Быстрое преобразование Фурье, БПФ, Fast Furier Transform, FFT
-
алгоритм вычисления преобразования Фурье для дискретного случая. В отличие от простейшего алгоритма, который имеет сложность порядка O(N2), БПФ имеет сложность всего лишь O(Nlog2N). Алгоритм БПФ был впервые опубликован в 1965 году в статье Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey).
Данное руководство содержит исходный код работающей программы для вычисления
БПФ, подробное объяснение принципа ее работы и теоретическое обоснование.
Все это можно найти и на других ресурсах, но трудно найти именно в таком
комплекте: и программа, и объяснения, и теория, и на русском языке.
Если у вас нет времени и желания разбираться с теорией, то можете сразу
скопировать текст программы на C++. Здесь находится
заголовочный файл fft.h и исходник fft.cpp для быстрого преобразования Фурье
для числа отсчетов, равного степени двойки. Вызывать надо функцию fft.
А здесь находится заголовочный файл и исходник для
произвольного (!) числа отсчетов. Он чуть медленнее, но скорость там тоже
порядка Nlog2N. Вызывать надо функцию universal_fft.
Определения
Определение 1
Дана конечная последовательность x0, x1, x2,...,xN-1 (в общем случае комплексных). Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности X0, X1, X2,...,XN-1 элементы которой вычисляются по формуле:
(1).
Определение 2
Дана конечная последовательность X0, X1, X2,...,XN-1 (в общем случае комплексных). Обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности x0, x1, x2,...,xN-1 элементы которой вычисляются по формуле:
(2).
Основным свойством этих преобразований (которое доказывается в соответствующих разделах математики) является тот факт, что из последовательности {x} получается (при прямом преобразовании) последовательность {X}, а если потом применить к {X} обратное преобразование, то снова получится исходная последовательность {x}.
Определение 3
Величина
называется поворачивающим множителем.
Рассмотрим ряд свойств поворачивающих множителей, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Верхняя цифра в поворачивающем множителе не является индексом, это - степень. Поэтому, когда она равна единице, мы не будем ее писать:
Прямое преобразование Фурье можно выразить через поворачивающие множители. В результате формула (1) примет вид:
(3).
Эти коэффициенты действительно оправдывают свое название. Нарисуем на комплексной плоскости любое комплексное число, в виде вектора, исходящего из начала координат. Представим это комплексное число в показательной форме: rejφ, где r - модуль числа, а φ - аргумент. Модуль соответствует длине вектора, а аргумент - углу поворота:
Теперь возьмем какой-нибудь поворачивающий множитель . Его модуль равен единице, а фаза - 2π/N. Как известно, при умножении комплексных чисел, представленных в показательной форме, их модули перемножаются, а аргументы суммируются. Тогда умножение исходного числа на поворачивающий множитель не изменит длину вектора, но изменит его угол. То есть, произойдет поворот вектора на угол 2π/N (см. предыдущий рисунок).
Если теперь посмотреть на формулу (3), то станет ясен геометрический смысл преобразования Фурье: он состоит в том, чтобы представить N комплексных чисел-векторов из набора {x}, каждое в виде суммы векторов из набора {X}, повернутых на углы, кратные 2π/N.
Знаете ли Вы, что такое "Большой Взрыв"? Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии "Большой взрыв (англ. Big Bang) - это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно - начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения..." В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею. На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве. Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как "взрыв" - понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых. Во-вторых, Вселенная - это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной). В третьих, фраза "представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва" тоже есть сплошной нонсенс. Что могло быть "вблизи Большого взрыва", если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
(1). 
(2). 
(3). 
. Его модуль равен единице, а фаза - 2π/N. Как известно, при умножении комплексных чисел, представленных в показательной форме, их модули перемножаются, а аргументы суммируются. Тогда умножение исходного числа на поворачивающий множитель не изменит длину вектора, но изменит его угол. То есть, произойдет поворот вектора на угол 2π/N (см. предыдущий рисунок). 
