенные и необыкновенные волны в анизотропных кристаллах или в замагниченной плазме), либо природой формирующих волну взаимодействий (напр., ленгмюровские и ионно-звуковые волны в плазме). В волноводных системах, кроме того, моды различаются поперечной структурой полей. Каждой моде могут быть сопоставлены фазовые и групповые скорости. Одиночный импульсный сигнал, запущенный в многомодовую систему, распадается на серию отд. сигналов, распространяющихся с разл. групповыми скоростями (рис. 4).

Д. в. объясняется инерционностью и нелокальностью формирующих волну взаимодействий. Практически во всех реальных системах отклик на кратковременное сосредоточенное воздействие растянут во времени и размыт в пространстве. Соответствующие характерные времена инерционности

и масштабы нелокальности

определяются либо микропроцессами в диспергирующей среде, либо переотражениями на макроскопич. неоднородностях и границах волноводной системы. В ряде случаев эффекты инерционности и нелокальности проявляются независимо; при этом различают временную и пространственную дисперсию соответственно. Однако в нек-рых системах инерционность и нелокальность неразрывно взаимосвязаны, и тогда характер Д. в. определяется др. физ. величинами, имеющими, следовательно, более сложную размерность. Напр., для гравитационных поверхностных волн на глубокой воде параметром дисперсии является ускорение свободного падения

, для капиллярных волн - отношение коэф. поверхностного натяжения

к плотности жидкости

, для волн де Бройля - отношение постоянной Планка к массе частицы

Существует обширный класс явлений, описание к-рых не сводится к изучению свойств отд. гармонич. волн, ибо последние просто могут не являться собств. движениями в соответствующих системах. В этих случаях понятие Д. в. не допускает универсального определения, хотя всякий раз оно в той или иной степени оказывается связанным с инерционностью и нелокальностью взаимодействий.

В линейных системах с потерями волновые возмущения также могут быть представлены как совокупность экспоненциальных нормальных волн

, но уже с комплексными значениями частот

и волновых векторов k, мнимые части к-рых определяют временные

и пространственные Г декременты затухания

. Д. в. приводит к селективности потерь, т. е. к их зависимости от

или k. Декремент

и действит. часть частоты

в силу причинности принципа не могут быть произвольными функциями k - соответствующие ограничения даются дисперсионными соотношениями.

В плавно неоднородных средах волновое поле достаточно хорошо описывается в приближении геометрической оптики метода, т. е. его можно представить как совокупность волн вида

. Аналогом дисперсионного ур-ния (1) в данном случае является ур-ние эйконала

, связывающее частоту

с локальным значением волнового вектора

. Закон дисперсии определяет ур-ния лучей:

В неоднородных средах Д. в. приводит к дополнит. эффекту - зависимости трассы распространения (лучей) от частоты. В системах с изменяющимися во времени параметрами (параметрических колебательных системах), кроме того, вдоль трассы распространения изменяется частотный спектр сигнала. В средах, где характерные размеры неоднородностей сравнимы с масштабами изменения поля, эффекты Д. в. часто нельзя отделить от дифракционных эффектов.

В нелинейных системах суждение о Д. в. может быть составлено на основе представлений об инерционности и нелокальности линейных взаимодействий (соответствующие свойства нелинейных взаимодействий иногда квалифицируют как нелокальность нелинейности). Примером, объединяющим нелинейность и дисперсию, может служить класс физ. явлений, описываемых Кортевега - де Фриса уравнением, впервые полученным (1895) для волн на мелкой воде:

где

- относительное возмущение поверхности, h₀ - глубина водоёма,

. В приближении малых амплитуд

можно пренебречь нелинейностью; тогда ур-нию (3) соответствует дисперсионное ур-ние вида

Как следует из (4), ответственным за Д. в. является последний член в (3). В случае плавных возмущений, характерные масштабы к-рых

, можно пренебречь Д. в., и тогда (3) переходит в ур-ние простой волны, в к-рой амплитуда

постоянна вдоль характеристик

По мере распространения такого плавного возмущения (рис. 5) передний фронт волны становится круче; в отсутствие Д. в. это привело бы в конечном счёте к его обрушению. Однако Д. в. останавливает этот процесс, и волна становится сначала изрезанной, а затем разбивается на серию почти автономных, сохраняющих форму всплесков (солитонов), каждый из к-рых движется со своей скоростью. Существование стационарных нелинейных волн (солитонов и периодич. кноидальных волн) является важным проявлением Д. в., присущим многим нелинейным системам. При этом амплитуда, скорость и характерная длина оказываются связанными нелинейными дисперсионными ур-ниями; соответственно, зависимость скорости стационарной волны от её структурных параметров наз. нелинейной Д. в. Относительно др. дисперсионных эффектов в нелинейных, в т. ч. и диссипативных, средах см. Нелинейные колебания и волны, Бюргерса уравнение, Ударная волна.

Рис. 5. Распространение длинной волны в нелинейной системе с реактивной дисперсией.

Неодномерные волновые возмущения даже в однородных недиспергирующих средах демонстрируют иногда поведение, имитирующее Д. в. Наиб. известным и часто встречающимся примером являются цилиндрич. импульсные сигналы в свободном пространстве, оставляющие за собой бесконечно тянущиеся шлейфы. Эти эффекты также порой относят к Д. в., хотя они не удовлетворяют её канонич. определениям.

Литература по дисперсии волн

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.