В 1917 году немецкий математик И. Радон [1] предложил метод восстановления (реконструкции) многомерных функций по их интегральным характеристикам, т.е. метод решения обратной задачи интегральной геометрии.
Преобразование Радона
-
интегральное преобразование функции многих переменных,
родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года. Важнейшее свойство преобразования Радона - обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.
Широкое применение нашёл этот метод в компьютерной томографии [2]:
При просвечивании объекта интенсивность луча на выходе равна интегралу функции распределения плотности вещества вдоль траектории луча. Таким образом, регистрируемое излучение (радоновский образ или проекция), вычисленное под различными углами, позволяет посредством преобразования Радона восстановить изображение поперечного сечения объекта.
Другая широчайшая область применения преобразования Радона и различных его модификаций – цифровая обработка изображений, а именно определение параметров различных кривых и их идентификация, будь то простейшая прямая линия, рукописный шрифт или фотография лица человека.
Общие сведения о преобразовании Радона, его свойства и возможности реализации приведены в [2].
Поскольку двумерное преобразование Фурье обратимо, то обратимо и преобразование Радона (20).
(20)
Выражение (20) есть формула обращения преобразования Радона.
К сожалению, преобразование Радона обратимо не для каждой функции.
Наиболее широкую область применения, как это отмечалось в самом начале, преобразование Радона нашло в компьютерной томографии. В задачах цифровой обработки изображений наиболее широко применяется преобразование Хафа. В среде MatLab (Image Processing Toolbox) реализованы оба преобразования (в том числе и обратное преобразование Радона).
Знаете ли Вы, что взаимность (в математическом программировании) - это свойство задач выпуклого (в том числе линейного) программирования, состоящее в инвариантности оптимального решения и инвариантности с точностью до масштаба множителей Лагранжа к замене целевой функции любым эффективным ограничением при дополнительном условии, что значение прежней целевой функции останется равным оптимальному.
(19)
(20)
