Автоколебания. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Автоколебания - незатухающие колебания в дис-сипативной нелинейной системе, поддерживаемые за счёт энергии внеш. источника, параметры к-рых (амплитуда, частота, спектр колебаний) определяются свойствами самой системы и не зависят от конечного изменения нач. условий. Термин "А." введён А. А. Андроновым в 1928.

Автоколебания принципиально отличаются от др. колебат. процессов в диссипативных системах тем, что для их поддержания не требуется колебат. воздействий извне. Примеры А.: колебания скрипичной струны при движении смычка, тока в радиотехн. генераторе, воздуха в органной трубе, маятника в часах. Возникают А. в результате развития колебат. неустойчивостей с их последующей стабилизацией из-за прекращения поступления энергии от источника или прогрессирующего возрастания потерь (диссипации). Режим стационарных А. определяется из условия энергетич. баланса - в ср. за период диссипативные траты энергии Q (I) (I - интенсивность А.) должны точно компенсироваться поступлением энергии W(I)от источника:

Если в окрестности стационарного режима I₀ энергия потерь Q (I) при изменении I растёт быстрее, чем приток энергии W(I), то этот режим А., с энергетич. точки зрения, устойчив (рис. 1, а); если же быстрее увеличивается W(I), то стационарный режим неустойчив (рис. 1, б). Даже в тех случаях, когда можно ввести функции Q и W, они обычно зависят не только от интенсивностей А., но и от их фаз, поэтому энергетич. метод определения устойчивости А. в общем случае неприменим. Системы, в к-рых А. возникают "самопроизвольно" - без нач. толчка, наз. системами с мягким режимом возбуждения; если для возникновения А. необходим конечный нач. толчок, то говорят о жёстком режиме возбуждения.

Рис. 1. Энергетическая схема установления автоколебаний: а - стационарный режим устойчив; б - стационарный режим неустойчив.

В простейших автоколебат. системах можно выделить колебат. систему с затуханием, усилитель колебаний, нелинейный ограничитель и звено обратной связи. Напр., в ламповом генераторе (генераторе Ван дер Поля, рис. 2, а, б)колебат. контур с потерями, состоящий из ёмкости С, индуктивности L и сопротивления R, представляет собой диссипативную колебат. систему, цепь катод - сетка и индуктивность L образуют цепь обратной связи.

Рис. 2. Схемы генераторов Ван дер Поля: а - с колебательным контуром в цепи анода; б - с колебательным контуром в цепи сетки; в - характеристика лампы.

Случайно возникшие в колебат. контуре малые собств. колебания через катушку L управляют анодным током лампы, к-рая является усилителем. При положит. обратной связи (т. е. при определённом взаимном расположении катушек L и L₁) в контур вносится определ. энергия. Если эта энергия больше энергии потерь в контуре, то амплитуда малых вначале колебаний в контуре нарастает. Поскольку анодный ток лампы зависит от напряжения на сетке нелинейным образом (рис. 2, в), то при нарастании амплитуды колебаний энергия, поступающая в контур, уменьшается и при нек-рой амплитуде колебаний становится равной энергии потерь. В результате устанавливается режим стационарных А., при к-ром внеш. источник (анодная батарея) компенсирует все потери энергии. Т. о., автоколебат. системы должны быть принципиально нелинейными - именно нелинейность не позволяет колебаниям безгранично нарастать, управляя поступлением и тратами энергии источника.

Чтобы определить характер А. и зависимость их амплитуды и формы от параметров системы, необходимо обратиться к анализу соответствующей математической модели. Для простейшего генератора (рис. 2, а) такой моделью служит уравнение Ван дер Поля

к-рое получается при пренебрежении сеточными токами лампы и аппроксимации её характеристики кривой, представленной на рис. 2, в. Это ур-ние записано в безразмерных переменных, где

;

. Здесь

- собств. частота колебат. контура,

- параметр превышения над порогом генерации (при

<0 потеря в контуре больше, чем вносимая энергия),

характеризует амплитуду А., М - коэфф. взаимной индукции, S₀ и S₂ - параметры вольт-амперной характеристики усилит. лампы. Тот факт, что А. в рассматриваемой системе описываются диф-ференц. ур-нием 2-го порядка (его фазовое пространство - плоскость), сразу накладывает принцип. ограничения на вид А. В подобных системах возможны только периодич. А.

Геом. образом установившихся А. в фазовом пространстве системы служит аттрактор - траектория (или множество траекторий), расположенная в огранич. области фазового пространства и притягивающая к себе все близкие траектории. Поскольку на фазовой плоскости траектории пересекаться не могут, в системах 2-го порядка может существовать лишь простейший нетривиальный аттрактор - замкнутая траектория, к к-рой стремятся все ближайшие траектории. Такая траектория наз. предельным циклом, к-рый служит образом периодич. А. Размеры предельного цикла определяют амплитуду А., время движения изображающей точки по циклу - период А., а форма предельного цикла - форму колебаний. Величина (J, характеризует нелинейность системы: чем больше нелинейность, тем больше форма колебаний отличается от синусоидальной (рис. 3). При малых

потери в контуре и вносимая в него энергия очень малы - ур-ние (1) близко к ур-нию гармонич. осциллятора, а А. близки к синусоидальным с частотой

Рис. 3. Осциллограммы х (t), иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе (1) соответственно: при

- квазигармонические колебания (а); при

- сильно не-синусоидальные колебания (б); при

- релаксационные колебания (в).

В др. предельном случае

потери в контуре и вносимая в него энергия очень велики по сравнению с энергией в нём запасённой, поэтому колебания будут сильно отличаться от синусоидальных, превращаясь в релаксационные. Анализ таких А. удобно проводить, разделяя движения на участки быстрых и медленных движений (см. Релаксационные колебания).

При изменении величины параметра

не происходит никаких качественных изменений в структуре разбиения фазовой плоскости ур-ния (1) на траектории - при любом

в системе имеются единств. состояние равновесия (х=0,

=0), к-рое неустойчиво, и единств. предельный цикл, к-рый устойчив. Качественные перестройки - бифуркации происходят лишь при смене знака

. Рассмотренная картина соответствует мягкому режиму возникновения А., к-рому соответствует фазовый портрет, изображённый на рис. 4, а. В системах с жёстким режимом возбуждения колебания самопроизвольно нарастают лишь с нек-рой нач. амплитудой, т. е. когда имеется толчок с амплитудой, большей нек-рого критич. значения; при этом на фазовом, портрете (рис. 5) нач. точка должна лежать вне заштрихованной области, т. е. изображающая точка должна быть выведена за пределы области притяжения устойчивого состояния равновесия, границей к-рого служит неустойчивый предельный цикл.

Рис. 4. Фазовые портреты системы (1): а - при

; б - при

; в - при

В системах, даже незначительно более сложных, чем генератор на рис. 2, а, напр. в системах с полутора степенями свободы, возможны не только периодич. и квазипериодич. А. (с несколькими несоизмеримыми частотами), но и А., ничем неотличимые от случайных - т. н. стохастические А. Примером такой автоколебат. системы - генератора шума, в к-ром хаотич. колебания (колебания со сплошным спектром) совершаются в диссипативной системе за счёт энергии регулярных источников, может служить генератор на рис. 2, б, если в контур последовательно с индуктивностью добавлен нелинейный элемент с невзаимно однозначной вольт-амперной характеристикой (рис. 6). Таким элементом является, напр., туннельный диод .Матем. модель или соответствующая такому генератору динамическая система может быть представлена в виде системы 3-го порядка:

Здесь х, у, z - соответственно безразмерные токи в контуре, напряжение на ёмкости и напряжение на туннельном диоде, h - инкремент нарастания колебаний в контуре в отсутствие диода,

характеризует степень влияния диода на процессы в контуре,

- малый параметр, пропорциональный ёмкости туннельного диода, f(z) - его нормированная характеристика.

Рис. 5. Фазовый портрет, отвечающий жёсткому возбуждению автоколебаний: 1 - устойчивый предельный цикл; 2 - неустойчивый предельный цикл; 3 - устойчивое состояние равновесия.

Фазовое пространство системы (2) трёхмерно. При определ. параметрах в этом фазовом пространстве все траектории будут входить в ограниченную область, внутри к-рой нет ни устойчивых состояний равновесия, ни устойчивых предельных циклов. Внутри этой области содержится притягивающее множество траекторий, каждая из к-рых неустойчива,- это т. н. странный аттрактор. Подобно тому, как предельный цикл является образом периодич. А., образом стохастич. А. служит странный аттрактор. Для автоколебат. систем с неск. степенями свободы характерны такие явления, как синхронизация и конкуренция колебаний. Разделяют внеш. синхронизацию А., или захватывание частоты генератора, и взаимную синхронизацию. При захватывании частоты устанавливаются А. с частотой и фазой, соответствующими частоте и фазе внеш. периодич. воздействия, а при взаимной синхронизации - периодич. сфазированные колебания в ансамбле подсистем, к-рые в независимом режиме работы характеризуются разл. частотами. Захватывание частоты широко используется для управления и стабилизации частоты мощных малостабильных генераторов с помощью высокостабильных маломощных (напр., в лазерах).

Рис. 6. Вольт-амперная характеристика туннельного диода.

Полоса захватывания - область расстроек между частотами собств. колебаний и внеш. сигналом, внутри к-рой устанавливается режим синхронизации,- расширяется при увеличении амплитуды внеш. воздействия. Вне границы захватывания устойчивый режим генерации периодич. колебаний сменяется режимом биений - режимом квазипериодич. колебаний либо стохастич. режимом. Взаимная синхронизация подсистем или различных элементарных колебаний (мод) используется при работе неск. генераторов на общую нагрузку, для получения коротких импульсов в многомодовых генераторах (напр., лазерах) и т. д.

Конкуренция мод - подавление одних мод другими в автоколебат. системах - связана с тем, что конкурирующие моды черпают энергию на покрытие дисси-пативных расходов из общего источника. В результате одни моды создают дополнит. нелинейное затухание для других. Благодаря эффектам конкуренции и взаимной синхронизации колебаний в автоколебат. системах с большим числом степеней свободы (или даже бесконечным числом - в случае распределённых систем) возможно установление из нач. шума (нарастающих в результате развития линейных неустойчивостей флуктуации на разл. частотах) режима регулярных периодич. А. Эффекты конкуренции и синхронизации оказываются принципиальными и для появления высокоорганизованных структур в нелинейных не равновесных средах.

В распределённых системах характер А. существенно зависит, помимо вида нелинейности, ещё и от особенностей дисперсии среды и граничных условий, в частности наличия резонатора. В нек-рых случаях спектр возбуждения мод и особенности их нелинейного взаимодействия таковы, что при анализе А. в распределённой системе с бесконечным числом степеней свободы возможно ограничиться т. н. одно-модовым описанием.

Рис. 7. Кольцевая труба, заполненная жидкостью,- конвективная петля; g- ускорение силы тяжести, Т_Н - температуpa в точке М, T_В - температуpa в точке Р.

Для примера рассмотрим А. в кольцевом резонаторе - расположенной в вертик. плоскости замкнутой трубе, заполненной вязкой жидкостью (рис. 7). При подогреве кольца снизу в системе устанавливается режим конвекции: более лёгкая, нагретая в основании кольца часть жидкости всплывает, заставляя охлаждённую жидкость опускаться вниз. Т. о., начиная с нек-рой разности температур Т_В - Т_Н= устанавливается режим стационарного вращения жидкости по или против часовой стрелки. При этом вся жидкость вращается как целое - реализуется лишь одно наиб. крупномасштабное движение. Дальнейшее увеличение

приводит к возникновению А., проявляющихся в том, что жидкое кольцо внутри трубы время от времени будет менять направление своего движения. Физически это можно пояснить так: пусть в данный момент жидкость движется по часовой стрелке, при достаточно большом

архимедова сила велика и водяное кольцо ускоряется настолько, что остывший вверху жидкий объём, пройдя горячее основание и не успев нагреться, уже не достигает верх. части кольца и приостанавливается (архимедова сила недостаточна, чтобы преодолеть силу вязкости и гравитации). При этом опускающаяся (правая) часть жидкости теплее и, следовательно, легче поднимающейся.

В результате торможения жидкого кольца жидкость в его основании нагревается и всплывает, но уже в противоположном направлении - давление справа меньше, чем слева. Т. о., жидкое кольцо меняет направление своего вращения и начинает закручиваться против часовой стрелки. Затем всё повторяется в обратном порядке. Такие вызываемые тепловой конвекцией А. могут быть как периодическими, так и стохастическими. Поскольку никакие другие масштабы движения, кроме основного, в А. рассматриваемого вида не участвуют, матем. модель для описания этих А. может быть получена из исходных ур-ний гидродинамики в предположении, что зависимость полей скорости и температуры от пространственных координат не меняется во времени и пропорциональна

, где

- угл. координата элементарного объёма жидкости. В результате для безразмерных скорости x(t)движения жидкого кольца, температуры y(t)жидкости в точке N и температуры z(t)в точке М можно получить систему ур-ний в обыкновенных производных:

где

. Это - известная система Лоренца (см. Лоренца система ),к-рая является одной из осн. моделей теории стохастич. А. В зависимости от параметров

в фазовом пространстве системы (3) могут существовать как устойчивый предельный цикл, так и странный аттрактор.

В общем случае А. в резонаторах, к-рые описываются ур-ниями в частных производных с соответствующими граничными условиями, невозможно представить с помощью конечномерной динамич. системы. Однако, как правило, благодаря разного рода физ. обстоятельствам, напр. наличию диссипации, прогрессирующей с ростом частоты или уменьшением пространственного масштаба пульсаций, такое конечномерное описание оказывается справедливым.

В неравновесных диссипативных средах, помимо А., о к-рых речь шла выше, возможны ещё т. н. авто-волны и автоструктуры - не связанные с граничными условиями пространственно-временные образования, параметры к-рых определяются лишь свойствами нелинейной неравновесной среды, напр. уединённые фронты горения и волны популяций, импульсы в нервных волокнах, цилиндрические и спиральные волны в сердечной ткани и др. Стохастич. А. в нелинейных неравновесных средах - это турбулентность.

Литература по автоколебаниям

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.