Задачи о колебаниях поперечных и продольных в средах постоянной упругости решаются независимо одна от другой. Наглядность и успешность исследования зависят от приведения основных дифференциальных уравнений колебаний к виду, соответствующему условиям вопроса. Если ми будем относить положение точек пространства к тройной системе ортогональных поверхностей, из которых одна есть поверхность волны, то предвидится возможность самым разделением задач упростить основные уравнения и определить произвольные функции или произвольные постоянные, введённые интеграцией, с помощью данного состояния начальной волны.
Чтобы осуществить эти предположения, мы должны были начать с исследования общих свойств волн в средах постоянной упругости и поверхностей, к ним ортогональных. Мы приходим, между прочим, к двум теоремам:
Если выберем за параметр волны отрезок луча между начальным и последующим положением волны, то её дифференциальный параметр первого порядка есть величина постоянная и равная 1 во всём пространстве.
Дифференциальные параметры первого порядка поверхностей, ортогональных к волне, пропорциональны её радиусам кривизны.
Другая часть исследования касается определения по данному виду волны поперечных колебаний, ею распространяемых. Вводя в основные дифференциальные уравнения колебаний избранные нами криволинейные координаты, мы получаем уравнения для поперечных колебаний, приравнивая нулю: во-первых, колебание, нормальное к касательной плоскости, и, во-вторых, члены, имеющие коэффициентом квадрат скорости продольных колебаний. Приведение найденных выражений к окончательному виду и их интеграция составляют содержание этого отдела.
Между прочим, мы приходим к таким заключениям:
Волновые поверхности могут быть разделены на три группы.
К первой относятся поверхности сферы и круглого цилиндра, допускающие прямолинейную поляризацию по той или другой линии кривизны.
Ко второй относятся поверхности, допускающие прямолинейную поляризацию по одной из линий кривизны. Так, поверхности вращения, за исключением указанных выше, допускают прямолинейную поляризацию в меридиональной плоскости, но не в перпендикулярной. Поверхности цилиндрические, за исключением круглого цилиндра, не допускают прямолинейной поляризации в плоскости, параллельной образующей, но только в перпендикулярной к ней.
К третьей относятся все остальные поверхности, не допускающие прямолинейной поляризации ни по одной из линий кривизны.
Поставленная нами задача решается для среды постоянной упругости и плотности не бесконечно малой. Распространение же найденных выводов на световые колебания при некоторых особых предположениях помещено в конце настоящей статьи.
Третья часть исследования занимается вопросом о продольных колебаниях. Здесь мы пришли к выводам, полученным Пуассоном иным путём.
Наше исследование имеет непосредственное приложение к явлениям звука и к явлениям как колебаний поперечных, так и продольных в средах неограниченных или в телах, ограниченных поверхностями, принадлежащими к одному и тому же семейству волн.
