Метод геометрической оптики. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Метод геометрической оптики - приближённый асимптотический метод вычисления волновых полей, опирающийся на представление о лучах, вдоль которых распространяется энергия волны. Метод геометрической оптики отвечает широкому, "волновому", пониманию геом. оптики, в противоположность геометрической оптике в узком, "лучевом", смысле, ориентированной на построение изображений при помощи лучей. Первоначальный, лучевой, период развития метода геометрической оптики был завершён трудами У. Гамильтона (W. Hamilton) и его последователей, тогда как начало современному, волновому, периоду положил П. Дебай (P. Debye) в 1911.

Уравнения геометрической оптики

Переход от волнового уравнения к уравнениям геом. оптики проще всего продемонстрировать на примере скалярного монохроматич. волнового поля и(r), удовлетворяющего уравнению Гельмгольца

, где п(r) - коэф. преломления,

- волновое число,

- частота [зависимость от времени даётся множителем

, который для простоты не выписывается]. В рамках метода геометрической оптики волновое поле представляют в виде

, причём параметры волны - амплитуду А(r) и градиент фазы

- считают функциями, медленно меняющимися в масштабе длины волны

т. е. предполагают, что поле и(r)имеет структуру квазиплоской волны. Амплитуду А разлагают далее в ряд по безразмерному малому параметру

, где L - характерный масштаб задачи: А= (процедура Дебая - Рытова). Чтобы получить уравнения для эйконала

и амплитуд А_т, в уравнении Гельмгольца следует приравнять нулю коэф. при одинаковых степенях

или

. уравнения для

и амплитуды нулевого приближения A₀ (соответственно уравнение эйконала и уравнение переноса) имеют вид

Характеристики уравнения эйконала в методе геометрической оптики называются лучами. уравнения лучей можно записать в разл. формах. Чаще всего употребляются лагранжева форма

Здесь

- элемент длины луча,

вектор, касательный к лучу. В однородной среде (

=0) лучи являются прямыми линиями. Если известно двупараметрич. семейство лучей

, покидающих нач. поверхность S⁰ (рис. 1), то решения уравнений (2) с нач. значениями

, заданными на S°, можно выразить через параметры семейства лучей:

где интегрирование ведётся вдоль лучей, а

- якобиан перехода от лучевых координат к декартовым. T. о., лучи в методе геометрической оптики образуют костяк, на который "нашивается" волновое поле, наз. в этом случае лучевым полем. Согласно (2), поток энергии

направлен по касательной к лучу. В одномерных задачах метод геометрической оптики равносилен ВКБ-методу.

уравнения метода геометрической оптикизначительно проще, чем исходное волновое уравнение, т. к. сводятся к системе обыкновенных дифференц. уравнений (3) или (4). Для сравнительно просто устроенных сред эти уравнения допускают аналитич. решения, в т. ч. методом разделения переменных, но чаще используют приближенные решения методом возмущений и численными методами. В рамках метода геометрической оптики легко описать слабое поглощение в среде (вводя соответств. фактор ослабления вдоль криволинейного луча), а также отражение и преломление на криволинейных границах раздела, для чего используют Френеля формулы.

Условия применимости. Рассматривая луч как физ. объект, его можно окружить "френелевским объёмом", который содержит все первые Френеля зоны, ,"нанизанные" на луч (рис. 2). Френелевский объём определяет область, влияющую на формирование поля в точке наблюдения. Исходя из этого, можно сформулировать достаточные условия применимости методов геометрической оптики, которые сводятся к требованию, чтобы в поперечном сечении френелевского объёма с радиусом а_f параметры волны А и р практически не менялись:

Эти неравенства гарантируют малость дифракц. эффектов, тогда как неравенства (1) служат лишь необходимыми условиями применимости методов геометрической оптики.

Разновидности метода геометрической оптики используют при решении разнообразных физ. задач, причём не только в оптике, но и в радиофизике, физике плазмы. У метода геометрической оптики имеются "двойники": геометрическая акустика ,геом. сейсмология, квазиклассическое приближение квантовой механики (в трёх измерениях) и т. д. Особенно велика роль методов геометрической оптики в задачах распространения волн в неоднородных средах, для которых аналитич. решения исходного волнового уравнения известны только для небольшого числа частных случаев.

Для описания векторных полей (эл--магн., упругие, гидродинамич. и др. волны) разработано неск. вариантов метода геометрической оптики. В случае анизотропных сред используют представление поля в виде суммы независимых (невзаимодействующих) нормальных волн. В изотропных средах разделяют продольные и поперечные волны, при этом оказывается, что векторы поля в поперечной волне вращаются относительно естеств. трёхгранника со скоростью, равной кручению луча

(закон Рытова). В промежуточном случае слабо анизотропных сред, когда нужно учитывать взаимодействие нормальных волн, эффективное описание поля достигается при помощи квазиизотропного приближения геом. оптики. Распространение немонохроматич. волн в общем случае неоднородных и нестационарных сред с частотной и пространств. дисперсией описывают при помощи пространственно-временной геом. оптики, к-рая опирается на понятие пространственно-временных лучей. Последние вводят как характеристики уравнения эйконала

где

- полная фаза волны. В нестационарных средах энергия волны не сохраняется, но в определ. условиях существует адиабатический инвариант

const, где

- энергия волнового пакета. Разработаны также варианты метода геометрической оптики для случайно-неоднородных сред, волноводных систем и резонаторов, поверхностных волн, нелинейных задач и т. д.

Обобщения метода геометрической оптики

Значение метода геометрической оптики определяется не только его наглядностью, универсальностью и эффективностью при решении разнообразных задач, но и тем, что он явился эвристич. основой мн. приближённых методов в теории распространения и дифракции волн. Комплексный метода геометрической оптики используют для описания полей в сильно поглощающих средах и в области каустич. тени. Ряд обобщений метода геометрической оптики направлен на устранение расходимости поля вблизи каустик. Сюда относятся метод эталонных функций Кравцова - Людвига, метод канонич. оператора Маслова, метод интерференц. интеграла Орлова и некоторые др. методы, существенно использующие лучевой каркас для построения равномерных и локальных асимптотик поля. К обобщениям метода геометрической оптики следует отнести также метод геом. теории дифракции Келлера, метод краевых волн Уфимцева, полутеневые асимптотич. методы и ряд др. подходов, выражающих дифракц. поле через решение известных эталонных задач и использующих разл. типы дифракц. лучей, с введением которых дифракц. поля приобретают лучевую структуру.

Наконец, следует указать квазиоптического обобщения метода геометрической оптики: плавных возбуждений метод (Рытова), параболического уравнения приближение (Леонтовича - Фока), Кирхгофа метод дифракц. интеграла для неоднородных сред. Указанные обобщения существенно расширили возможности метода геометрической оптики и позволили проводить расчёты полей в таких областях, как зоны тени и полутени, окрестности каустик и фокусов и т. д.

Литература по методам геометрической оптики

Знаете ли Вы, что в 1965 году два американца Пензиас (эмигрант из Германии) и Вильсон заявили, что они открыли излучение космоса. Через несколько лет им дали Нобелевскую премию, как-будто никто не знал работ Э. Регенера, измерившего температуру космического пространства с помощью запуска болометра в стратосферу в 1933 г.? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.