Осциллятор (от лат. oscillo - качаюсь) - система (или материальная точка), совершающая колебательное периодич.
движение около положения устойчивого равновесия. Термин "О." применим к
любой системе, если описывающие её величины периодически изменяются со
временем. Простейшие примеры осциллятора в классической механике - грузик
на пружинке, маятник.
Важнейший тип О. - линейный гармонический
осциллятор, колебания к-рого являются осн. моделью движения частиц в атомах,
атомных ядрах, молекулах, твёрдых телах. Потенц. энергия линейного гармония.
О. U = kx2/2, где x(t) - отклонение от положения
равновесия, k - пост. коэф. (в случае груза на пружинке
k - жёсткость
пружины). Она представляет собой первый член разложения в ряд по х потенц.
энергии U(x)при малых х.
Ур-ние движения линейного гармонич. О.
имеет вид
где
- частота О., т - масса (
где Т - период колебаний; точки означают дифференцирование по времени).
Общее решение ур-ния (1):
(А - амплитуда колебаний О.,
- нач. фаза). Движение О., описываемое зависимостью (2), происходит под
влиянием возвращающей силы F, направленной к положению равновесия
и пропорц. величине отклонения от положения равновесия: F = - дU/дx
= - kx. При движении О. в пренебрежении силами трения его полная энергия
сохраняется. Кинетич. энергия
и потенц. энергия kx2/2 в процессе движения изменяются
от нуля до
Энергия колебаний О. может быть выражена через амплитуду и частоту:
Импульс О.
меняется по тому же закону (2), что и х, но со сдвигом по фазе на
(соответственно кинетич. и потенц. энергии О. изменяются в противофазе). Если изобразить движение О. на фазовой плоскости, по оси абсцисс к-рой отложена координата, а по оси ординат - импульс, то его периодпч. движение происходит по эллипсу
с полуосями соответственно
А и
Понятие "О." распространяется и на немеханич.
системы: колебания тока и напряжения в колебат. контуре, колебания векторов
напряжённостей электрич. и магн. нолей в эл--магн. волне и т. д.
Квантовый О. описывается гамильтонианом
где
и
- операторы
импульса и координаты; в конфигурац. представлении
Уровни энергии квантового О. эквидистантны:
Они определяются из Шрёдитера уравнения
и изображаются обычно на кривой потенц.
энергии О. (рис.), а волновые функции
стационарных состояний О. выражаются через полиномы Эрмита Нп(см.
Ортогональные
полиномы):
Здесь l - амплитуда
нулевых колебаний,
В осн. состоянии О. с волновой функцией
его энергия (энергия нулевых колебаний)
имеет наинизшее возможное значение
В стационарных состояниях О. ср. значения координаты и импульса равны нулю.
Согласно Эренфеста теореме, ср. значения координаты и импульса гармонич.
О. изменяются в соответствии с классич. траекториями. Наглядно это движение
проявляется в нормированных когерентных состояниях О.
удовлетворяющих нестационарному ур-нию Шрёдингера и являющихся собств. состояниями для неэрмитового интеграла движения (оператора уничтожения)
С комплексным собств. значением
:
В когерентном состоянии
ср. значения координаты
и импульса
,
как и в классич. механике, описывают в фазовом пространстве эллипс. Оператор
уничтожения
и оператор рождения
действуют на n-е состояние след. образом:
т. е. соответственно уничтожают и рождают квант энергии О. Через операторы рождения и уничтожения гамильтониан гармонич. О. выражается так:
Важность модели О. заключается в том, что
все совр. модели квантовой теории поля базируются на многомерном
(бесконечномерном) обобщении этого выражения:
где индекс i трактуется как характеристика
моды поля (эл--магн., акустического и т. д., т. е. фотона, фонона и т.
п.), а операторы
,
- как операторы рождения и уничтожения кванта бозонного поля. К этой же
модели сводятся движение заряда в магн. поле, изменение тока и напряжения
в колебат. контуре, колебания ядер в многоатомных молекулах и атомов и
молекул в твёрдых телах, колебат. движение нуклонов в ядрах и т. д.
При учёте затухания ур-ние движения (1) О. принимает вид
где
- коэф. затухания, а движение О. представляет собой затухающие колебания
около положения равновесия:
В квантовой картине затухание колебаний О. описывается неск. моделями, одна из к-рых базируется на гамильтониане
причём во всех моделях ср. значения координаты
О. описываются ф-лой (18), а для др. величин в рамках разных моделей имеются
различия. Если на О. действует внеш. периодическая (с частотой
)
сила
то возникают
вынужденные колебания О. на частоте вынуждающей силы, описываемые ф-лой
Резкое возрастание амплитуды вынужденных
колебаний при сближении собств. частоты О. и частоты вынуждающей силы наз.
резонансом гармония. О. Коэф. затухания определяет сдвиг фазы
колебаний О. по отношению к вынуждающей силе, равный 0 при отсутствии затухания
и
/2 в
резонансе. Для квантового аналога О. с затуханием также существует резонанс.
Под влиянием внеш. силы f(t)квантовый О. может переходить с одного
уровня энергии (п)на другие (т). Вероятность этого перехода
Wnm(t)для
О. без затухания даётся ф-лой
где
- полиномы Лагерра (см. Ортогональные полиномы ).Правила отбора
для О. определяются ненулевыми матричными элементами оператора координаты
(дипольное приближение). Согласно ф-лам (13), (14), эти элементы отличны
от нуля только для переходов между соседними уровнями, поэтому излучение
О. происходит на одной частоте (совпадающей с классической,
=
).
Если потенц. энергия О. содержит члены
типа
,
х6и
т. д., то осциллятором наз. ангармоническим (нелинейным) и характер его движения
радикально отличается от даваемого ф-лой (2). Если частота гармонич. О.
меняется со временем, то О. наз. параметрическим, для к-рого также характер
колебаний отличен от (2), причём существуют новые явления, напр. параметрич.
резонанс осциллятора.
В. И. Манько
|
|
 |
