Глоссарий по физике

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах - процесс взаимодействия электрона проводимости (дырки) с нарушениями идеальной периодичности кристалла, сопровождающийся переходом электрона из состояния с импульсом p в состояние с импульсом Рассеяние наз. упругим, если энергии электрона в начальном и конечном состояниях равны, или неупругим, если . Источником упругого рассеяния являются статич. дефекты - примесные атомы, дислокации, границы кристаллич. зёрен и т. п. (см. Дефекты в кристаллах). Осн. источником неупругого рассеяния являются колебания кристаллической решётки. Рассеяние электрона на колебаниях решётки описывается в терминах испускания и поглощения фононов движущимся электроном. В нек-рых случаях существенно неупругое рассеяние на др. квазичастицах - магнонах, плазмонах. Особое положение занимает Р. н. з. друг на друге (см. Межэлектронное рассеяние).

Рассеяние носителей заряда в кристаллических твёрдых телах является причиной того, что любое неравновесное по энергии или импульсу распределение электронов, созданное внеш. возмущением (электрич. поле, свет), с течением времени релаксирует к равновесному фермиевскому распределению, соответствующему температуре кристалла Т. В процессе релаксации упругое рассеяние "размешивает" распределение равномерно в пределах каждой изоэнергетич. поверхности = const, а неупругое - устанавливает равновесное распределение между изоэнергетич. поверхностями с разными. Время, необходимое для достижения равномерного распределения на изоэнергетич. поверхности, наз. временем релаксации импульса или транспортным временем релаксации. Время, необходимое для установления равновесного распределения в области энергий порядка, наз. временем релаксации энергии . Если, рассеяние наз. квазиупругим. В этом случае установление равновесия идёт в 2 этапа: сначала быстро (за время ) неравновесное распределение выравнивается на каждой изоэнергетич. поверхности и превращается в неравновесное распределение по энергиям, к-рое затем медленно (за время) релаксирует к равновесному распределению

Возмущением, ответственным за Р. н. з., является разность между истинным потенциалом V(r, t), действующим на электрон в реальном кристалле, и периодич. потенциалом V₀(r, t), действующим в идеальном кристалле с неподвижными атомами (r - пространственная координата электрона). Возмущение dV = V - V₀ определяет вероятность рассеяния. В вырожденных полупроводниках и металлах следует учитывать принцип Паули, так что фактич. вероятность перехода равна . Кроме того, при большой плотности носителей рассеяние ослабляется экранированием возмущения из-за перераспределения носителей в пространстве.

Рассеяние на фононах

Вероятность рассеяния электрона при испускании или поглощении фонона о импульсом q и энергией (без учёта принципа Паули) определяется выражением

Здесь верх. и ниж. знаки соответствуют испусканию и поглощению фонона; числа фононов с импульсом q определяются распределением Планка (см. Планка закон излучения:)

Матричный элемент М перехода p : p' содержит закон сохранения квазиимпульса: (b - произвольный вектор обратной решётки). Переходы, для к-рых b = 0, наз. нормальными; если b.0, говорят о переходах с перебросом (см. Переброса процессы). Дельта-функция d отражает закон сохранения энергии. Вероятность рассеяния с испусканием фонона пропорц. N_q + 1. Два слагаемых, соответствующие N_q и 1, дают вероятности индуцированного и спонтанного рассеяний. Вероятность рассеяния с поглощением фонона пропорц. N_q, поэтому поглощение фонона всегда является индуцированным.

Рассеяние электрона на фононах в большой степени определяется законами сохранения энергии и импульса (кинематич. факторы), а также принципом Паули. Поэтому картина рассеяния различна для акустич. и оп-тич. фононов, имеющих разные законы дисперсии , и зависит от степени вырождения электронного газа. Кинематика позволяет установить, какие фононы дают осн. вклад в рассеяние, какова степень упругости рассеяния, а также является ли оно индуцированным или спонтанным.

Рассеяние на акустических фононах в полупроводниках

Т. к. скорость электрона v имеет порядок скорости звука s только при очень малой его энергии (! ms² ! 0,1 К), то в реальных условиях Это означает, что возмущение, создаваемое акустич. фононом, почти статично, а рассеяние электронов всегда квазиупруго. Из кинематики следует, что осн. вклад в рассеяние вносят фононы с импульсом; поэтому

направленный импульс электрона теряется всего за неск. столкновений. Энергия фонона с таким импульсом !, так что для релаксации энергии требуется много столкновений, т. е. действительно

Является ли рассеяние индуцированным или спонтанным, зависит от соотношения между энергией фонона hsp и тепловой энергией Т. Эти величины сравниваются, когда энергия электрона равна Если то характерны N_q1; доминирует спонтанное испускание фононов (динамич. трение), и "движение" электрона по оси энергии есть систематич. дрейф вниз. При доминируют индуциров. переходы, т. к. При этом испускание происходит не намного чаще, чем поглощение, и "движение" электрона по оси энергий превращается в диффузию.

Рассеяние на акустических фононах в металлах и вырожденных полупроводниках

Вследствие закона сохранения импульса наиб. вероятно взаимодействие с фононами, импульс к-рых, где- импульс Ферми (см. Ферми-поверхность ).Но испусканию таких фононов (с энергией ) может препятствовать принцип Паули, если превышение энергии электронанад энергией Фермимного меньше , а поглощение может ослабляться из-за малого числа таких фононов, если . Поэтому характер рассеяния сильно зависит от Г и превышения энергии электрона над энергией Ферми. При почти для всех электронов (указанные ограничения несущественны) и рассеяние (с испусканием и поглощением) идёт на фононах си энергией . Для релаксации импульса требуется неск. столкновений, а для релаксации энергии - много (квазиупругое рассеяние). При поглощение фононов с энергией маловероятно, но если , то принцип Паули не запрещает испускание таких фононов (в осн. спонтанное). Рассеяние, как и при высоких темп-pax, квазиупруго. Если же , то принцип Паули разрешает только испускание фононов с . Такое рассеяние является малоугловым, и выравнивание распределения электронов на поверхности Ферми происходит диффузионно. Для полной релаксации импульса требуется много столкновений, релаксация же энергии происходит за неск. столкновений (неупругое рассеяние).

Рассеяние на оптических фононах

При рассеянии в металлах существенны оптич. фононы во всей зоне Бриллюэна, в осн. коротковолновые с , где b₀ - размер Бриллюэна зоны. В полупроводниках в рассеянии участвуют только оптич. ДВ-фононы с . Частоту этих фононов w₀ можно считать не зависящей от q. Рассеяние на оптич. фононах квазиупруго только при! 400 К, т. е. только при очень высоких энергиях электронов (см. Горячие электроны ).В области энергийпроявляются неупругий и пороговый характеры рассеяния. Это существенно при низких темп-pax , когда ниже порога () рассеяние слабое и возможно только за счёт маловероятного поглощения фонона, пропорционального, а выше порога () рассеяние сильное - оно происходит при спонтанном испускании фонона.

Деформационное и поляризационное рассеяния

В выражение (1) входит матричный элемент М возмущения dV на блоховских функциях y (см. Блоховские электроны), обычно dV и y неизвестны, поэтому М можно найти только численными расчётами. Однако если рассеяние происходит на ДВ-фононах, эту трудность можно обойти. Для этого следует усреднить dV по объёму с размерами, большими постоянной решётки а₀ и меньшими длины волны фонона l = 2p/q. В результате усреднения появляется электрич. макрополе еf. Для dV, созданного акустич. фононом, f(r, t) (r - координата точки, в окрестности к-рой произведено усреднение) представляет собой электрич. поле, сопровождающее волну деформации (пьезополе). В случае оптич. фонона f(r, t) - поле, возникающее из-за относит. смещения разноимённо заряженных подрешё-ток (см. Динамика кристаллической решетки). Рассеяние, обусловленное электрич. макрополем, наз. поляризационным. Матричные элементы для рассеяния, обусловленного макрополем, можно вычислять, представляя волновые функции электрона в виде плоских волн.

Др. источником рассеяния является микрополе выпавшее при усреднении. В области усреднения, где еf почти постоянно, dV - почти периодич. функция r. В этой области электрон движется в периодич. поле V₀ +и его закон дисперсии отличается от закона дисперсии в идеальной решётке. В др. области усреднения будут другие и другие. Т. к. частоты фононов меньше электронных, то закон дисперсии "следит" за колебаниями решётки, Т. о., в кристалле, в к-ром возбуждены ДВ-фононы, закон дисперсии медленно меняется в пространстве и времени; он описывается функцией , характерные масштабы изменения к-рой такие же, как у f(r, t). Двигаясь в среде с перем. законом дисперсии, электрон рассеивается (как свет в мутной среде), даже если макрополе отсутствует. Такое рассеяние наз. д е-формационным.

Матричные элементы деформац. рассеяния тоже можно вычислять, заменяя блоховские функции на плоские волны, если в качестве возмущения брать не, а т. н. деформац. потенциал w(r, t). В полупроводнике с невырожденной зоной w(r, t)имеет смысл сдвига дна или потолка зоны в точке r в момент t, т. е. w(r, t) =-, где р₀ соответствует экстремуму зоны (или центру долины; в многодолинном полупроводнике деформац. потенциал различен для электронов разных долин). В металле w(r, t)- сдвиг поверхности Ферми, так что w зависит дополнительно от положения p на поверхности Ферми.

Матричные элементы в случае поляризационного и деформационного рассеяний, вычисленные через еf и w, всегда сдвинуты по фазе на p/2. Это означает, что поляризац. и деформац. рассеяния, обусловленные одной и той же фононной модой, не интерферируют. Поэтому говорят о четырёх механизмах рассеяния: DA, DO, PA, PO, где первая буква указывает на характер рассеяния (деформационный или поляризационный), вторая - на ветвь фононов (акустическая или оптическая).

Для вычисления и необходимо выразить еср и w через смещения атомов решётки. Связь f со смещениями атомов находят из Пуассона уравнения= = 4pdivP, где P - дипольный момент единицы объёма, возникший при однородной статич. деформации решётки из-за смещений ядер и связанного с этим смещения электронов. Для деформации, созданной акустич. фононами '' где u_kl - тензор деформации, авыражаются через пьезомодули. При деформации, созданной оптич. фононами, где | - вектор относит. смещения подрешёток, а g_jk выражаются через статич. и динамич. диэлектрич. проницаемости (см. ниже).

Число независимых констант b и g определяется симметрией кристалла. Так, в кубич. кристаллах с центром инверсии = 0, так что поляризац. рассеяние невозможно. В кубич. кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке (большинство полупроводников) возможно поляризац. рассеяние для акустич. и оптич. фононов.

Деформац. потенциал w(r, t)определяется смещениями атомов в точке r в момент t. Для акустич. фононов w = для оптич. фононов - w = Здесь

- т. н. константы деформац. потенциала. Их число, кроме симметрии кристалла, зависит ещё от положения р₀ в полупроводниках или на поверхности Ферми в металлах. В кубич. полупроводнике с р₀ = 0 из симметрии следует, что и = 0. Это значит, что w =, где и = и₁₁ + и₂₂ + и₃₃ - относит. изменение объёма при деформации. Т. к. для поперечных акустич. фононов и = 0, то DA-рассеяние разрешено только для продольных фононов, DО-рассеяние запрещено для обеих ветвей. Если р₀ лежит не в центре зоны Бриллюэна, то возможны DA- и DО-рассеяния на поперечных акустич. фононах.

Времена релаксации

Времена релаксации иможно найти, если вычислить, с какой скоростью электрон с импульсом p теряет энергию и направленный импульс при рассеянии, переходя во все др. состояния с импульсами р' (скорость релаксации). В изотропном случае

где величина имеет порядок тепловой энергии Т, если электронный газ невырожден, и равно ферми-энер-гии, если газ сильно вырожден (здесь и ниже k = 1). Для акустич. фононов в полупроводниках при ин-дуциров. рассеянии скорость релаксации

импульса пропорц. Т:

Здесь Т ивыражены в долях энергии фонона; верх. знак относится к DA -рассеянию, нижний - к РА - рассеянию;. - характерное время, определяемое соотношениями

где r - плотность кристалла, р₀ - импульс электрона с энергией. Типичные значения1-10 пс. При (спонтанное рассеяние) скорость релаксации импульса, т. е., от Т не зависит:

Здесь- степень упругости рассеяния, m - эфф. масса электрона.

Время релаксацииэнергиине зависит от соотношения междуи

Для акустич. фононов в металлах и вырожденных полупроводниках при высоких темп-pax () определяется ф-лой

Скорость релаксации энергии

Принизких темп-pax и

а для

При рассеянии на оптич. фононах в полупроводниках в области квазиупругого рассеяния

Здесь верх. знак относится к DО-рассеянию, нижний - к РО-рассеянию: =

= (¹/₂)aw (типичные значения =0,1-1 пс); здесь - плотность приведённой массы разноимённо заряженных подрешёток, - фрёлиховская константа связи,гдеи- высокочастотная и статическая диэлектрические проницаемости решётки. Время релаксации энергии

Рассеяние на примесных атомах. При рассеянии на примесных атомах возмущение dV обусловлено элект-рич. полем (если примесь заряжена) и деформацией решётки в окрестности примеси. Иногда нужно учитывать обменные силы и магн. момент примеси. В случае заряж. примесей (примесных ионов) в полупроводниках вклад в dV от деформации решётки несуществен. Т. к. в полупроводнике pb₀, то изменение импульса электрона при упругом рассеянии мало, а это значит, что рассеяние на больших расстояниях (rа₀) определяется сглаженным потенциалом dV(r). Такой потенциал не зависит от микроструктуры примеси и имеет кулоновский вид:

где Ze - заряд иона. Поэтому время релаксации импульса можно вычислить, пользуясь Резерфорда формулой для сечения рассеяния заряж. частиц. Согласно этой ф-ле, дифференц. сечение рассеяния электрона под угломв телесном угле dW:

где u - скорость электрона. Для вычисления необходимо усреднить s по всем . При интегрировании (12) пополучают расходящийся интеграл, т. е. бесконечно большое сечение рассеяния. В действительности сечение рассеяния на примесном ноне конечно, т. к. кулоновский характер поля dV на больших расстояниях от примеси искажается полем др. примесных ионов и экранирующим полем электронов. Если учитывать первый фактор и "обрезать" кулоновский потенциал на ¹/₂ расстояния между примесными центрами, равного N^-1/3(N - концентрация примесей), то это приводит к ф-ле

Здесь - боровская энергия, F = In

Ф-ла (13) носит назв. Конуэлл - Вайскопфа формулы.

Если учитывать также экранирование кулоновского поля примесного иона свободными носителями заряда, то обрезание потенциала осуществляется его умножением на ехр(-r/l), где l - длина экранирования. При этом в ф-ле (13) F = ln(1- х) - х²/(1 + x²), где x = 2p/l (Брукса - Херринга формула).

Рассеяние на нейтральных примесях в полупроводниках обусловлено кулоновскими и обменными силами, действующими между рассеивающимся электроном и атомом примеси. Используя аналогию с рассеянием на атоме водорода, обычно пользуются т. н. ф-лой Эр-гинсоя:

где - боровский радиус, С = 20.

В металлах возмущение dV сильно зависит от сочетания атомов примеси и матрицы, поэтому к--л. общие ф-лы для получить не удаётся. Обычно сечение рассеяния однако оно сильно возрастает при резонансном рассеянии электронов на примесных атомах с незаполненными d- и f-оболочками, когда на примеси существуют виртуальные уровни энергии (см. Кондо эффект).

Экспериментальные методы

Сказанное выше относилось к рассеянию носителей внутри одной зоны (долины) с энергетич. спектром носителей, вырожденным только по ориентации спина. В более сложных ситуациях (вырожденные зоны, многодолинные полупроводники) трудно определить теоретически, какой механизм рассеяния доминирует в той пли иной области температур и энергий носителей. Поэтому осн. источником сведений о механизме Р. н. з. является эксперимент. Механизм рассеяния импульса обычно определяют по измерению подвижности носителей заряда m = (е/т)т_р и по ширине линии циклотронного резонанса Dw_c = 1/т_p. Входящее сюда т_r усреднено по энергии. Для невырожденного полупроводника усреднение сводится к замене на Т. Поэтому, изучая температурные зависимости m или Dw_c, можно отличить рассеяние на примесях, когда m T³/², от рассеяния на акустич. фононах, когда mT^-1/² для деформационного или m T^1/2 для поляризационного рассеяний.

Механизм релаксации энергии раскрывается в экспериментах с горячими электронами по зависимости m или Dw_c от сильного электрич. поля или по спектрам горячей люминесценции.

Литература по рассеянию носителей заряда в кристаллических твёрдых телах

1. Конуэлл Э., Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях, пер. с англ., М., 1970;
2. Вир Г. Л., Пикус Р. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М., 1972;
3. Wiley J. D., Mobility of holes in III-V Compounds, в кн.: Semiconductors and semimetals, v. 10, N. Y., 1975, p. 91;
4. Гантмахер В. Ф., Лев и неон И. Б., Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках, М., 1984.

И. Б. Левинсон

НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира

10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.