Основные алгоритмы компьютерной графики   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Быстрое преобразование Фурье

Мирослав Войнаровский

    Вводная информация

  1. Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа
  2. Дискретные преобразования сигналов
  3. Свойства преобразований Фурье
  4. Технология БПФ

  5. Физический смысл БПФ
  6. Определения
  7. Теоремы быстрого преобразования Фурье (FFT)
  8. Основные формулы алгоритма БПФ
  9. Что такое зеркальный эффект
  10. Что такое эффект размазывания
  11. Неоднозначность представления суммой гармоник
  12. Доказательство зеркального эффекта
  13. Исправление зеркального эффекта
  14. БПФ для произвольного N
  15. Листинг программы на C++ (N - степень 2)
  16. Листинг программы на C++ (N - четное)
  17. Листинг программы на C++ (N - любое)
  18. Преобразование БПФ для N=PQ
  19. Логарифмический алгоритм БПФ для произвольного N
  20. Пояснения и оптимизация алгоритма БПФ
  21. Практические советы и замечания к выполнению БПФ
  22. Преобразование Фурье в среде MathCAD
  23. Преобразование Фурье в среде Maple
Быстрое преобразование Фурье, БПФ, Fast Furier Transform, FFT - алгоритм вычисления преобразования Фурье для дискретного случая. В отличие от простейшего алгоритма, который имеет сложность порядка O(N2), БПФ имеет сложность всего лишь O(Nlog2N). Алгоритм БПФ был впервые опубликован в 1965 году в статье Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey).

Данное руководство содержит исходный код работающей программы для вычисления БПФ, подробное объяснение принципа ее работы и теоретическое обоснование. Все это можно найти и на других ресурсах, но трудно найти именно в таком комплекте: и программа, и объяснения, и теория, и на русском языке.

Если у вас нет времени и желания разбираться с теорией, то можете сразу скопировать текст программы на C++. Здесь находится заголовочный файл fft.h и исходник fft.cpp для быстрого преобразования Фурье для числа отсчетов, равного степени двойки. Вызывать надо функцию fft. А здесь находится заголовочный файл и исходник для произвольного (!) числа отсчетов. Он чуть медленнее, но скорость там тоже порядка Nlog2N. Вызывать надо функцию universal_fft.

Определения

Определение 1

Дана конечная последовательность x0, x1, x2,...,xN-1 (в общем случае комплексных). Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности X0, X1, X2,...,XN-1 элементы которой вычисляются по формуле:

    (1).

Определение 2

Дана конечная последовательность X0, X1, X2,...,XN-1 (в общем случае комплексных). Обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности x0, x1, x2,...,xN-1 элементы которой вычисляются по формуле:

    (2).

Основным свойством этих преобразований (которое доказывается в соответствующих разделах математики) является тот факт, что из последовательности {x} получается (при прямом преобразовании) последовательность {X}, а если потом применить к {X} обратное преобразование, то снова получится исходная последовательность {x}.

Определение 3

Величина

называется поворачивающим множителем.

Рассмотрим ряд свойств поворачивающих множителей, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Верхняя цифра в поворачивающем множителе не является индексом, это - степень. Поэтому, когда она равна единице, мы не будем ее писать:

Прямое преобразование Фурье можно выразить через поворачивающие множители. В результате формула (1) примет вид:

    (3).

Эти коэффициенты действительно оправдывают свое название. Нарисуем на комплексной плоскости любое комплексное число, в виде вектора, исходящего из начала координат. Представим это комплексное число в показательной форме: re, где r - модуль числа, а φ - аргумент. Модуль соответствует длине вектора, а аргумент - углу поворота:

Теперь возьмем какой-нибудь поворачивающий множитель . Его модуль равен единице, а фаза - 2π/N. Как известно, при умножении комплексных чисел, представленных в показательной форме, их модули перемножаются, а аргументы суммируются. Тогда умножение исходного числа на поворачивающий множитель не изменит длину вектора, но изменит его угол. То есть, произойдет поворот вектора на угол 2π/N (см. предыдущий рисунок).

Если теперь посмотреть на формулу (3), то станет ясен геометрический смысл преобразования Фурье: он состоит в том, чтобы представить N комплексных чисел-векторов из набора {x}, каждое в виде суммы векторов из набора {X}, повернутых на углы, кратные 2π/N.

Основные алгоритмы компьютерной графики   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов  

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution