Кинетическое уравнение Больцмана. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Кинетическое уравнение Больцмана - интегродифференц. ур-ние, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, функция распределения

молекул газа по скоростям

и координатам r, функции распределения электронов в металле, фононов в кристалле и т. п. К. у. Б.- осн. ур-ние мик-роскопич. теории неравновесных процессов (кинетики физической), в частности кинетической теории газов. К. у. Б. в узком смысле наз. выведенное Л. Больцма-ном (L. Boltzmann) кинетич. ур-ние для газов малой плотности, молекулы к-рых подчиняются классич. механике. К. у. Б. для квазичастиц в кристаллах, напр. для электронов в металле, наз. также кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа частиц (точнее, точек, изображающих состояние частиц) в элементе фазового объёма

; dr= =dxdydz)и выражает тот факт, что изменение функции распределения частиц

со временем t происходит вследствие движения частиц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из частиц одного сорта, К. у. Б. имеет вид

где

- изменение плотности числа частиц в элементе фазового объёма

за единицу времени, F= =F(r,t) - сила, действующая на частицу (может зависеть также и от скорости),

- изменение функции распределения вследствие столкновений (интеграл столкновений). Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменения функции распределения в результате перемещения частиц в пространстве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями частиц, связано с уходом частиц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма частицами, испытавшими "обратные" столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то

- скорости частиц до столкновения,

- скорости тех же частиц после столкновения,

- величина относит. скорости сталкивающихся частиц,

- дифференц. эфф. сечение рассеяния частиц в телесный угол

в лаб. системе координат,

- угол между относит. скоростью и линией центров. Напр., для жёстких упругих сфер, имеющих радиус R,

, для частиц, взаимодействующих по закону центр. сил,

(b - прицельный параметр,

- азимутальный угол линии центров).

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих частиц это область порядка диаметра частиц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся частиц (гипотеза молекулярного хаоса). Если система находится в статистич. равновесии, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. является Максвелла распределение.

При более строгом подходе для построения К. у. Б. исходят из Лиувилля уравнения для плотности распределения всех молекул газа в фазовом пространстве, из к-рого получают систему ур-ний для функций распределения одной, двух и т д. молекул (Боголюбова уравнения). Эту цепочку ур-ний решают с помощью разложения по степеням плотности частиц с использованием граничного условия ослабления корреляций, заменяющего гипотезу молекулярного хаоса.

Решение К. у. Б. при разл. предположениях о силах взаимодействия между частицами - предмет кинетич. теории газов, к-рая позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для процессов переноса (вязкости, диффузии, теплопроводности).

Для квантовых газов значения эфф. сечений рассчитывают на основе квантовой механики с учётом неразличимости одинаковых частиц и того факта, что вероятность столкновения зависит не только от произведения функций распределения сталкивающихся частиц, но и от функций распределения частиц после столкновения. Для фермионов в результате этого вероятность столкновения будет уменьшаться, а для бозонов - увеличиваться. Оператор столкновения в квантовом случае принимает вид

где знак минус соответствует Ферми - Дирака статистике, а знак плюс - Бозе - Эйнштейна статистике, g - статистич. вес состояния (g = l для частиц со спином, равным нулю, и g=2 для частиц со спином

- импульс частицы. функции

нормированы так, что представляют ср. число частиц в точке

. Равновесные функции распределения Ферми и Бозе обращают в нуль оператор столкновения (3).

Важным частным случаем К. у. Б. является кинетич. ур-ние для нейтронов, к-рые рассеиваются и замедляются ядрами среды. В этом случае внеш. сил нет и в ур-нии (1) надо положить F=0. Плотность числа нейтронов обычно мала, так что можно пренебречь столкновениями между ними и учитывать лишь их столкновения с ядрами среды (см. Диффузия нейтронов, Замедление нейтронов).

Процессы переноса, связанные с движением электронов в металле, также можно исследовать с помощью К. у. Б. В отсутствие колебаний решётки электроны свободно распространяются в металле н описываются плоскими волнами, модулированными с периодом решётки и зависящими от волнового вектора k; и номера энергетич. зоны l. Тепловое движение атомов решётки нарушает периодичность и приводит к рассеянию электронов (столкновениям между электронами и фононами). функция распределения электронов n(k, l, t)удовлетворяет К. у. Б. типа (1), в к-ром F= (E и Н - напряжённости электрич. и магн. полей, е - заряд электрона), а интеграл столкновений имеет вид

где n=n(k,l),

- волновые векторы и номера зон до и после столкновения, N= =N (f, s) - функция распределения фононов, f и s - волновой вектор и поляризация фононов,

- нач. и конечная энергии электрона при возбуждении фонона с энергией

- дельта-функция,

- матричные элементы перехода электрона из состояния k, l в состояние, к-рые оценивают, исходя из определ. гипотез о механизме взаимодействия электронов с решёткой. Выражение (4) получено в предположении, что время свободного пробега электронов значительно больше неопределённости для времени столкновения. Теория электропроводности, термоэлектрич. и гальвано-магн. явлений в металлах и полупроводниках основана на решении К. у. Б.

В нек-рых случаях конденсиров. систем, когда известен характер теплового движения, можно построить К. у. Б. для элементарных возбуждений (квазичастиц). Напр., теория процессов переноса энергии в кристал-лич. решётке основана на ур-нии такого типа. Если в выражении для потенц. энергии решётки ограничиться квадратичными относительно смещений атомов членами, то тепловое движение атомов в кристалле описывается свободно распространяющимися фононами - квантами нормальных колебаний решётки. Учёт членов 3-й степени приводит к возможности столкновений между фононами. В результате функция распределения фононов N (f, s) будет изменяться во времени согласно кинетич. ур-нию

коэф. при кубич. членах в разложении потенц. энергии кристалла по отклонениям атомов из положения равновесия,

- плотность. Ур-ние (5) описывает тройные столкновения фононов с уничтожением двух фононов и рождением одного (и обратные им процессы). Оно является ур-нием баланса фононов, движущихся в волновом пакете с групповой скоростью

и сталкивающихся между собой. Теория теплопроводности непроводящих кристаллов основана на решении ур-ния (5) при малых отклонениях от статистич. равновесия.

К. у. Б. применимо также к процессам, в к-рых частицы испытывают взаимные превращения, напр, в теории ливней, образующихся при попадании космич. частиц больших энергий в атмосферу. В этом случае кинетич. ур-ния составляются как система ур-ний баланса для заряж. частиц и фотонов в данном интервале энергии и импульса. Эти ур-ния выражают тот факт, что изменение функции распределения (кроме эффектов рассеяния) происходит вследствие образования пар заряж. частиц фотонами и испускания заряж. частицами фотонов в виде тормозного излучения в поле ядер.

На решении этих ур-ний основана каскадная теория ливней.

Литература по кинетическому уравнению Больцмана

Знаете ли Вы, в чем фокус эксперимента Майкельсона?

Эксперимент А. Майкельсона, Майкельсона - Морли - действительно является цирковым фокусом, загипнотизировавшим физиков на 120 лет.

Дело в том, что в его постановке и выводах произведена подмена, аналогичная подмене в школьной шуточной задачке на сообразительность, в которой спрашивается:
- Cколько яблок на березе, если на одной ветке их 5, на другой ветке - 10 и так далее
При этом внимание учеников намеренно отвлекается от того основополагающего факта, что на березе яблоки не растут, в принципе.

В эксперименте Майкельсона ставится вопрос о движении эфира относительно покоящегося в лабораторной системе интерферометра. Однако, если мы ищем эфир, как базовую материю, из которой состоит всё вещество интерферометра, лаборатории, да и Земли в целом, то, естественно, эфир тоже будет неподвижен, так как земное вещество есть всего навсего определенным образом структурированный эфир, и никак не может двигаться относительно самого себя.

Удивительно, что этот цирковой трюк овладел на 120 лет умами физиков на полном серьезе, хотя его прототипы есть в сказках-небылицах всех народов всех времен, включая барона Мюнхаузена, вытащившего себя за волосы из болота, и призванных показать детям возможные жульничества и тем защитить их во взрослой жизни. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.