к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах - процесс взаимодействия электрона проводимости (дырки) с нарушениями идеальной периодичности кристалла, сопровождающийся переходом электрона из состояния с импульсом p в состояние с импульсом4028-60.jpg Рассеяние наз. упругим, если энергии электрона в начальном и конечном состояниях равны, 4028-61.jpg или неупругим, если 4028-62.jpg. Источником упругого рассеяния являются статич. дефекты - примесные атомы, дислокации, границы кристаллич. зёрен и т. п. (см. Дефекты в кристаллах). Осн. источником неупругого рассеяния являются колебания кристаллической решётки. Рассеяние электрона на колебаниях решётки описывается в терминах испускания и поглощения фононов движущимся электроном. В нек-рых случаях существенно неупругое рассеяние на др. квазичастицах - магнонах, плазмонах. Особое положение занимает Р. н. з. друг на друге (см. Межэлектронное рассеяние).

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах является причиной того, что любое неравновесное по энергии или импульсу распределение электронов, созданное внеш. возмущением (электрич. поле, свет), с течением времени релаксирует к равновесному фермиевскому распределению4028-63.jpg, соответствующему температуре кристалла Т. В процессе релаксации упругое рассеяние "размешивает" распределение равномерно в пределах каждой изоэнергетич. поверхности4028-64.jpg = const, а неупругое - устанавливает равновесное распределение4028-65.jpg между изоэнергетич. поверхностями с разными4028-66.jpg. Время, необходимое для достижения равномерного распределения на изоэнергетич. поверхности, наз. временем релаксации импульса 4028-67.jpgили транспортным временем релаксации. Время, необходимое для установления равновесного распределения в области энергий порядка4028-68.jpg, наз. временем релаксации энергии 4028-69.jpg. Если,4028-70.jpg рассеяние наз. квазиупругим. В этом случае установление равновесия идёт в 2 этапа: сначала быстро (за время 4028-71.jpg ) неравновесное распределение выравнивается на каждой изоэнергетич. поверхности и превращается в неравновесное распределение по энергиям, к-рое затем медленно (за время4028-72.jpg) релаксирует к равновесному распределению4028-73.jpg

Возмущением, ответственным за Р. н. з., является разность между истинным потенциалом V(r, t), действующим на электрон в реальном кристалле, и периодич. потенциалом V0(r, t), действующим в идеальном кристалле с неподвижными атомами (r - пространственная координата электрона). Возмущение dV = V - V0 определяет вероятность рассеяния4028-74.jpg. В вырожденных полупроводниках и металлах следует учитывать принцип Паули, так что фактич. вероятность перехода равна 4028-75.jpg. Кроме того, при большой плотности носителей рассеяние ослабляется экранированием возмущения из-за перераспределения носителей в пространстве.

Рассеяние на фононах

Вероятность рассеяния электрона при испускании или поглощении фонона о импульсом q и энергией 4028-76.jpg (без учёта принципа Паули) определяется выражением

4028-77.jpg

Здесь верх. и ниж. знаки соответствуют испусканию и поглощению фонона; числа фононов с импульсом q определяются распределением Планка (см. Планка закон излучения:)

4028-78.jpg

Матричный элемент М перехода p : p' содержит закон сохранения квазиимпульса: 4028-79.jpg(b - произвольный вектор обратной решётки). Переходы, для к-рых b = 0, наз. нормальными; если b.0, говорят о переходах с перебросом (см. Переброса процессы). Дельта-функция d отражает закон сохранения энергии. Вероятность рассеяния с испусканием фонона4028-80.jpg пропорц. Nq + 1. Два слагаемых, соответствующие Nq и 1, дают вероятности индуцированного и спонтанного рассеяний. Вероятность рассеяния с поглощением фонона 4028-81.jpgпропорц. Nq, поэтому поглощение фонона всегда является индуцированным.

Рассеяние электрона на фононах в большой степени определяется законами сохранения энергии и импульса (кинематич. факторы), а также принципом Паули. Поэтому картина рассеяния различна для акустич. и оп-тич. фононов, имеющих разные законы дисперсии 4028-82.jpg , и зависит от степени вырождения электронного газа. Кинематика позволяет установить, какие фононы дают осн. вклад в рассеяние, какова степень упругости рассеяния, а также является ли оно индуцированным или спонтанным.

Рассеяние на акустических фононах в полупроводниках

Т. к. скорость электрона v имеет порядок скорости звука s только при очень малой его энергии (4028-83.jpg! ms2 ! 0,1 К), то в реальных условиях4028-84.jpg Это означает, что возмущение, создаваемое акустич. фононом, почти статично, а рассеяние электронов всегда квазиупруго. Из кинематики следует, что осн. вклад в рассеяние вносят фононы с импульсом4028-85.jpg; поэтому

направленный импульс электрона теряется всего за неск. столкновений. Энергия фонона с таким импульсом 4028-86.jpg!4028-87.jpg, так что для релаксации энергии требуется много столкновений, т. е. действительно4028-88.jpg

Является ли рассеяние индуцированным или спонтанным, зависит от соотношения между энергией фонона hsp и тепловой энергией Т. Эти величины сравниваются, когда энергия электрона равна4028-89.jpg Если4028-90.jpg то характерны Nq4028-91.jpg1; доминирует спонтанное испускание фононов (динамич. трение), и "движение" электрона по оси энергии4028-92.jpg есть систематич. дрейф вниз. При 4028-93.jpgдоминируют индуциров. переходы, т. к. 4028-94.jpg При этом испускание происходит не намного чаще, чем поглощение, и "движение" электрона по оси энергий превращается в диффузию.

Рассеяние на акустических фононах в металлах и вырожденных полупроводниках

Вследствие закона сохранения импульса наиб. вероятно взаимодействие с фононами, импульс к-рых4028-95.jpg, где4028-96.jpg- импульс Ферми (см. Ферми-поверхность ).Но испусканию таких фононов (с энергией 4028-97.jpg) может препятствовать принцип Паули, если превышение энергии электрона4028-98.jpgнад энергией Ферми4028-99.jpgмного меньше 4028-100.jpg, а поглощение может ослабляться из-за малого числа таких фононов, если 4028-101.jpg. Поэтому характер рассеяния сильно зависит от Г и превышения энергии электрона над энергией Ферми. При4028-102.jpg почти для всех электронов 4028-103.jpg (указанные ограничения несущественны) и рассеяние (с испусканием и поглощением) идёт на фононах с4028-104.jpgи энергией 4028-105.jpg . Для релаксации импульса требуется неск. столкновений, а для релаксации энергии - много (квазиупругое рассеяние). При 4028-106.jpg поглощение фононов с энергией 4028-107.jpgмаловероятно, но если 4028-108.jpg , то принцип Паули не запрещает испускание таких фононов (в осн. спонтанное). Рассеяние, как и при высоких темп-pax, квазиупруго. Если же 4028-109.jpg, то принцип Паули разрешает только испускание фононов с 4028-110.jpg. Такое рассеяние является малоугловым, и выравнивание распределения электронов на поверхности Ферми происходит диффузионно. Для полной релаксации импульса требуется много столкновений, релаксация же энергии происходит за неск. столкновений (неупругое рассеяние).

Рассеяние на оптических фононах

При рассеянии в металлах существенны оптич. фононы во всей зоне Бриллюэна, в осн. коротковолновые с 4028-111.jpg, где b0 - размер Бриллюэна зоны. В полупроводниках в рассеянии участвуют только оптич. ДВ-фононы с 4028-112.jpg . Частоту этих фононов w0 можно считать не зависящей от q. Рассеяние на оптич. фононах квазиупруго только при4028-113.jpg! 400 К, т. е. только при очень высоких энергиях электронов (см. Горячие электроны ).В области энергий4028-114.jpgпроявляются неупругий и пороговый характеры рассеяния. Это существенно при низких темп-pax 4028-115.jpg, когда ниже порога (4028-116.jpg) рассеяние слабое и возможно только за счёт маловероятного поглощения фонона, пропорционального4028-117.jpg, а выше порога (4028-118.jpg) рассеяние сильное - оно происходит при спонтанном испускании фонона.

Деформационное и поляризационное рассеяния

В выражение (1) входит матричный элемент М возмущения dV на блоховских функциях y (см. Блоховские электроны), обычно dV и y неизвестны, поэтому М можно найти только численными расчётами. Однако если рассеяние происходит на ДВ-фононах, эту трудность можно обойти. Для этого следует усреднить dV по объёму с размерами, большими постоянной решётки а0 и меньшими длины волны фонона l = 2p/q. В результате усреднения появляется электрич. макрополе еf. Для dV, созданного акустич. фононом, f(r, t) (r - координата точки, в окрестности к-рой произведено усреднение) представляет собой электрич. поле, сопровождающее волну деформации (пьезополе). В случае оптич. фонона f(r, t) - поле, возникающее из-за относит. смещения разноимённо заряженных подрешё-ток (см. Динамика кристаллической решетки). Рассеяние, обусловленное электрич. макрополем, наз. поляризационным. Матричные элементы 4028-119.jpg для рассеяния, обусловленного макрополем, можно вычислять, представляя волновые функции электрона в виде плоских волн.

Др. источником рассеяния является микрополе 4028-120.jpg выпавшее при усреднении. В области усреднения, где еf почти постоянно, dV - почти периодич. функция r. В этой области электрон движется в периодич. поле V0 +4028-121.jpgи его закон дисперсии4028-122.jpg отличается от закона дисперсии4028-123.jpg в идеальной решётке. В др. области усреднения будут другие4028-124.jpg и другие4028-125.jpg. Т. к. частоты фононов меньше электронных, то закон дисперсии4028-126.jpg "следит" за колебаниями решётки, Т. о., в кристалле, в к-ром возбуждены ДВ-фононы, закон дисперсии медленно меняется в пространстве и времени; он описывается функцией 4028-127.jpg, характерные масштабы изменения к-рой такие же, как у f(r, t). Двигаясь в среде с перем. законом дисперсии, электрон рассеивается (как свет в мутной среде), даже если макрополе отсутствует. Такое рассеяние наз. д е-формационным.

Матричные элементы 4028-128.jpg деформац. рассеяния тоже можно вычислять, заменяя блоховские функции на плоские волны, если в качестве возмущения брать не4028-129.jpg, а т. н. деформац. потенциал w(r, t). В полупроводнике с невырожденной зоной w(r, t)имеет смысл сдвига дна или потолка зоны в точке r в момент t, т. е. w(r, t) =4028-130.jpg-4028-131.jpg, где р0 соответствует экстремуму зоны (или центру долины; в многодолинном полупроводнике деформац. потенциал различен для электронов разных долин). В металле w(r, t)- сдвиг поверхности Ферми, так что w зависит дополнительно от положения p на поверхности Ферми.

Матричные элементы в случае поляризационного4028-132.jpg и деформационного 4028-133.jpg рассеяний, вычисленные через еf и w, всегда сдвинуты по фазе на p/2. Это означает, что поляризац. и деформац. рассеяния, обусловленные одной и той же фононной модой, не интерферируют. Поэтому говорят о четырёх механизмах рассеяния: DA, DO, PA, PO, где первая буква указывает на характер рассеяния (деформационный или поляризационный), вторая - на ветвь фононов (акустическая или оптическая).

Для вычисления 4028-134.jpg и 4028-135.jpg необходимо выразить еср и w через смещения атомов решётки. Связь f со смещениями атомов находят из Пуассона уравнения4028-136.jpg= = 4pdivP, где P - дипольный момент единицы объёма, возникший при однородной статич. деформации решётки из-за смещений ядер и связанного с этим смещения электронов. Для деформации, созданной акустич. фононами 4028-137.jpg'' где ukl - тензор деформации, а4028-138.jpgвыражаются через пьезомодули. При деформации, созданной оптич. фононами4028-139.jpg, где | - вектор относит. смещения подрешёток, а gjk выражаются через статич. и динамич. диэлектрич. проницаемости (см. ниже).

Число независимых констант b и g определяется симметрией кристалла. Так, в кубич. кристаллах с центром инверсии 4028-140.jpg= 0, так что поляризац. рассеяние невозможно. В кубич. кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке (большинство полупроводников) возможно поляризац. рассеяние для акустич. и оптич. фононов.

Деформац. потенциал w(r, t)определяется смещениями атомов в точке r в момент t. Для акустич. фононов w =4028-141.jpg для оптич. фононов - w = Здесь4028-142.jpg

4028-143.jpg - т. н. константы деформац. потенциала. Их число, кроме симметрии кристалла, зависит ещё от положения р0 в полупроводниках или на поверхности Ферми в металлах. В кубич. полупроводнике с р0 = 0 из симметрии следует, что4028-144.jpg и4028-145.jpg = 0. Это значит, что w =4028-146.jpg, где и = и11 + и22 + и33 - относит. изменение объёма при деформации. Т. к. для поперечных акустич. фононов и = 0, то DA-рассеяние разрешено только для продольных фононов, -рассеяние запрещено для обеих ветвей. Если р0 лежит не в центре зоны Бриллюэна, то возможны DA- и -рассеяния на поперечных акустич. фононах.

Времена релаксации

Времена релаксации 4028-147.jpgи4028-148.jpgможно найти, если вычислить, с какой скоростью электрон с импульсом p теряет энергию и направленный импульс при рассеянии, переходя во все др. состояния с импульсами р' (скорость релаксации). В изотропном случае

4028-149.jpg

где величина4028-150.jpg имеет порядок тепловой энергии Т, если электронный газ невырожден, и равно ферми-энер-гии4028-151.jpg, если газ сильно вырожден (здесь и ниже k = 1). Для акустич. фононов в полупроводниках при ин-дуциров. рассеянии 4028-152.jpg скорость релаксации

импульса пропорц. Т:

4028-153.jpg

Здесь Т и4028-154.jpgвыражены в долях энергии фонона; верх. знак относится к DA -рассеянию, нижний - к РА - рассеянию;4028-155.jpg. - характерное время, определяемое соотношениями

4028-156.jpg

где r - плотность кристалла, р0 - импульс электрона с энергией4028-157.jpg. Типичные значения4028-158.jpg1-10 пс. При 4028-159.jpg (спонтанное рассеяние) скорость релаксации импульса, т. е.4028-160.jpg, от Т не зависит:

4028-161.jpg

Здесь4028-162.jpg- степень упругости рассеяния, m - эфф. масса электрона.

Время релаксацииэнергиине 4028-163.jpg зависит от соотношения между4028-164.jpgи4028-165.jpg

4028-166.jpg

Для акустич. фононов в металлах и вырожденных полупроводниках при высоких темп-pax (4028-167.jpg)4028-168.jpg определяется ф-лой

4028-169.jpg

Скорость релаксации энергии

4028-170.jpg

При4028-171.jpgнизких темп-pax 4028-172.jpg и4028-173.jpg

4028-174.jpg

а для4028-175.jpg

4028-176.jpg

При рассеянии на оптич. фононах в полупроводниках в области квазиупругого рассеяния4028-177.jpg

4028-178.jpg

Здесь верх. знак относится к -рассеянию, нижний - к РО-рассеянию: 4028-179.jpg 4028-180.jpg =

= (1/2)aw (типичные значения 4028-181.jpg=0,1-1 пс); здесь 4028-182.jpg - плотность приведённой массы разноимённо заряженных подрешёток, 4028-183.jpg- фрёлиховская константа связи,4028-184.jpgгде4028-185.jpgи4028-186.jpg- высокочастотная и статическая диэлектрические проницаемости решётки. Время релаксации энергии

4028-187.jpg

Рассеяние на примесных атомах. При рассеянии на примесных атомах возмущение dV обусловлено элект-рич. полем (если примесь заряжена) и деформацией решётки в окрестности примеси. Иногда нужно учитывать обменные силы и магн. момент примеси. В случае заряж. примесей (примесных ионов) в полупроводниках вклад в dV от деформации решётки несуществен. Т. к. в полупроводнике p4028-188.jpgb0, то изменение импульса электрона при упругом рассеянии мало, а это значит, что рассеяние на больших расстояниях (r4028-189.jpgа0) определяется сглаженным потенциалом dV(r). Такой потенциал не зависит от микроструктуры примеси и имеет кулоновский вид:

4028-190.jpg

где Ze - заряд иона. Поэтому время релаксации импульса 4028-191.jpg можно вычислить, пользуясь Резерфорда формулой для сечения рассеяния заряж. частиц. Согласно этой ф-ле, дифференц. сечение рассеяния электрона под углом4028-192.jpgв телесном угле dW:

4028-193.jpg

где u - скорость электрона. Для вычисления 4028-194.jpg необходимо усреднить s по всем 4028-195.jpg. При интегрировании (12) по4028-196.jpgполучают расходящийся интеграл, т. е. бесконечно большое сечение рассеяния. В действительности сечение рассеяния на примесном ноне конечно, т. к. кулоновский характер поля dV на больших расстояниях от примеси искажается полем др. примесных ионов и экранирующим полем электронов. Если учитывать первый фактор и "обрезать" кулоновский потенциал на 1/2 расстояния между примесными центрами, равного N-1/3(N - концентрация примесей), то это приводит к ф-ле

4028-197.jpg

Здесь 4028-198.jpg- боровская энергия, F = In4028-199.jpg

Ф-ла (13) носит назв. Конуэлл - Вайскопфа формулы.

Если учитывать также экранирование кулоновского поля примесного иона свободными носителями заряда, то обрезание потенциала осуществляется его умножением на ехр(-r/l), где l - длина экранирования. При этом в ф-ле (13) F = ln(1- х) - х2/(1 + x2), где x = 2p/l (Брукса - Херринга формула).

Рассеяние на нейтральных примесях в полупроводниках обусловлено кулоновскими и обменными силами, действующими между рассеивающимся электроном и атомом примеси. Используя аналогию с рассеянием на атоме водорода, обычно пользуются т. н. ф-лой Эр-гинсоя:

4028-200.jpg

где 4028-201.jpg - боровский радиус, С = 20.

В металлах возмущение dV сильно зависит от сочетания атомов примеси и матрицы, поэтому к--л. общие ф-лы для4028-202.jpg получить не удаётся. Обычно сечение рассеяния4028-203.jpg однако оно сильно возрастает при резонансном рассеянии электронов на примесных атомах с незаполненными d- и f-оболочками, когда на примеси существуют виртуальные уровни энергии (см. Кондо эффект).

Экспериментальные методы

Сказанное выше относилось к рассеянию носителей внутри одной зоны (долины) с энергетич. спектром носителей, вырожденным только по ориентации спина. В более сложных ситуациях (вырожденные зоны, многодолинные полупроводники) трудно определить теоретически, какой механизм рассеяния доминирует в той пли иной области температур и энергий носителей. Поэтому осн. источником сведений о механизме Р. н. з. является эксперимент. Механизм рассеяния импульса обычно определяют по измерению подвижности носителей заряда m = (е/т)тр и по ширине линии циклотронного резонанса Dwc = 1/тp. Входящее сюда тr усреднено по энергии. Для невырожденного полупроводника усреднение сводится к замене 4028-204.jpgна Т. Поэтому, изучая температурные зависимости m или Dwc, можно отличить рассеяние на примесях, когда m4028-205.jpg T3/2, от рассеяния на акустич. фононах, когда m4028-206.jpgT-1/2 для деформационного или m4028-207.jpg T1/2 для поляризационного рассеяний.

Механизм релаксации энергии раскрывается в экспериментах с горячими электронами по зависимости m или Dwc от сильного электрич. поля или по спектрам горячей люминесценции.

Литература по рассеянию носителей заряда в кристаллических твёрдых телах

  1. Конуэлл Э., Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях, пер. с англ., М., 1970;
  2. Вир Г. Л., Пикус Р. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М., 1972;
  3. Wiley J. D., Mobility of holes in III-V Compounds, в кн.: Semiconductors and semimetals, v. 10, N. Y., 1975, p. 91;
  4. Гантмахер В. Ф., Лев и неон И. Б., Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках, М., 1984.

И. Б. Левинсон

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 16.09.2019 - 03:11: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
14.09.2019 - 18:23: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
13.09.2019 - 09:08: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
12.09.2019 - 17:47: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
12.09.2019 - 16:47: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
12.09.2019 - 13:10: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
08.09.2019 - 03:42: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
07.09.2019 - 07:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Декларация Академической Свободы - Карим_Хайдаров.
07.09.2019 - 03:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Проблема ГМО - Карим_Хайдаров.
05.09.2019 - 13:33: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
05.09.2019 - 13:31: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Негребы - Карим_Хайдаров.
01.09.2019 - 18:04: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Светланы Вислобоковой - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution