Параметрические неустойчивости - неустойчивости колебат. систем и нелинейной волновой среды, возникающие
в результате пространственновременной модуляции параметров, характеризующих собств.
колебания системы или среды. В случае нелинейной волновой среды модуляция совершается
волнами конечной амплитуды - волнами накачки. Параметрическая неустойчивость обычно имеют
пороги по амплитудам волн накачки e. Если eпревышает
определённое пороговое значение, то собств. мода начинает расти с теплового уровня,
поглощая энергию волны накачки. При пространственновременном резонансе возникает
т. н. распадная П. н. даже при небольших амплитудах волны накачки, но больше пороговой.
При больших амплитудах накачки может возникнуть нерезонансная мода в случае, когда
одна из волн, образующихся при распаде, не существует в среде в отсутствие накачки.
Примером типичной нерезонанснон П. н. является модуляционная неустойчивость. Другим
примером может служить ситуация, когда одна из волн, возникающих в результате
распада, сильно затухает, а вторая волна не затухает. К П. н. относят и неустойчивость
модифициров. распада - апериодич. неустойчивость, возникающую также при больших
амплитудах
и определённом
соотношении волновых векторов k и k0, и взрывную неустойчивость
волн, возникающую в средах, где имеются волны с отрицат. энергией. Важную
роль в параметрич. процессах в низкотемпературной плазме играет т. н. тепловая
параметрическая неустойчивость.
В простейшем случае, когда можно пренебречь влиянием волны накачки на собств. частоты среды, условия резонанса имеют вид
wk0 = k1 + k.,; в = 1,2,3, (1)
где
,
k0 - частота и волновой вектор волны накачки, a
k1;
k2
- соответствующие величины для волн, возбуждаемых при неустойчивости. В
случае n = 1 имеет место резонанс с основной гармоникой волны накачки;
при п = 2, 3... - резонанс с кратными гармониками. Неустойчивости,
определяемые (1), наз. распадными в связи с тем, что соотношения (1) при
умножении на
совпадают с условиями сохранения энергии и импульса при распаде квазичастиц-волн
(
k0
или гармоник) на две волны-квазичастицы (
k1;
k2). Первым теоретически предсказанным и детально исследованным
в 1962 типом распадной П. н. явилась неустойчивость ленгмюровской волны
(распадающейся на ленгмюровскую и ионно-звуковую: l = l' + s). Распадная
П. н. лежит также в основе вынужденного ком-бинац. рассеяния (см. Вынужденное
рассеяние света)и определяет его особенности. К ннм относятся экспоненциальное
(а не линейное!) нарастание амплитуд не только рассеянной, но и падающей
волн. Это является прямым следствием положит. обратной связи рассеянной
и падающей волн, распространяющихся на фоне волны накачки. Ур-ния, описывающие
такую связь, можно интерпретировать как пространственно-временное обобщение
Хилла
уравнений, в простейшем случае - ур-ния Матьё для параметрич. резонанса
осцилляторов. Для волновой среды, такой, как плазма, одномерный (по х)аналог ур-ния Матьё (см. Матъё функции)имеет вид
где
- величина, описывающая волну (напр., потенциал электрич. поля), vф-
фазовая скорость волны в среде при отсутствии волны накачки, e
- амплитуда волны накачки в относит. единицах. Подобно тому как в ур-нии
Матьё описывается временная модуляция частоты осциллятора, здесь описывается
пространственно-временная модуляция фазовой скорости волны. Чтобы найти
условия параметрич. возбуждения пары элементарных волн, удобно перейти
к Фурье-компонентам по пространств. переменным:
Тогда ур-ние (2) переходит в систему ур-ний для связанных гармонич. осцилляторов:
где осциллятор
связан
с осцилляторами
и т. д.; при этом правую часть (3) можно рассматривать как зависящую от
времени вынуждающую силу. Если амплитуда
мала
то возникает слабая связь осцилляторов
и
т. д., не меняющая существенно частоту осцилляторов, к-рые осциллируют
с собств. частотами
Однако если вынуждающая сила попадает в резонанс с собств. частотой осциллятора,
то он может возбуждаться. Так, напр., если резонансным является первое
слагаемое правой части (3), для к-рого условие резонанса имеет вид
то вместо бесконечной системы ур-ний для связанных осцилляторов в первом
приближении по малой связи
получаем укороченную систему для двух осцилляторов
и
связанных
условиями резонанса (1) при п = 1:
(* означает комплексное сопряжение). Решение (4) ищется в виде
где аi(t) - медленно меняющиеся амплитуды связанных волн (i = 1, 2), тогда:
где
- частотная расстройка резонанса при параметрич. связи осцилляторов
и
Решением
(5) являются
где
Это решение описывает распадную параметрич.
неустойчивость первого порядка (п = 1). При отсутствии частотной
расстройки (
= 0) амплитуды дублета волн а1 и а2
экспоненциально нарастают с инкрементом v =
При этом необходимо выполнение соотношения
> 0, что вместе с распадными условиями (1) даёт
Иными словами, при распадной неустойчивости возбуждаются волны с частотами,
меньшими частоты накачки (красные сателлиты). Неустойчивость развивается
при v > 0, т. е. при
При расстройке
неустойчивость исчезает. Т. о., область частот
где может существовать распадная П. н. (ширина зоны неустойчивости - зоны
Матьё), определяется условием
Т. к.
в свою очередь пропорционален амплитуде волны накачки
то и ширина зон неустойчивости пропорциональна
Инкремент неустойчивости n-го порядка пропорционален n-й
степени амплитуды
т. е. при малых амплитудах накачки
ширина зоны П. н. сужается с ростом п (рис. 1) пропорц.
Поэтому практически важно учитывать неустойчивости первого порядка, а если
для взаимодействующих волн не выполняются условия (1), то - второго порядка.
Рис. 1. Зоны распадной параметрической
неустойчивости (Матьё зоны) для основной частоты
и гармоник (п = 1, 2, 3).
Если учесть затухание волн, введя в правые
части (5) слагаемые
и
(
и
- линейные
декременты затухания волн), при
=
0 получим для соответствующего инкремента распадной П. н. vD след.
выражение:
Из (6) можно получить выражение для порога
распадной неустойчивости, определяемое в приближении однородной плазмы
декрементами возбуждаемого дублета волн:
а порог по амплитуде волны накачки
Из него следует, что при стремлении к нулю хотя бы одного из декрементов
затухания дублета связанных волн порог по амплитуде волны накачки исчезает.
В неоднородной плазме при определении
порогов распадной П. н. существенную роль играет вынос волн из зоны резонансного
взаимодействия, где выполняются условия (1). Это связано с тем, что П.
н. относятся к классу конвективных, а не абсолютных неустойчивостей.
Если одна из волн возбуждаемого дублета является низкочастотной, то при достаточных
амплитудах волн накачки инкремент П. н. формально превышает НЧ, тогда возникает
др. разновидность П. н. - модуляц. неустойчивость. Для неё лишь ВЧ близка
к частоте собств. колебаний среды, а другая - к вынужденным колебаниям
среды, к-рые распространяются с почти групповой скоростью волны накачки.
При этом необходимо учитывать кроме собств. моды (
k1) пару волн для волновых векторов
. Условие возникновения модуляц. П. н. имеет вид
где
-
коэф., связывающий нелинейный сдвиг частоты волны накачки с квадратом её
амплитуды, т. е. с её интенсивностью. Смысл критерия и самой неустойчивости
заключается в следующем. Если промодулировали исходную волну накачки (напр.,
> 0), тогда в областях макс. амплитуд (точки А и A', рис.
2) фазовая скорость больше, чем в областях мин. амплитуд (точка В). Это
означает рост числа узлов исходной волны при приближении к области мин.
амплитуд (область а)и уменьшение числа узлов при удалении от неё
(область b), так что если групповая скорость имеет отрицат.
производную по k, то колебания в области а с убывающей амплитудой
отстают, а в области с нарастающей амплитудой (область b)убегают
вперёд, увеличивая тем самым рост амплитуды и углубляя её минимум.
Рассмотрим возникновение модуляц. неустойчивости
ленгмюровских волн в плазме. Она появляется в том случае, когда инкремент
П. н. волн l
l'
+ s превышает частоту ионно-звуковых колебаний. При больших
амплитудах накачки медленные колебания плазмы, созданные пондеромоторной
силой ВЧ-давления, уже не совпадают с ионно-звуковыми колебаниями.
Рис. 2. Развитие модуляционной неустойчивости,
- фаза волны.
При движении на фоне медленно изменяющихся
вариаций плотности плазмы
частота (энергия) плазмонов - квантов ленгмюровских волн - сохраняется.
Из закона дисперсии этих волн
( rD -
дебаевский
радиус экранирования, п0 - невозмущённая плотность плазмы,
- плазменная частота)следует, что в "провалах" плотности плазмы
(
< 0) волновое
число k и кинетич. энергия плазмонов возрастают (первое слагаемое
можно рассматривать как потенциальную, а второе как кинетич. энергию плазмонов
в ед.
).
Т. о., области пониженной плотности плазмы играют роль потенциальных ям
для плазмонов. Это приводит к их локализации в "провалах" плотности, следовательно,
к возрастанию силы ВЧ-давления плазмонов в "провалах". Под действием этого
давления плазма вытесняется из области локализации плазмонов, углубляя
"провал" плотности и тем самым создавая ещё более глубокую яму для плазмонов.
Развивается неустойчивость автомодуляции пространственного распределения
илазмонов - стягивание их в сгустка - каверны, из к-рых силой ВЧ-давления
плазма вытеснена. Локализация электрич. поля в каверне и вытеснение из
неё плазмы сопровождаются уменьшением характерного размера каверны и длины
волны запертых в ней плазуонов:
и как следствие - ещё большей локализацией
ленгмюровской энергии. Тогда рост амплитуды поля в каверне и углубление
ямы плотности носят характер взрыва
а l
0.
Это означает, что схлопывание - коллапс каверны - продолжается до тех пор,
пока длины запертых в ней плазмонов не достигают малых значений, при к-рых
становится существенной диссипация энергии (напр.,
квантовое затухание) ленгмюровских
волн. При коллапсе ВЧ-давление в центре каверны возрастает обратно пропорц.
её объёму: | Е |2 ~ 1/lm (т = 1, 2,
3 - размерность каверны). Для коллапса необходимо преодолеть давление плазмы
вытесняемой из каверны. Газокинетич. давление при коллапсе изменяется ~
1/l2, поэтому в одномерном случае при нек-ром l установится
баланс давлений и коллапс прекратится. В этих условиях модуляц. неустойчивость
приводит к образованию солитонов - статич. ям плотности с ленгмюровским
наполнением (см. Солитон в плазме).
Апериодические неустойчивости. При увеличении
амплитуды волны накачки необходимо учитывать изменение частот самих собств.
волн, в особенности если одна из частот мала в сравнении с частотой исходной
полны. Инкременты таких неустойчивостей превышают низкие частоты колебаний,
а сама неустойчивость имеет апериодич. характер. Условия резонанса меняются,
однако неустойчивости относятся к тем же зонам Матьё, что и распадная П.
н., поэтому эти неустойчивости часто наз. неустойчивостями модифицированного
распада.
Если нелинейности в диссипативных слагаемых преобладают над стрикционными, то П. н. имеют весьма низкие пороги. Так, в низкотемпературной плазме нелинейность в слагаемом, описывающем увеличение температуры за счёт джоулева нагрева плазмы, может быть ответственна за возникновение распадной П. н. и неустойчивости модифицир. распада, наз. также тепловой П. н. Эта неустойчивость играет важную роль в параметрич. нагреве нижней ионосферы и связанном с ним расслоении плазмы.
В. П. Ораевский
|
|
 |
