УМОВ Николай Алексеевич
ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ПОСТОЯННОЙ УПРУГОСТИ
Впервые напечатано в Математическом сборнике, т. 5, 1870 г. (Прим. ред.)
П. ЗАКОНЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ
§ 10. Мы будем рассматривать уравнения с частными производными (13) и (15) как две системы, интегралы которых должны быть изысканы.
Займёмся определением величин А', В', Г' — интегралов уравнений (15). Так как только два из них существенны, то мы должны составить ещё третье уравнение с частными производными. Его получим, дифференцируя уравнения (14) последовательно по ;-, р
1; р2 и складывая их.Находим:
Интегралы уравнений (15) мы можем себе представить состоящими из двух частей. Одна А", В", Г", предназначенная для удовлетворения этих уравнений, когда вторые части равны нулю, и другая А^,
Bg, l 'е, назначенная для удовлетворения полных уравнений (15).Мы находим, означая через
F' некоторую функциюот
Теперь для величин В^, Г^, А'е
мы можем выбрать выражения наиболее простые. Примем:
Функции А", В",
I" и независимо от них А'е, В'е, Т'е должны удовлетворять уравнению (10), откуда получаем:
И затем, полагая
вследствие чего выражения (19) будут:
находим уравнение с частными производными для функ-
Кроме найденных условий, которым должны подчиниться функции
F' и Ü, мы имеем ещё другие, которые найдутся, вставляя в уравнение (14) величины А', В', Г'.Находим:
Если продифференцируем первое из этих уравнений с частными производными по
p и подставим в него первые части двух последних уравнений (24), оно представит сумму уравнений с частными производными (20) и (23). Итак, из трёх уравнений (24) только два существенны.Полагая
H — 1, означая через Д2 дифференциальный параметр второго порядка от некоторой функции и через Д2—разность этого параметра и его первого члена, т. е.
находим следующие уравнения с частными производными, интеграция которых содержит решение исследуемого вопроса:
Одно из уравнений (26) может быть заменено следующим, получаемым из них обоих:
Общий интеграл уравнения
A2Q = 0 может быть выражен помощью произвольных функций.
Означим через
LT и L интегралы дифференциальных уравненийУмножая выражения (29) па интегрирующие множители, приравнивая их
dL n dLv находя производные от (l по переменным г> н рь которые входят через L и L],, мы легко убедимся, что уравнение Д22 = 0 тождественно равно нулю. Следовательно, интегрируя уравнения &2F' — О и подставляя найденный интеграл имеете с выражением (30) в уравнения (26), мы определим вид функций в и (~)1.Частный случай.
Приложим найденные формулы i; сфере.
где т = \ —— есть термометрический параметр конусов широты. Следовательно,
Поэтому подстановка величины
Q в уравнения (26) даст нам, после лёгких преобразований и полагая
Рассмотрим случаи
r=const, что по первому из у равнении (24) требует, чтобы и Л2 f 4p- j = 0.Уравнения (33) удовлетворяются частным предположением
которое мы распространим отдельно па каждую из функций
(-) и 6j.Означая через
f-'-~>, Ф(а), /("), uj') произвольные функции, где а есть индекс, по которому производится суммирование, находим интеграцией и обращая внимание на значение функций о и Ил:
Отсюда
Итак, в рассматриваемом случае амплитуды колебаний обратно пропорциональны расстоянию от центра сферической волны. Следовательно, живая сила или напряжение колебаний обратно пропорционально квадрату того же расстояния. Величина ;•, входящая в показатель, указывает на зависимость фазы от
p и при я мнимом войдёт под знаки синуса и косинуса. Коэффициенты при показательной функции указывают на зависимость амплитуды от наклонности луча к двум основным плоскостям.Положение этих основных плоскостей может определяться какими-нибудь условиями или же остаётся неопределённым.
В последнем случае, представляя себе, что эти плоскости, оставаясь друг к другу нормальными, пробегают в весьма короткое время все азимуты, получим колебания, которые будут совершаться в каждой точке по всем направлениям; мы назовём их естественными в отличие от колебаний поляризованных, имеющих место при определённом положении основных плоскостей.
Действительные и мнимые части выражений (36), удовлетворяя независимо основным дифференциальным уравнениям колебания, должны быть отдельны друг от друга. Ниже мы дадим для сферы выражения более общие, по окончательное их исследование будет предложено во второй статье.
|
|
 |
