к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Волновое уравнение

Волновое уравнение - линейное однородное ур-ние в частных производных гиперболич. типа:

1119916-242.jpg

где t - время, с - пост. параметр, имеющий размерность скорости, 1119916-243.jpg - Д-Аламбера оператор ,1119916-244.jpg - Лапласа оператор. Иногда вместо 1119916-245.jpg в (1) используют оператор Лоренца 1119916-246.jpg. Векторное волновое уравнение предусматривает применение оператора 1119916-247.jpg к каждой из декартовых компонент вектора; при переходе к произвольным координатам используют тождество

1119916-248.jpg.

Первоначально волновое уравнение получено в одномерном варианте применительно к описанию движения упругой струны практически одновременно Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д-Аламбером (J. d'Alembert) и Л. Эйлером (L. Euler) в 40-е гг. 18 века Бернулли выразил его решение через тригонометрич. ряды, Д-Аламбер и Эйлер записали общее решение в виде двух перемещающихся в пространстве со скоростью с возмущений (волн):

1119916-249.jpg

что и дало основание назвать ур-ние (1) волновым. Эквивалентность тригонометрич. представления решения волнового уравнения функциональной записи (2) доказана Ж. Фурье (J. Fourier) в 1824.

Впоследствии понятие волнового возмущения претерпело значит. изменения (см. Волны), поэтому (1) нельзя считать универсальным и единственным волновым уравнением; оно охватывает отнюдь не все виды движений, квалифицируемых сейчас как волновые. Иногда, напр., термин "уравнение волны" применяется к упрощённому уравнению 1-го порядка

1119916-250.jpg

описывающему волну (моду), распространяющуюся только в одном направлении. Ур-ние (3) можно интерпретировать как закон сохранения величины 1119916-251.jpg, поэтому его иногда наз. "кинематическим", в отличие от "динамического" ур-ния 2-го порядка или от системы двух ур-ний 1-го порядка (см., напр., Телеграфные уравнения).

Ур-ния (1) и (3) порождают достаточно разветвлённое семейство ур-ний, также причисляемых по совр. терминологии к категории волновых. Простейшим обобщением, сохраняющим внеш. облик ур-ния (1), является введение в него зависимости скорости с от координат, с=с(r)(неоднородные среды), от времени (параметрические среды), от самой функции 1119916-252.jpg (квазилинейные среды) или от частоты 1119916-253.jpg её изменения во времени, 1119916-254.jpg (диспергирующие среды).

Волновое уравнение является одной из наиб. употребит. матем. моделей в физике. Оно описывает почти все разновидности малых колебании в распределённых механич. системах (продольные звуковые колебания в газе, жидкости, твёрдом теле; поперечные колебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты эл--магн. векторов и потенциалов, и, следовательно, мн. эл--магн. явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере объясняются свойствами его решений.

Инвариантные преобразования

Ур-ние (1) инвариантно (т. е. сохраняет свою структуру) относительно линейных преобразований координат и времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей, 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования ,а также 4 смещения начала координат и времени). В 1910 Г. Бейтмен (H. Bateman) показал, что волновое уравнение инвариантно относительно 15-параметрич. конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантных преобразований следует выделить:

/1119916-255.jpg

где f1 и f2 - произвольные функции своих аргументов: 1119916-256.jpg . Прямые 1119916-257.jpg=const, 1119916-258.jpg=const наз. характеристиками; в этих координатах одномерное волновое уравнение (1) факторизуется 1119916-259.jpg.

Следовательно, преобразование (4) означает, что любая функция характеристики сама является характеристикой. Разделение переменных. Ур-ние (1) всегда допускает разделение переменных, т. е. факторизацию решения по координатам и времени1119916-260.jpg , при этом

1119916-261.jpg

т. е. для функции 1119916-262.jpg получается ур-ние осциллятора (6), а для и(r) - трёхмерное Гелъмголъца уравнение, в двумерном случае его называют также ур-нием мембраны, а в одномерном - ур-нием осциллятора (но уже пространственного, а не временного).

В декартовых координатах волновое уравнение (1) можно свести к набору четырех ур-ний осцилляторов: трёх пространственных 1119916-263.jpg и одного временного (6). Постоянные разделения kx, ky, kz можно интерпретировать как компоненты нек-рого вектора k, наз. волновым вектором, поскольку плоская волна вида

1119916-264.jpg

является собств. решением (1) при условии: 1119916-265.jpg1119916-266.jpg . Комплексная запись (7) включает в себя сразу два решения, соответствующие действительной и мнимой частям. Помимо декартовой системы координат, переменные в ур-нии Гельмгольца (5) разделяются в цилиндрических (полярной, эллиптич. и параболич.), сферической и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах.

Неоднородное волновое ур-ние содержит в правой части функцию источника

1119916-267.jpg

и наз. Д-Аламбера ур-нием. Его решение состоит из собств. мод - решений однородного ур-ния (1) и из вынужденного решения, связанного с источником. В силу линейности (8) справедлив суперпозиции принцип, поэтому функцию f можно разложить по любой полной системе функций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных) или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам. Часто в качестве элементарного источника берётся дельта-функция Дирака, а соответствующее решение наз. Грина функцией. Всплеск от элементарного возмущения, имевшего место в начале координат в момент t=0, возбуждает волны, уходящие (бегущие, распространяющиеся) от источника. В одномерном случае их величина постоянна, в двумерном и трёхмерном - она монотонно убывает с удалением от центра. Для двумерного пространства характерно возникновение бесконечно длящегося последействия, благодаря к-рому отклик не повторяет функцию источника.

Обычно для волнового уравнения рассматривают Коши задачу, описывающую распространение волн в n-мерном пространстве. Классич. решением задачи Коши наз. непрерывно дифференцируемую функцию 1119916-268.jpg , удовлетворяющую волновому уравнению в полупространстве t > 0 и нач. условиям 1119916-269.jpg , где 1119916-270.jpg - заданные функции. Классич. решение даётся Кирхгофа формулой (п = 3), Пуассона формулой (n=2) или Д-Аламбера формулой (n=1). Рассматривают также смешанную задачу, описывающую колебания ограниченного объёма V.

Имеется много приближённых методов решения волнового уравнения. В т. н. KB-асимптотике 1119916-271.jpg рассматривают параболического уравнения приближение ,к-рое позволяет анализировать свойства волновых пучков и волновых пакетов, т. е. волновых образований, локализованных в пространстве и во времени, и геометрической оптики метод.

В системах с дисперсией волн возникает искажение профиля волны, обусловленное зависимостью скорости распространения её разл. участков от их крутизны, и решение в виде (2) становится невозможным. Если такую волну представить в виде суперпозиции синусоидальных мод типа (7), то дисперсия проявляется как зависимость фазовых скоростей с этих мод от частоты. Тогда соотношение 1119916-272.jpg следует рассматривать как дисперсионное уравнение, заменяющее исходное волновое уравнение (1) и в нек-ром смысле обладающее даже большей общностью, поскольку учёт зависимости 1119916-273.jpg можно провести только в рамках ур-ния Гельмгольца, т. е. после введения синусоидальной зависимости от времени. По виду дисперсионного ур-ния (в частности, если оно представляется полиномами конечных степеней по w и k) можно восстановить вид исходного дифференц. ур-ния, описывающего данный класс волн 1119916-274.jpg1119916-275.jpg; эти ур-ния могут существенно отличаться от стандартного ур-ния (1). Наиб. важной и наглядной иллюстрацией являются волны на поверхности жидкости .Напр., длинным (по сравнению с глубиной бассейна) волнам при небольших амплитудах соответствует дисперсионное ур-ние вида 1119916-276.jpg , по к-рому легко восстанавливается исходное дифференц. ур-ние 1119916-277.jpg . Это т. н. линеаризованное Кортевега-де Фриса уравнение, один из возможных вариантов обобщения ур-ния (3) на системы с дисперсией.

Нелинейные волновые уравнения

При перечислении нелинейных обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у. В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой функции в ур-ния (1), (3) или (8). Однако часто к нелинейным В. у. относят любые ур-ния, вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб. известны нелинейное ур-ние Клейна-Гордона 1119916-278.jpg1119916-279.jpg , обобщающее линейное Клейна-Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца 1119916-280.jpg1119916-281.jpg, учитывающее зависимость волнового числа от квадрата волновой функции.

Нелинейные В. у. позволяют описать взаимодействие волн (в т. ч. и квазимонохроматических), возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку и самоканализацию и т. д.

Литература по волновым уравнениям

  1. Морс Ф., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, M., 1958-60;
  2. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981;
  3. Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. С англ., M., 1977.

M. А. Миллер, E. И. Якубович

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, что, как ни тужатся релятивисты, CMB (космическое микроволновое излучение) - прямое доказательство существования эфира, системы абсолютного отсчета в космосе, и, следовательно, опровержение Пуанкаре-эйнштейновского релятивизма, утверждающего, что все ИСО равноправны, а эфира нет. Это фоновое излучение пространства имеет свою абсолютную систему отсчета, а значит никакого релятивизма быть не может. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 22.07.2019 - 18:29: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
21.07.2019 - 14:44: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА - Experimental Physics -> ИНЕРЦИОИДНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ ЭНЕРГИИ - Карим_Хайдаров.
21.07.2019 - 14:42: ГЕОФИЗИКА И ФИЗИКА ПЛАНЕТ - Geophysics and planetology -> Сезонные колебания уровня вод морей и океанов - Карим_Хайдаров.
21.07.2019 - 09:45: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА - Карим_Хайдаров.
21.07.2019 - 09:44: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
21.07.2019 - 09:43: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Галины Царёвой - Карим_Хайдаров.
20.07.2019 - 05:34: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> КОЛЛАПС МИРОВОЙ ФИНАНСОВОЙ СИСТЕМЫ - Карим_Хайдаров.
20.07.2019 - 05:30: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
16.07.2019 - 10:00: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
16.07.2019 - 09:58: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
12.07.2019 - 17:46: ФИЗИКА ЭФИРА - Aether Physics -> Понятие времени и эфир - Владимир_Афонин.
11.07.2019 - 07:14: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution