Преобразование Радона R (k,b) непрерывной функции f (x,y) вычисляется путём интегрирования (сложения) значений f вдоль наклонной линии, как показано на рисунке 1:
Рисунок 1. Линейное преобразование Радона
Можно записать:
(1)
Или при помощи δ-функции Дирака:
(2)
Необходимо отметить, что преобразование (1) или (k,b)-преобразование обладает некоторыми свойствами, очень важными для работы с изображениями, такими как свойство линейности (3), сдвига (4), масштабирования (5).
Свойство линейности можно сформулировать следующим образом: “Преобразование Радона взвешенной суммы функций равно взвешенной сумме преобразований каждой функции”:
(3)
Свойства (4) и (5) (сдвиг и масштабирование) показывают, как вычисляется (k,b)-преобразование при изменении аргументов интегрируемой функции.
(4)
(5)
Рассмотрим несколько элементарных примеров:
Любую точку функции можно представить в виде произведения 2-х δ-функций:
(6)
Тогда её преобразование Радона будет иметь вид:
(7)
Пользуясь свойством сдвига, получим:
(8)
Преобразование Радона в этом случае:
(9)
Таким образом, преобразование Радона точки имеет вид прямой (рисунок 2).
Рисунок 2. Преобразование отдельной точки.
Стоит отметить этот вывод, поскольку любая функция может быть представлена в виде взвешенной суммы (интеграла) множества точек.
Соответственно, для прямой линии, заданной уравнением y=kx+b получим:
Знаете ли Вы, что взаимность (в математическом программировании) - это свойство задач выпуклого (в том числе линейного) программирования, состоящее в инвариантности оптимального решения и инвариантности с точностью до масштаба множителей Лагранжа к замене целевой функции любым эффективным ограничением при дополнительном условии, что значение прежней целевой функции останется равным оптимальному.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
