Волновое уравнение - линейное однородное ур-ние в частных производных гиперболич. типа:
где t - время, с - пост. параметр, имеющий размерность скорости,
- Д-Аламбера оператор ,
- Лапласа оператор. Иногда вместо
в (1) используют оператор Лоренца .
Векторное волновое уравнение предусматривает применение оператора
к каждой из декартовых компонент вектора; при переходе к произвольным координатам
используют тождество
.
Первоначально волновое уравнение получено в одномерном варианте применительно к описанию движения упругой струны практически одновременно Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д-Аламбером (J. d'Alembert) и Л. Эйлером (L. Euler) в 40-е гг. 18 века Бернулли выразил его решение через тригонометрич. ряды, Д-Аламбер и Эйлер записали общее решение в виде двух перемещающихся в пространстве со скоростью с возмущений (волн):
что и дало основание назвать ур-ние (1) волновым. Эквивалентность тригонометрич. представления решения
волнового уравнения функциональной записи (2) доказана Ж. Фурье (J. Fourier) в 1824.
Впоследствии понятие волнового
возмущения претерпело значит. изменения (см. Волны), поэтому (1) нельзя
считать универсальным и единственным волновым уравнением; оно охватывает отнюдь не все виды
движений, квалифицируемых сейчас как волновые. Иногда, напр., термин "уравнение
волны" применяется к упрощённому уравнению 1-го порядка
описывающему волну (моду), распространяющуюся только в одном направлении. Ур-ние (3) можно интерпретировать
как закон сохранения величины ,
поэтому его иногда наз. "кинематическим", в отличие от "динамического"
ур-ния 2-го порядка или от системы двух ур-ний 1-го порядка (см., напр., Телеграфные
уравнения).
Ур-ния (1) и (3) порождают
достаточно разветвлённое семейство ур-ний, также причисляемых по совр. терминологии
к категории волновых. Простейшим обобщением, сохраняющим внеш. облик ур-ния
(1), является введение в него зависимости скорости с от координат, с=с(r)(неоднородные среды), от времени (параметрические среды), от самой функции
(квазилинейные
среды) или от частоты
её изменения во времени,
(диспергирующие среды).
Волновое уравнение является одной из наиб. употребит. матем. моделей в физике. Оно описывает почти все разновидности
малых колебании в распределённых механич. системах (продольные звуковые колебания
в газе, жидкости, твёрдом теле; поперечные колебания в струнах и т. п.). Ему
удовлетворяют компоненты эл--магн. векторов и потенциалов, и, следовательно,
мн. эл--магн. явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере объясняются
свойствами его решений.
Ур-ние (1) инвариантно (т. е. сохраняет свою структуру) относительно линейных
преобразований координат и времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре
группу (3 вращения вокруг пространственных осей, 3 равномерных движения
вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования ,а также 4 смещения
начала координат и времени). В 1910 Г. Бейтмен (H. Bateman) показал, что
волновое уравнение инвариантно относительно 15-параметрич. конформной группы, содержащей в качестве
подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантных преобразований следует выделить:
/
где f1
и f2 - произвольные функции своих аргументов:
. Прямые =const,
=const наз. характеристиками;
в этих координатах одномерное волновое уравнение (1) факторизуется .
Следовательно, преобразование
(4) означает, что любая функция характеристики сама является характеристикой.
Разделение переменных. Ур-ние (1) всегда допускает разделение переменных, т.
е. факторизацию решения по координатам и времени
, при этом
т. е. для функции
получается ур-ние осциллятора (6), а для и(r) - трёхмерное Гелъмголъца
уравнение, в двумерном случае его называют также ур-нием мембраны, а в одномерном
- ур-нием осциллятора (но уже пространственного, а не временного).
В декартовых координатах волновое уравнение (1) можно свести к набору четырех ур-ний осцилляторов: трёх пространственных
и одного временного
(6). Постоянные разделения kx, ky, kz можно
интерпретировать как компоненты нек-рого вектора k, наз. волновым
вектором, поскольку плоская волна вида
является собств. решением (1) при условии:
. Комплексная запись (7) включает в себя сразу два решения, соответствующие
действительной и мнимой частям. Помимо декартовой системы координат, переменные
в ур-нии Гельмгольца (5) разделяются в цилиндрических (полярной, эллиптич. и
параболич.), сферической и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах.
Неоднородное волновое ур-ние содержит в правой части функцию источника
и наз. Д-Аламбера ур-нием.
Его решение состоит из собств. мод - решений однородного ур-ния (1) и из вынужденного
решения, связанного с источником. В силу линейности (8) справедлив суперпозиции
принцип, поэтому функцию f можно разложить по любой полной системе
функций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных)
или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам. Часто в
качестве элементарного источника берётся дельта-функция Дирака, а соответствующее
решение наз. Грина функцией. Всплеск от элементарного
возмущения, имевшего место в начале координат в момент t=0, возбуждает
волны, уходящие (бегущие, распространяющиеся) от источника. В одномерном случае
их величина постоянна, в двумерном и трёхмерном - она монотонно убывает с удалением
от центра. Для двумерного пространства характерно возникновение бесконечно длящегося
последействия, благодаря к-рому отклик не повторяет функцию источника.
Обычно для волнового уравнения рассматривают
Коши задачу, описывающую распространение волн в n-мерном пространстве.
Классич. решением задачи Коши наз. непрерывно дифференцируемую функцию
, удовлетворяющую волновому уравнению в полупространстве t > 0 и нач. условиям
, где - заданные
функции. Классич. решение даётся Кирхгофа формулой (п = 3), Пуассона формулой (n=2) или Д-Аламбера формулой (n=1).
Рассматривают также смешанную задачу, описывающую колебания ограниченного объёма
V.
Имеется много приближённых методов решения волнового уравнения. В т. н.
KB-асимптотике
рассматривают параболического уравнения приближение ,к-рое позволяет
анализировать свойства волновых пучков и волновых пакетов, т. е. волновых образований,
локализованных в пространстве и во времени, и геометрической оптики метод.
В системах с дисперсией волн возникает искажение профиля волны, обусловленное зависимостью скорости распространения её разл. участков от их крутизны, и решение в виде (2) становится невозможным. Если такую волну представить в виде суперпозиции синусоидальных мод типа (7), то дисперсия проявляется как зависимость фазовых скоростей с этих мод от частоты. Тогда соотношение следует рассматривать как дисперсионное уравнение, заменяющее исходное волновое уравнение (1) и в нек-ром смысле обладающее даже большей общностью, поскольку учёт зависимости можно провести только в рамках ур-ния Гельмгольца, т. е. после введения синусоидальной зависимости от времени. По виду дисперсионного ур-ния (в частности, если оно представляется полиномами конечных степеней по w и k) можно восстановить вид исходного дифференц. ур-ния, описывающего данный класс волн ; эти ур-ния могут существенно отличаться от стандартного ур-ния (1). Наиб. важной и наглядной иллюстрацией являются волны на поверхности жидкости .Напр., длинным (по сравнению с глубиной бассейна) волнам при небольших амплитудах соответствует дисперсионное ур-ние вида , по к-рому легко восстанавливается исходное дифференц. ур-ние . Это т. н. линеаризованное Кортевега-де Фриса уравнение, один из возможных вариантов обобщения ур-ния (3) на системы с дисперсией.
При перечислении нелинейных обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у. В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой функции в ур-ния (1), (3) или (8). Однако часто к нелинейным В. у. относят любые ур-ния, вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб. известны нелинейное ур-ние Клейна-Гордона , обобщающее линейное Клейна-Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца , учитывающее зависимость волнового числа от квадрата волновой функции.
Нелинейные В. у. позволяют
описать взаимодействие волн (в т. ч. и квазимонохроматических), возникновение
и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку и самоканализацию и т.
д.
M. А. Миллер, E. И. Якубович