Когерентное состояние квантового осциллятора - состояние, максимально близкое к состоянию классич.
осциллятора в том смысле, что произведение неопределённостей (дисперсий)
координаты и импульса в этом состоянии принимает минимально возможное в рамках
неопределённостей соотношения значение. Термин введён Р. Глаубером [1].
С аналогичным свойством волновые пакеты строились в начале развития квантовой
механики Э. Шрёдингером [2]. В К. с. гармонич. осциллятора волновой пакет не
расплывается, а его центр движется по классической траектории.
Дисперсии координаты и
импульса одномерного квантового гармонич. осциллятора в К. с. (с вектором
состояния 
равны соответственно 
и 
где
l - амплитуда нулевых колебаний, так что 
.
При этом изменение во времени ср. значений координаты и импульса соответствует
классич. траекториям, а 
и 
остаются
постоянными, т. е., эволюционируя, К. с. остаётся когерентным.
К. с. 
осциллятора массы т и частоты 
описывается нормированной волновой функцией, имеющей в координатном
представлении вид гауссова волнового пакета (см. Гаусса распределение:)
Здесь 
, 
- любое
комплексное число, действит. часть к-рого связана со ср. значением оператора
координаты 
в состоянии 
:
= =
,
а мнимая - со ср. значением оператора нмпульса 
:
. Т.
о., положение центра хс гауссова пакета в К. с. определяется
числом
:
. В импульсном представлении волновая функция К. с. также имеет вид гауссова пакета:
Вместо операторов 
и 
удобно
ввести операторы уничтожения 
и рождения 
:
(крест означает эрмитово
сопряжение). Название операторов связано с тем, что действие 
на состояние 
гармонич. осциллятора с заданной энергией 
=
=
(n=0,
1, 2, . . .) переводит осциллятор в возбуждённое состояние 
,
увеличивая его энергию на квант энергии
,
а действие 
на 
уменьшает
его энергию на этот же квант.
К. с. 
является собственным состоянием оператора уничтожения:
Оно получается действием
унитарного оператора
= =
на
вектор осн. (вакуумного) состояния 
,
(звёздочкой
помечено комплексное сопряжение).
наз.
оператором сдвига, т. к. он смещает центр волнового пакета на величину
Скалярное произведение
двух векторов К. с. (или матричный элемент единичного оператора в представлении
К. с.) имеет вид
и не равно нулю при 
, т. е. К. с. неортогональны. Однако квадрат модуля скалярного произведения
очень быстро стремится
к нулю при 
, что физически отвечает уменьшению перекрытия двух волновых пакетов, центры
к-рых раздвигаются (поскольку 
определяют центры этих пакетов). По состояниям 
с заданной энергией К. с. разлагается в ряд:
Это означает, что ехр
является производящей функцией для состояний
Ср. значение энергии осциллятора
в К. с. 
определяется ф-лой
а распределение по уровням
энергии является распределением Пуассона:
При этом эволюция К. с.
задаётся ф-лой
К. с. 
образуют полную, точнее переполненную, систему векторов состояний; разложение
единичного оператора 
имеет вид
Произвольный вектор состояния
может
быть разложен по К. с.:
В квантовой теории поля
система частиц с целым спином - бозонов (фотонов, 
-мезонов
и т. д.) - описывается как бесконечный набор квантовых гармонич. осцилляторов.
Возбуждённому состоянию осциллятора 
отвечает при этом совокупность п бозонов с энергией
.
В этом случае оператор уничтожения а уменьшает, а оператор рождения 
увеличивает число частиц в системе на единицу.
К. с. квантованного эл--магн.
поля (и других бозе-полей) вводятся на основе представления гамильтониана поля
в виде суммы гамильтонианов гармонич. осцилляторов, отвечающих разл. модам колебаний
поля. Для моды определ. частоты и поляризации эл--магн. поля К. с. описывается
приведёнными выше ф-лами, при этом в К. с. число фотонов неопределённо, а распределение
по числу фотонов является распределением Пуассона. Если все осцилляторы поля
находятся в К. с., то состояние квантового поля наиб. близко к классическому.
Важность К. с. в физике обусловлена тем, что во мн. случаях физ. квантованные поля находятся именно
в таких состояниях. Напр., классич. ток, срздавае-мый движущимися электрич.
зарядами, излучает фотоны, находящиеся в К. с. Инфракрасная расходимость в квантовой электродинамике объясняется и устраняется учётом того, что квантованное
поле в случае малых частот находится в К. с. При точном квантовомеха-нич. описании
когерентных источников света с необходимостью возникают К. с. эл--магн. поля.
Свойства сверхтекучести и сверхпроводимости также могут быть объяснены
тем, что соответственно сверхтекучая компонента в жидком гелии и куперовские
пары в сверхпроводниках находятся в К. с. Это же относится и к др. явлениям
с упорядочением.
Для произвольных квантовых
систем с N степенями свободы К. с. вводятся по след. схеме. Находятся
N неэрмитовых интегралов движения
с бозонными коммутац. соотношениями
где 
- оператор эволюции системы, переводящий вектор состояния, заданный в нач. момент
времени, 
, в вектор состояния 
;
- оператор
уничтожения, действит. и мнимая части к-рого определяют нач. точку траектории
системы в фазовом пространстве ср. координат и импульсов (
- символ Кронекера). Затем находится нормированный вакуумный вектор (вектор
осн. состояния) из решения системы ур-ний 
.
Действием на этот вектор оператора сдвига строится К. с.:
удовлетворяющее временному
ур-нию Шрёдингера. Для квантовых систем общего вида ср. изменения координат
и импульсов, вообще говоря, не соответствуют классич. траекториям, а волновые
функции в К. с. являются гауссовыми пакетами только в нач. момент времени - произведение
неопределённостей координаты и импульса не остаётся со временем равным
Однако существенным для
расчётов является свойство К. с. быть производящей функцией для состояний - аналогов
состояний с заданной энергией стационарного квантового осциллятора. Как пример
для квантовых систем, описываемых нестационарным гамильтонианом квадратичной
формы по операторам координат и импульсов, это свойство позволяет найти точно
(не по теории возмущений) через многомерные полиномы Эрмита вероятности переходов
между уровнями энергии N-мерного гармонич. осциллятора при параметрич.
возбуждении самого общего типа [3].
Особым видом К. с. являются т. н. сжатые (squeezed) К. с.
В этих состояниях волновые пакеты - гауссовы, по 
, 
,
где 
- любое положит. число; при этом по-прежнему 
=
Такие состояния важны, напр., при попытках (пока не реализованных) построить
детекторы гравитац. волн интерференц. типа.
В. И. Манько
|
|
 |
