к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах - процесс взаимодействия электрона проводимости (дырки) с нарушениями идеальной периодичности кристалла, сопровождающийся переходом электрона из состояния с импульсом p в состояние с импульсом4028-60.jpg Рассеяние наз. упругим, если энергии электрона в начальном и конечном состояниях равны, 4028-61.jpg или неупругим, если 4028-62.jpg. Источником упругого рассеяния являются статич. дефекты - примесные атомы, дислокации, границы кристаллич. зёрен и т. п. (см. Дефекты в кристаллах). Осн. источником неупругого рассеяния являются колебания кристаллической решётки. Рассеяние электрона на колебаниях решётки описывается в терминах испускания и поглощения фононов движущимся электроном. В нек-рых случаях существенно неупругое рассеяние на др. квазичастицах - магнонах, плазмонах. Особое положение занимает Р. н. з. друг на друге (см. Межэлектронное рассеяние).

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах является причиной того, что любое неравновесное по энергии или импульсу распределение электронов, созданное внеш. возмущением (электрич. поле, свет), с течением времени релаксирует к равновесному фермиевскому распределению4028-63.jpg, соответствующему температуре кристалла Т. В процессе релаксации упругое рассеяние "размешивает" распределение равномерно в пределах каждой изоэнергетич. поверхности4028-64.jpg = const, а неупругое - устанавливает равновесное распределение4028-65.jpg между изоэнергетич. поверхностями с разными4028-66.jpg. Время, необходимое для достижения равномерного распределения на изоэнергетич. поверхности, наз. временем релаксации импульса 4028-67.jpgили транспортным временем релаксации. Время, необходимое для установления равновесного распределения в области энергий порядка4028-68.jpg, наз. временем релаксации энергии 4028-69.jpg. Если,4028-70.jpg рассеяние наз. квазиупругим. В этом случае установление равновесия идёт в 2 этапа: сначала быстро (за время 4028-71.jpg ) неравновесное распределение выравнивается на каждой изоэнергетич. поверхности и превращается в неравновесное распределение по энергиям, к-рое затем медленно (за время4028-72.jpg) релаксирует к равновесному распределению4028-73.jpg

Возмущением, ответственным за Р. н. з., является разность между истинным потенциалом V(r, t), действующим на электрон в реальном кристалле, и периодич. потенциалом V0(r, t), действующим в идеальном кристалле с неподвижными атомами (r - пространственная координата электрона). Возмущение dV = V - V0 определяет вероятность рассеяния4028-74.jpg. В вырожденных полупроводниках и металлах следует учитывать принцип Паули, так что фактич. вероятность перехода равна 4028-75.jpg. Кроме того, при большой плотности носителей рассеяние ослабляется экранированием возмущения из-за перераспределения носителей в пространстве.

Рассеяние на фононах

Вероятность рассеяния электрона при испускании или поглощении фонона о импульсом q и энергией 4028-76.jpg (без учёта принципа Паули) определяется выражением

4028-77.jpg

Здесь верх. и ниж. знаки соответствуют испусканию и поглощению фонона; числа фононов с импульсом q определяются распределением Планка (см. Планка закон излучения:)

4028-78.jpg

Матричный элемент М перехода p : p' содержит закон сохранения квазиимпульса: 4028-79.jpg(b - произвольный вектор обратной решётки). Переходы, для к-рых b = 0, наз. нормальными; если b.0, говорят о переходах с перебросом (см. Переброса процессы). Дельта-функция d отражает закон сохранения энергии. Вероятность рассеяния с испусканием фонона4028-80.jpg пропорц. Nq + 1. Два слагаемых, соответствующие Nq и 1, дают вероятности индуцированного и спонтанного рассеяний. Вероятность рассеяния с поглощением фонона 4028-81.jpgпропорц. Nq, поэтому поглощение фонона всегда является индуцированным.

Рассеяние электрона на фононах в большой степени определяется законами сохранения энергии и импульса (кинематич. факторы), а также принципом Паули. Поэтому картина рассеяния различна для акустич. и оп-тич. фононов, имеющих разные законы дисперсии 4028-82.jpg , и зависит от степени вырождения электронного газа. Кинематика позволяет установить, какие фононы дают осн. вклад в рассеяние, какова степень упругости рассеяния, а также является ли оно индуцированным или спонтанным.

Рассеяние на акустических фононах в полупроводниках

Т. к. скорость электрона v имеет порядок скорости звука s только при очень малой его энергии (4028-83.jpg! ms2 ! 0,1 К), то в реальных условиях4028-84.jpg Это означает, что возмущение, создаваемое акустич. фононом, почти статично, а рассеяние электронов всегда квазиупруго. Из кинематики следует, что осн. вклад в рассеяние вносят фононы с импульсом4028-85.jpg; поэтому

направленный импульс электрона теряется всего за неск. столкновений. Энергия фонона с таким импульсом 4028-86.jpg!4028-87.jpg, так что для релаксации энергии требуется много столкновений, т. е. действительно4028-88.jpg

Является ли рассеяние индуцированным или спонтанным, зависит от соотношения между энергией фонона hsp и тепловой энергией Т. Эти величины сравниваются, когда энергия электрона равна4028-89.jpg Если4028-90.jpg то характерны Nq4028-91.jpg1; доминирует спонтанное испускание фононов (динамич. трение), и "движение" электрона по оси энергии4028-92.jpg есть систематич. дрейф вниз. При 4028-93.jpgдоминируют индуциров. переходы, т. к. 4028-94.jpg При этом испускание происходит не намного чаще, чем поглощение, и "движение" электрона по оси энергий превращается в диффузию.

Рассеяние на акустических фононах в металлах и вырожденных полупроводниках

Вследствие закона сохранения импульса наиб. вероятно взаимодействие с фононами, импульс к-рых4028-95.jpg, где4028-96.jpg- импульс Ферми (см. Ферми-поверхность ).Но испусканию таких фононов (с энергией 4028-97.jpg) может препятствовать принцип Паули, если превышение энергии электрона4028-98.jpgнад энергией Ферми4028-99.jpgмного меньше 4028-100.jpg, а поглощение может ослабляться из-за малого числа таких фононов, если 4028-101.jpg. Поэтому характер рассеяния сильно зависит от Г и превышения энергии электрона над энергией Ферми. При4028-102.jpg почти для всех электронов 4028-103.jpg (указанные ограничения несущественны) и рассеяние (с испусканием и поглощением) идёт на фононах с4028-104.jpgи энергией 4028-105.jpg . Для релаксации импульса требуется неск. столкновений, а для релаксации энергии - много (квазиупругое рассеяние). При 4028-106.jpg поглощение фононов с энергией 4028-107.jpgмаловероятно, но если 4028-108.jpg , то принцип Паули не запрещает испускание таких фононов (в осн. спонтанное). Рассеяние, как и при высоких темп-pax, квазиупруго. Если же 4028-109.jpg, то принцип Паули разрешает только испускание фононов с 4028-110.jpg. Такое рассеяние является малоугловым, и выравнивание распределения электронов на поверхности Ферми происходит диффузионно. Для полной релаксации импульса требуется много столкновений, релаксация же энергии происходит за неск. столкновений (неупругое рассеяние).

Рассеяние на оптических фононах

При рассеянии в металлах существенны оптич. фононы во всей зоне Бриллюэна, в осн. коротковолновые с 4028-111.jpg, где b0 - размер Бриллюэна зоны. В полупроводниках в рассеянии участвуют только оптич. ДВ-фононы с 4028-112.jpg . Частоту этих фононов w0 можно считать не зависящей от q. Рассеяние на оптич. фононах квазиупруго только при4028-113.jpg! 400 К, т. е. только при очень высоких энергиях электронов (см. Горячие электроны ).В области энергий4028-114.jpgпроявляются неупругий и пороговый характеры рассеяния. Это существенно при низких темп-pax 4028-115.jpg, когда ниже порога (4028-116.jpg) рассеяние слабое и возможно только за счёт маловероятного поглощения фонона, пропорционального4028-117.jpg, а выше порога (4028-118.jpg) рассеяние сильное - оно происходит при спонтанном испускании фонона.

Деформационное и поляризационное рассеяния

В выражение (1) входит матричный элемент М возмущения dV на блоховских функциях y (см. Блоховские электроны), обычно dV и y неизвестны, поэтому М можно найти только численными расчётами. Однако если рассеяние происходит на ДВ-фононах, эту трудность можно обойти. Для этого следует усреднить dV по объёму с размерами, большими постоянной решётки а0 и меньшими длины волны фонона l = 2p/q. В результате усреднения появляется электрич. макрополе еf. Для dV, созданного акустич. фононом, f(r, t) (r - координата точки, в окрестности к-рой произведено усреднение) представляет собой электрич. поле, сопровождающее волну деформации (пьезополе). В случае оптич. фонона f(r, t) - поле, возникающее из-за относит. смещения разноимённо заряженных подрешё-ток (см. Динамика кристаллической решетки). Рассеяние, обусловленное электрич. макрополем, наз. поляризационным. Матричные элементы 4028-119.jpg для рассеяния, обусловленного макрополем, можно вычислять, представляя волновые функции электрона в виде плоских волн.

Др. источником рассеяния является микрополе 4028-120.jpg выпавшее при усреднении. В области усреднения, где еf почти постоянно, dV - почти периодич. функция r. В этой области электрон движется в периодич. поле V0 +4028-121.jpgи его закон дисперсии4028-122.jpg отличается от закона дисперсии4028-123.jpg в идеальной решётке. В др. области усреднения будут другие4028-124.jpg и другие4028-125.jpg. Т. к. частоты фононов меньше электронных, то закон дисперсии4028-126.jpg "следит" за колебаниями решётки, Т. о., в кристалле, в к-ром возбуждены ДВ-фононы, закон дисперсии медленно меняется в пространстве и времени; он описывается функцией 4028-127.jpg, характерные масштабы изменения к-рой такие же, как у f(r, t). Двигаясь в среде с перем. законом дисперсии, электрон рассеивается (как свет в мутной среде), даже если макрополе отсутствует. Такое рассеяние наз. д е-формационным.

Матричные элементы 4028-128.jpg деформац. рассеяния тоже можно вычислять, заменяя блоховские функции на плоские волны, если в качестве возмущения брать не4028-129.jpg, а т. н. деформац. потенциал w(r, t). В полупроводнике с невырожденной зоной w(r, t)имеет смысл сдвига дна или потолка зоны в точке r в момент t, т. е. w(r, t) =4028-130.jpg-4028-131.jpg, где р0 соответствует экстремуму зоны (или центру долины; в многодолинном полупроводнике деформац. потенциал различен для электронов разных долин). В металле w(r, t)- сдвиг поверхности Ферми, так что w зависит дополнительно от положения p на поверхности Ферми.

Матричные элементы в случае поляризационного4028-132.jpg и деформационного 4028-133.jpg рассеяний, вычисленные через еf и w, всегда сдвинуты по фазе на p/2. Это означает, что поляризац. и деформац. рассеяния, обусловленные одной и той же фононной модой, не интерферируют. Поэтому говорят о четырёх механизмах рассеяния: DA, DO, PA, PO, где первая буква указывает на характер рассеяния (деформационный или поляризационный), вторая - на ветвь фононов (акустическая или оптическая).

Для вычисления 4028-134.jpg и 4028-135.jpg необходимо выразить еср и w через смещения атомов решётки. Связь f со смещениями атомов находят из Пуассона уравнения4028-136.jpg= = 4pdivP, где P - дипольный момент единицы объёма, возникший при однородной статич. деформации решётки из-за смещений ядер и связанного с этим смещения электронов. Для деформации, созданной акустич. фононами 4028-137.jpg'' где ukl - тензор деформации, а4028-138.jpgвыражаются через пьезомодули. При деформации, созданной оптич. фононами4028-139.jpg, где | - вектор относит. смещения подрешёток, а gjk выражаются через статич. и динамич. диэлектрич. проницаемости (см. ниже).

Число независимых констант b и g определяется симметрией кристалла. Так, в кубич. кристаллах с центром инверсии 4028-140.jpg= 0, так что поляризац. рассеяние невозможно. В кубич. кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке (большинство полупроводников) возможно поляризац. рассеяние для акустич. и оптич. фононов.

Деформац. потенциал w(r, t)определяется смещениями атомов в точке r в момент t. Для акустич. фононов w =4028-141.jpg для оптич. фононов - w = Здесь4028-142.jpg

4028-143.jpg - т. н. константы деформац. потенциала. Их число, кроме симметрии кристалла, зависит ещё от положения р0 в полупроводниках или на поверхности Ферми в металлах. В кубич. полупроводнике с р0 = 0 из симметрии следует, что4028-144.jpg и4028-145.jpg = 0. Это значит, что w =4028-146.jpg, где и = и11 + и22 + и33 - относит. изменение объёма при деформации. Т. к. для поперечных акустич. фононов и = 0, то DA-рассеяние разрешено только для продольных фононов, -рассеяние запрещено для обеих ветвей. Если р0 лежит не в центре зоны Бриллюэна, то возможны DA- и -рассеяния на поперечных акустич. фононах.

Времена релаксации

Времена релаксации 4028-147.jpgи4028-148.jpgможно найти, если вычислить, с какой скоростью электрон с импульсом p теряет энергию и направленный импульс при рассеянии, переходя во все др. состояния с импульсами р' (скорость релаксации). В изотропном случае

4028-149.jpg

где величина4028-150.jpg имеет порядок тепловой энергии Т, если электронный газ невырожден, и равно ферми-энер-гии4028-151.jpg, если газ сильно вырожден (здесь и ниже k = 1). Для акустич. фононов в полупроводниках при ин-дуциров. рассеянии 4028-152.jpg скорость релаксации

импульса пропорц. Т:

4028-153.jpg

Здесь Т и4028-154.jpgвыражены в долях энергии фонона; верх. знак относится к DA -рассеянию, нижний - к РА - рассеянию;4028-155.jpg. - характерное время, определяемое соотношениями

4028-156.jpg

где r - плотность кристалла, р0 - импульс электрона с энергией4028-157.jpg. Типичные значения4028-158.jpg1-10 пс. При 4028-159.jpg (спонтанное рассеяние) скорость релаксации импульса, т. е.4028-160.jpg, от Т не зависит:

4028-161.jpg

Здесь4028-162.jpg- степень упругости рассеяния, m - эфф. масса электрона.

Время релаксацииэнергиине 4028-163.jpg зависит от соотношения между4028-164.jpgи4028-165.jpg

4028-166.jpg

Для акустич. фононов в металлах и вырожденных полупроводниках при высоких темп-pax (4028-167.jpg)4028-168.jpg определяется ф-лой

4028-169.jpg

Скорость релаксации энергии

4028-170.jpg

При4028-171.jpgнизких темп-pax 4028-172.jpg и4028-173.jpg

4028-174.jpg

а для4028-175.jpg

4028-176.jpg

При рассеянии на оптич. фононах в полупроводниках в области квазиупругого рассеяния4028-177.jpg

4028-178.jpg

Здесь верх. знак относится к -рассеянию, нижний - к РО-рассеянию: 4028-179.jpg 4028-180.jpg =

= (1/2)aw (типичные значения 4028-181.jpg=0,1-1 пс); здесь 4028-182.jpg - плотность приведённой массы разноимённо заряженных подрешёток, 4028-183.jpg- фрёлиховская константа связи,4028-184.jpgгде4028-185.jpgи4028-186.jpg- высокочастотная и статическая диэлектрические проницаемости решётки. Время релаксации энергии

4028-187.jpg

Рассеяние на примесных атомах. При рассеянии на примесных атомах возмущение dV обусловлено элект-рич. полем (если примесь заряжена) и деформацией решётки в окрестности примеси. Иногда нужно учитывать обменные силы и магн. момент примеси. В случае заряж. примесей (примесных ионов) в полупроводниках вклад в dV от деформации решётки несуществен. Т. к. в полупроводнике p4028-188.jpgb0, то изменение импульса электрона при упругом рассеянии мало, а это значит, что рассеяние на больших расстояниях (r4028-189.jpgа0) определяется сглаженным потенциалом dV(r). Такой потенциал не зависит от микроструктуры примеси и имеет кулоновский вид:

4028-190.jpg

где Ze - заряд иона. Поэтому время релаксации импульса 4028-191.jpg можно вычислить, пользуясь Резерфорда формулой для сечения рассеяния заряж. частиц. Согласно этой ф-ле, дифференц. сечение рассеяния электрона под углом4028-192.jpgв телесном угле dW:

4028-193.jpg

где u - скорость электрона. Для вычисления 4028-194.jpg необходимо усреднить s по всем 4028-195.jpg. При интегрировании (12) по4028-196.jpgполучают расходящийся интеграл, т. е. бесконечно большое сечение рассеяния. В действительности сечение рассеяния на примесном ноне конечно, т. к. кулоновский характер поля dV на больших расстояниях от примеси искажается полем др. примесных ионов и экранирующим полем электронов. Если учитывать первый фактор и "обрезать" кулоновский потенциал на 1/2 расстояния между примесными центрами, равного N-1/3(N - концентрация примесей), то это приводит к ф-ле

4028-197.jpg

Здесь 4028-198.jpg- боровская энергия, F = In4028-199.jpg

Ф-ла (13) носит назв. Конуэлл - Вайскопфа формулы.

Если учитывать также экранирование кулоновского поля примесного иона свободными носителями заряда, то обрезание потенциала осуществляется его умножением на ехр(-r/l), где l - длина экранирования. При этом в ф-ле (13) F = ln(1- х) - х2/(1 + x2), где x = 2p/l (Брукса - Херринга формула).

Рассеяние на нейтральных примесях в полупроводниках обусловлено кулоновскими и обменными силами, действующими между рассеивающимся электроном и атомом примеси. Используя аналогию с рассеянием на атоме водорода, обычно пользуются т. н. ф-лой Эр-гинсоя:

4028-200.jpg

где 4028-201.jpg - боровский радиус, С = 20.

В металлах возмущение dV сильно зависит от сочетания атомов примеси и матрицы, поэтому к--л. общие ф-лы для4028-202.jpg получить не удаётся. Обычно сечение рассеяния4028-203.jpg однако оно сильно возрастает при резонансном рассеянии электронов на примесных атомах с незаполненными d- и f-оболочками, когда на примеси существуют виртуальные уровни энергии (см. Кондо эффект).

Экспериментальные методы

Сказанное выше относилось к рассеянию носителей внутри одной зоны (долины) с энергетич. спектром носителей, вырожденным только по ориентации спина. В более сложных ситуациях (вырожденные зоны, многодолинные полупроводники) трудно определить теоретически, какой механизм рассеяния доминирует в той пли иной области температур и энергий носителей. Поэтому осн. источником сведений о механизме Р. н. з. является эксперимент. Механизм рассеяния импульса обычно определяют по измерению подвижности носителей заряда m = (е/т)тр и по ширине линии циклотронного резонанса Dwc = 1/тp. Входящее сюда тr усреднено по энергии. Для невырожденного полупроводника усреднение сводится к замене 4028-204.jpgна Т. Поэтому, изучая температурные зависимости m или Dwc, можно отличить рассеяние на примесях, когда m4028-205.jpg T3/2, от рассеяния на акустич. фононах, когда m4028-206.jpgT-1/2 для деформационного или m4028-207.jpg T1/2 для поляризационного рассеяний.

Механизм релаксации энергии раскрывается в экспериментах с горячими электронами по зависимости m или Dwc от сильного электрич. поля или по спектрам горячей люминесценции.

Литература по рассеянию носителей заряда в кристаллических твёрдых телах

  1. Конуэлл Э., Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях, пер. с англ., М., 1970;
  2. Вир Г. Л., Пикус Р. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М., 1972;
  3. Wiley J. D., Mobility of holes in III-V Compounds, в кн.: Semiconductors and semimetals, v. 10, N. Y., 1975, p. 91;
  4. Гантмахер В. Ф., Лев и неон И. Б., Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках, М., 1984.

И. Б. Левинсон

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, что в 1974 - 1980 годах профессор Стефан Маринов из г. Грац, Австрия, проделал серию экспериментов, в которых показал, что Земля движется по отношению к некоторой космической системе отсчета со скоростью 360±30 км/с, которая явно имеет какой-то абсолютный статус. Естественно, ему не давали нигде выступать и он вынужден был начать выпуск своего научного журнала "Deutsche Physik", где объяснял открытое им явление. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 14.11.2019 - 19:52: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
14.11.2019 - 12:35: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Светланы Вислобоковой - Карим_Хайдаров.
13.11.2019 - 19:20: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
13.11.2019 - 11:05: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 19:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Марины Мелиховой - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Бориса Сергеевича Миронова - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 11:49: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Веры Лесиной - Карим_Хайдаров.
11.11.2019 - 00:24: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
10.11.2019 - 23:14: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Кирилла Мямлина - Карим_Хайдаров.
08.11.2019 - 06:42: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
05.11.2019 - 21:56: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Декларация Академической Свободы - Карим_Хайдаров.
04.11.2019 - 12:41: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> КОМПЬЮТЕРНО-СЕТЕВАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution