к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Стохастические колебания

Стохастические колебания (от греч. stochastikos - умеющий угадывать) - нерегулярные, внешне неотличимые от реализации случайного процесса колебания в полностью детерминированной (без шумов и флуктуации) нелинейной системе.

Сложное поведение нелинейных колебат. систем наблюдалось (1920-е - 50-е гг.) задолго до осознания факта возможности существования стохастичности в таких системах (эксперименты Ван дер Поля и Ван дер Марка [1], двухдисковое динамо [2], распределённая система авторегулирования температуры [3]). Кроме того, хотя в то время существовали нек-рые элементы матем. аппарата для описания нетривиального поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве (гомоклинич. структуры Пуанкаре [4]), однако представления о том, что детерминиров. системы могут вести себя хаотически, ещё не проникли ни в физику, ни в математику. Качественное изменение ситуации произошло в 1960-е гг. в связи с открытиями в математике [5-6] и компьютерными исследованиями моделей физ. систем.

С. к., как и истинно шумовые колебания, характеризуются сплошным Фурье спектром и спадающей автокорреляц. функцией (см. Хаос ).Отличает их от случайных флуктуации то обстоятельство, что они могут генерироваться динамич. системой с конечным числом степеней свободы (в то время как генерация шума требует от системы возбуждения бесконечного числа независимых степеней свободы). Физ. природа возникновения сложного запутанного поведения конечномерной системы связана с неустойчивостью всех (или большинства) индивидуальных движений. Неустойчивость траекторий, располагающихся в органич. области фазового пространства, и приводит к перемешиванию, следствием к-рого является запутанность, сложность, стохастичность движения. Важными характеристиками этой сложности и запутанности являются фрактальная размерность предельного множества (странного аттрактора) А и топологич. энтропия системы на нём (см. Фракталы).

Выберем на странном аттракторе ансамбль из отрезков траекторий длительности Т, отстоящих друг от друга на расстояние8071-84.jpg. Предположим, что любой отрезок длительности Т произвольной траектории в аттракторе лежит в8071-85.jpg-окрестности хотя бы одного из отрезков. Обозначим через С8071-86.jpgчисло отрезков (элементов) в ансамбле. При уменьшении8071-87.jpg или увеличении Т число С8071-88.jpgувеличивается. Рост С8071-89.jpgпри убывании8071-90.jpg естественно связан с геом. сложностью аттрактора. Увеличение же С8071-91.jpgпри возрастании Т есть следствие неустойчивости траекторий в аттракторе. Рассмотрим следующие характеристики движения на аттракторе;
8071-92.jpg

Величину h наз. топологич. энтропией, с - фрактальной размерностью аттрактора. Сигналу (реализации, наблюдаемой), с к-рым имеет дело исследователь, в эффективном фазовом пространстве (возможно, бесконечномерном) исследуемой системы отвечает предельное множество соответствующих траекторий. Его размерность естественно называть размерностью реализации, а топологич. энтропию системы, рассматриваемой лишь на этом предельном множестве, можно назвать топологич. энтропией реализации. Существуют алгоритмы определения этих величин, к-рые позволяют вычислить их для сигналов, генерируемых реальными процессами [7] (течение жидкости, энцефалограммы и пр.). Конечность этих величин свидетельствует о динамич. характере исследуемого процесса, а сами они характеризуют «степень стохастичности» системы.

Стохастичность гамильтоновых систем. Стохастич. свойства демонстрируют даже очень простые гамильтоновы системы, напр. маятник под действием внеш. иериодич. силы:
8071-93.jpg

Фазовое пространство этой системы трёхмерно и очевидно, что нач. фазовый объём сохраняется. Если в такой системе (в определ. области параметров) рассмотреть каплю «фазовой жидкости» в пространстве {(х, х,8071-94.jpg)}, то можно обнаружить, что через нек-рое время она, сложным образом деформируясь, заполнит определ. область в фазовом пространстве, к-рая и будет соответствовать стохастич. движениям (рис. 1).
8071-95.jpg

Рис. 1.

Однако наряду с этой областью перемешивания (или областью стохастичности) в фазовом пространстве (1) всегда будут существовать нач. условия, к-рым отвечает регулярное периодическое или квазипериодическое поведение. Особенно наглядно это видно на секущей плоскости8071-96.jpg8071-97.jpg (на рис. 2 показаны следы фазовых траекторий- траектории отображения Пуанкаре). Регулярным движениям отвечают двумерные торы, на к-рых лежат траектории, соответствующие условно периодич. движениям (на рис. 2 - это замкнутые кривые). В области хаоса эти торы разрушены. Очевидно, в трёхмерном фазовом пространстве (и в четырёхмерном на трёхмерной поверхности пост. энергии) области хаотического и регулярного поведения разделены. Такие системы наз. системами с разделённым фазовым пространством [8]. Если фазовое пространство имеет размерность больше четырёх, то геом. запретов, гарантирующих разделение хаотических и регулярных движений, уже не существует и области стохастич. поведения в разных частях фазового пространства могут соединяться друг с другом отрезками одной и той же траектории. Обычно это происходит вдоль сепаратрис (стохастич. диффузия, или диффузия Арнольда [8]).

Возникновение стохастичности в гамильтоновых системах типа (1) определяется значением амплитуды внеш. силы, что имеет простой физ. смысл. При достаточно больших амплитудах появляется большое число гармоник осн. частоты колебаний, на каждой из к-рых возможен нелинейный резонанс; при дальнейшем увеличении амплитуды области резонанса в фазовом пространстве, соответствующие этим движениям, перекрываются (т. н. перекрытие резонансов Чирикова). Обнаружение стохастич. поведения гамильтоновых систем, обладающего не только эргодичностью ,но и более сильными статистич. свойствами (перемешиванием, спадением автокорреляц. функции и т. п.), позволяет построить динамич. модели, на основе к-рых могут быть получены осн. законы статистич. механики без предварит. гипотез. Это - модели типа бильярда Синая [9], газа Лоренца [10] и пр.
8071-98.jpg

Рис. 2.

Стохастические автоколебания. В системах с диссипацией, напр. в системе
8071-99.jpg

фазовый объём не сохраняется - он сжимается, поэтому можно было бы ожидать, что движение системы может лишь упроститься. Однако стохастич. поведение в таких системах сохраняется; лишь незначительно (в зависимости от величины k)уменьшается размерность стохастич. множества, к-рое в данном случае является странным аттрактором. Стохастич. автоколебания реализуются не только в простой модели (2) неавтономного осциллятора, но и практически в любой нелинейной колебательной диссипативной системе с периодич. силой, если её амплитуда не слишком мала, даже если потенциал осциллятора имеет лишь один минимум (в фазовом пространстве невозмущённой системы одно положение равновесия), как в системе, описываемой ур-нием
8071-100.jpg

(нелинейный резонанс с учётом затухания). Существование стохастич. автоколебаний в системе
8071-101.jpg

описывающей (с учётом нелинейной реактивности), в частности, синхронизацию колебаний, означает, кроме прочего, и то, что при переходе в области параметров через границу режима захватывания могут возникнуть не только биения, но и сложные колебания, ничем не отличимые от случайных. На рис. 3 приведены аттракторы систем, описываемых ур-ниями (3) и (4) при соответствующих значениях параметров.

Движения на странном аттракторе - установившиеся стохастич. автоколебания. Подобно периодич. автоколебаниям, матем. образом к-рых является предельный цикл, осн. характеристики установившихся движений (спектр колебаний, размерность, энтропия и др.) на странном аттракторе не зависят от нач. условий. Нач. условия сказываются лишь на характере переходного процесса. Несмотря на то, что странный аттрактор состоит из неустойчивых траекторий, т. е. движение рядом с каждой из них происходит лишь конечное время, однако переходы с одной неустойчивой траектории на другую происходят таким образом, что движение системы осуществляется вдоль траектории, тоже принадлежащей странному аттрактору [11].

В многомерных системах размерность странных аттракторов может быть много меньше размерности фазового пространства, что соответствует частичной синхронизации степеней свободы системы.

Пути возникновения стохастических колебаний [12, 13]. Последовательности бифуркаций (сценарии, пути), приводящие к возникновению С. к. при изменении параметров системы, могут быть бесконечно разнообразны, однако элементарных бифуркаций или их последовательностей, содержащихся в этих сценариях, не так много.

Рассмотрим вначале режимы «мягкого» возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это - рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации («гофрирование») тора и его разрушение, сопровождающееся возникновением большого числа гармоник и субгармоник в спектре колебаний. Для «жёсткого» режима возникновения С. к. характерно превращение непритягивающих гомоклинич. структур в фазовом пространстве, образовавшихся в результате потери устойчивости простыми аттракторами, в странный аттрактор.

8072-1.jpg

Рис. 3.

8072-2.jpg

Рис. 4.

Стохастические колебания в распределённых системах [14] - неупорядоченное поведение не только во времени, но и в пространстве. Степень неупорядоченности этих движений связана с числом независимых степеней свободы, формирующих это движение.

Пример подобного неупорядоченного движения распределённой гамильтоновой системы - стохастич. движение солитона ,описываемое нелинейным Шрёдингера уравнением с гармонич. потенциалом:
8072-3.jpg

Для «медленных» переменных, определяющих координаты центра солитона, в одномерной ситуации получается ур-ние движения, совпадающее с (1). Т. о., один из механизмов стохастизации волнового поля связан с формированием локализов. образования (солитона) и его хаотич. блуждания в физ. пространстве, подобного нерегулярному движению изображающей точки в фазовом пространстве нелинейного осциллятора (1).

В диссинативных распределённых системах незатухающие С. к. возможны лишь при наличии источника энергии (потоки массы или тепла в гидродинамич. течениях, накачка в лазерах, пост. или периодич. магн. поле при возбуждении спиновых волн и т. д.). Установившиеся стохастич. пульсации в распределённой диссипативной системе, к-рым соответствуют конечномерные аттракторы, есть стохастич. автоколебания. При не слишком больших числах Рейнольдса черты гидродинамич. турбулентности описываются движениями на конечномерном странном аттракторе, размерность к-рого обычно растёт с ростом числа Рейнольдса.

Литература по стохастическим колебаниям

  1. Van der Pol В., Van der MarkJ., Frequency demultiplication, «Nature», 1927, v. 120, p. 363;
  2. Rikitake Т., Oscillations of a system of disc dynamics, «Proc. Camb. Philos. Soc.», 1958, v. 54, № 1, p. 89;
  3. Алексеев А. С., Двухпо:шционный регулятор температуры с зоной опережения, в сб.: Памяти А. А. Андронова, М., 1955;
  4. Пуанкаре А.. Избр. труды, т. 2, М., 1972;
  5. Аносов Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, «Тр. Мат. ин-та АН СССР», 1967, т. 90;
  6. Синай Я. Г., Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы, «Функциональный анализ и его приложения», 1968, т. 2, в. 1, с. 64;
  7. Рабинович М. И., Сущик М. М., Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, «УФН», 1990, т. 160, с. 3;
  8. Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984;
  9. Бунимович Л. А. и др., Эргодическая теория гладких динамических систем, в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 2, М., 1985;
  10. Синай Я. Г., Чернов Н. И., Энтропия газа твердых сфер по отношению к группе пространственно-временных сдвигов, в сб.: Труды семинара им. И. Г. Петровского, в. 8, М., 1982, с. 218;
  11. Алексеев В. М., Якобсон М. В., Добавление. Символическая динамика и гиперболические динамические системы, в кн.: Боуэн Р., Методы символической динамики, пер. с англ., М., 1979;
  12. Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984;
  13. Шустер Г., Детерминированный хаос, пер. с англ., М., 1988;
  14. Рабинович М. И., Стохастические автоколебания и турбулентность, «УФН», 1978, т. 125, с. 123.

В. С. Афраимович, М. И. Рабинович

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 22.09.2019 - 08:27: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
22.09.2019 - 08:22: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Галины Царёвой - Карим_Хайдаров.
21.09.2019 - 11:36: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
20.09.2019 - 19:50: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
20.09.2019 - 04:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
18.09.2019 - 12:08: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА - Карим_Хайдаров.
18.09.2019 - 06:01: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Л.Г. Ивашова - Карим_Хайдаров.
17.09.2019 - 05:51: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ФАЛЬСИФИКАЦИЯ ИСТОРИИ - Карим_Хайдаров.
17.09.2019 - 05:41: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Андрея Тиртхи - Карим_Хайдаров.
16.09.2019 - 03:11: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
14.09.2019 - 18:23: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
13.09.2019 - 09:08: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution