Когерентное состояние квантового осциллятора. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Когерентное состояние квантового осциллятора - состояние, максимально близкое к состоянию классич. осциллятора в том смысле, что произведение неопределённостей (дисперсий) координаты и импульса в этом состоянии принимает минимально возможное в рамках неопределённостей соотношения значение. Термин введён Р. Глаубером [1]. С аналогичным свойством волновые пакеты строились в начале развития квантовой механики Э. Шрёдингером [2]. В К. с. гармонич. осциллятора волновой пакет не расплывается, а его центр движется по классической траектории.

Дисперсии координаты и импульса одномерного квантового гармонич. осциллятора в К. с. (с вектором состояния равны соответственно и

где l - амплитуда нулевых колебаний, так что

. При этом изменение во времени ср. значений координаты и импульса соответствует классич. траекториям, а

остаются постоянными, т. е., эволюционируя, К. с. остаётся когерентным.

К. с.

осциллятора массы т и частоты

описывается нормированной волновой функцией, имеющей в координатном представлении вид гауссова волнового пакета (см. Гаусса распределение:)

Здесь

- любое комплексное число, действит. часть к-рого связана со ср. значением оператора координаты

в состоянии

= =

, а мнимая - со ср. значением оператора нмпульса

. Т. о., положение центра х_с гауссова пакета в К. с. определяется числом

. В импульсном представлении волновая функция К. с. также имеет вид гауссова пакета:

Вместо операторов

удобно ввести операторы уничтожения

и рождения

(крест означает эрмитово сопряжение). Название операторов связано с тем, что действие

на состояние

гармонич. осциллятора с заданной энергией

= =

(n=0, 1, 2, . . .) переводит осциллятор в возбуждённое состояние

, увеличивая его энергию на квант энергии

, а действие

на

уменьшает его энергию на этот же квант.

К. с.

является собственным состоянием оператора уничтожения:

Оно получается действием унитарного оператора

= =

на вектор осн. (вакуумного) состояния

(звёздочкой помечено комплексное сопряжение).

наз. оператором сдвига, т. к. он смещает центр волнового пакета на величину

Скалярное произведение двух векторов К. с. (или матричный элемент единичного оператора в представлении К. с.) имеет вид

и не равно нулю при

, т. е. К. с. неортогональны. Однако квадрат модуля скалярного произведения

очень быстро стремится к нулю при

, что физически отвечает уменьшению перекрытия двух волновых пакетов, центры к-рых раздвигаются (поскольку

определяют центры этих пакетов). По состояниям

с заданной энергией К. с. разлагается в ряд:

Это означает, что ехр

является производящей функцией для состояний

Ср. значение энергии осциллятора в К. с.

определяется ф-лой

а распределение по уровням энергии является распределением Пуассона:

К. с.

образуют полную, точнее переполненную, систему векторов состояний; разложение единичного оператора

имеет вид

Произвольный вектор состояния

может быть разложен по К. с.:

В квантовой теории поля система частиц с целым спином - бозонов (фотонов,

-мезонов и т. д.) - описывается как бесконечный набор квантовых гармонич. осцилляторов. Возбуждённому состоянию осциллятора

отвечает при этом совокупность п бозонов с энергией

. В этом случае оператор уничтожения а уменьшает, а оператор рождения

увеличивает число частиц в системе на единицу.

К. с. квантованного эл--магн. поля (и других бозе-полей) вводятся на основе представления гамильтониана поля в виде суммы гамильтонианов гармонич. осцилляторов, отвечающих разл. модам колебаний поля. Для моды определ. частоты и поляризации эл--магн. поля К. с. описывается приведёнными выше ф-лами, при этом в К. с. число фотонов неопределённо, а распределение по числу фотонов является распределением Пуассона. Если все осцилляторы поля находятся в К. с., то состояние квантового поля наиб. близко к классическому.

Важность К. с. в физике обусловлена тем, что во мн. случаях физ. квантованные поля находятся именно в таких состояниях. Напр., классич. ток, срздавае-мый движущимися электрич. зарядами, излучает фотоны, находящиеся в К. с. Инфракрасная расходимость в квантовой электродинамике объясняется и устраняется учётом того, что квантованное поле в случае малых частот находится в К. с. При точном квантовомеха-нич. описании когерентных источников света с необходимостью возникают К. с. эл--магн. поля. Свойства сверхтекучести и сверхпроводимости также могут быть объяснены тем, что соответственно сверхтекучая компонента в жидком гелии и куперовские пары в сверхпроводниках находятся в К. с. Это же относится и к др. явлениям с упорядочением.

Для произвольных квантовых систем с N степенями свободы К. с. вводятся по след. схеме. Находятся N неэрмитовых интегралов движения

с бозонными коммутац. соотношениями

где

- оператор эволюции системы, переводящий вектор состояния, заданный в нач. момент времени,

, в вектор состояния

;

- оператор уничтожения, действит. и мнимая части к-рого определяют нач. точку траектории системы в фазовом пространстве ср. координат и импульсов (

- символ Кронекера). Затем находится нормированный вакуумный вектор (вектор осн. состояния) из решения системы ур-ний

. Действием на этот вектор оператора сдвига строится К. с.:

удовлетворяющее временному ур-нию Шрёдингера. Для квантовых систем общего вида ср. изменения координат и импульсов, вообще говоря, не соответствуют классич. траекториям, а волновые функции в К. с. являются гауссовыми пакетами только в нач. момент времени - произведение неопределённостей координаты и импульса не остаётся со временем равным

Однако существенным для расчётов является свойство К. с. быть производящей функцией для состояний - аналогов состояний с заданной энергией стационарного квантового осциллятора. Как пример для квантовых систем, описываемых нестационарным гамильтонианом квадратичной формы по операторам координат и импульсов, это свойство позволяет найти точно (не по теории возмущений) через многомерные полиномы Эрмита вероятности переходов между уровнями энергии N-мерного гармонич. осциллятора при параметрич. возбуждении самого общего типа [3].

Особым видом К. с. являются т. н. сжатые (squeezed) К. с. В этих состояниях волновые пакеты - гауссовы, по

, где

- любое положит. число; при этом по-прежнему

Такие состояния важны, напр., при попытках (пока не реализованных) построить детекторы гравитац. волн интерференц. типа.

Литература по когерентным состояниям квантового осциллятора

Знаете ли Вы, что, как и всякая идолопоклонническая религия, релятивизм представляет собой инструмент идеологического подчинения одних людей другим с помощью абсолютно бессовестной манипуляции их психикой для достижения интересов определенных групп людей, стоящих у руля этой воровской машины? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.