Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов

# Листинг программы на C++ (N - четное)

## fft.h

```/*
Fast Fourier Transformation
====================================================
Coded by Miroslav Voinarovsky, 2002
This source is freeware.
*/

#ifndef FFT_H_
#define FFT_H_

struct Complex;
struct ShortComplex;

/*
Fast Fourier Transformation
x: x - array of items
N: N - number of items in array. Must be odd
complement: false - normal (direct) transformation, true - reverse transformation
*/
void fft2(ShortComplex *x, int N, bool complement);

struct ShortComplex
{
double re, im;
inline void operator=(const Complex &y);
};

struct Complex
{
long double re, im;
inline void operator= (const Complex &y);
inline void operator= (const ShortComplex &y);
};

inline void ShortComplex::operator=(const Complex &y)    { re = (double)y.re; im = (double)y.im;  }
inline void Complex::operator= (const Complex &y)       { re = y.re; im = y.im; }
inline void Complex::operator= (const ShortComplex &y)  { re = y.re; im = y.im; }

#endif
```

## fft.cpp

```/*
Fast Fourier Transformation for even N
====================================================
Coded by Miroslav Voinarovsky, 2004
This source is freeware.
*/
#include "fft.h"
#include <math.h>

// This array contains values from 0 to 255 with reverse bit order
static unsigned char reverse256[]= {
0x00, 0x80, 0x40, 0xC0, 0x20, 0xA0, 0x60, 0xE0,
0x10, 0x90, 0x50, 0xD0, 0x30, 0xB0, 0x70, 0xF0,
0x08, 0x88, 0x48, 0xC8, 0x28, 0xA8, 0x68, 0xE8,
0x18, 0x98, 0x58, 0xD8, 0x38, 0xB8, 0x78, 0xF8,
0x04, 0x84, 0x44, 0xC4, 0x24, 0xA4, 0x64, 0xE4,
0x14, 0x94, 0x54, 0xD4, 0x34, 0xB4, 0x74, 0xF4,
0x0C, 0x8C, 0x4C, 0xCC, 0x2C, 0xAC, 0x6C, 0xEC,
0x1C, 0x9C, 0x5C, 0xDC, 0x3C, 0xBC, 0x7C, 0xFC,
0x02, 0x82, 0x42, 0xC2, 0x22, 0xA2, 0x62, 0xE2,
0x12, 0x92, 0x52, 0xD2, 0x32, 0xB2, 0x72, 0xF2,
0x0A, 0x8A, 0x4A, 0xCA, 0x2A, 0xAA, 0x6A, 0xEA,
0x1A, 0x9A, 0x5A, 0xDA, 0x3A, 0xBA, 0x7A, 0xFA,
0x06, 0x86, 0x46, 0xC6, 0x26, 0xA6, 0x66, 0xE6,
0x16, 0x96, 0x56, 0xD6, 0x36, 0xB6, 0x76, 0xF6,
0x0E, 0x8E, 0x4E, 0xCE, 0x2E, 0xAE, 0x6E, 0xEE,
0x1E, 0x9E, 0x5E, 0xDE, 0x3E, 0xBE, 0x7E, 0xFE,
0x01, 0x81, 0x41, 0xC1, 0x21, 0xA1, 0x61, 0xE1,
0x11, 0x91, 0x51, 0xD1, 0x31, 0xB1, 0x71, 0xF1,
0x09, 0x89, 0x49, 0xC9, 0x29, 0xA9, 0x69, 0xE9,
0x19, 0x99, 0x59, 0xD9, 0x39, 0xB9, 0x79, 0xF9,
0x05, 0x85, 0x45, 0xC5, 0x25, 0xA5, 0x65, 0xE5,
0x15, 0x95, 0x55, 0xD5, 0x35, 0xB5, 0x75, 0xF5,
0x0D, 0x8D, 0x4D, 0xCD, 0x2D, 0xAD, 0x6D, 0xED,
0x1D, 0x9D, 0x5D, 0xDD, 0x3D, 0xBD, 0x7D, 0xFD,
0x03, 0x83, 0x43, 0xC3, 0x23, 0xA3, 0x63, 0xE3,
0x13, 0x93, 0x53, 0xD3, 0x33, 0xB3, 0x73, 0xF3,
0x0B, 0x8B, 0x4B, 0xCB, 0x2B, 0xAB, 0x6B, 0xEB,
0x1B, 0x9B, 0x5B, 0xDB, 0x3B, 0xBB, 0x7B, 0xFB,
0x07, 0x87, 0x47, 0xC7, 0x27, 0xA7, 0x67, 0xE7,
0x17, 0x97, 0x57, 0xD7, 0x37, 0xB7, 0x77, 0xF7,
0x0F, 0x8F, 0x4F, 0xCF, 0x2F, 0xAF, 0x6F, 0xEF,
0x1F, 0x9F, 0x5F, 0xDF, 0x3F, 0xBF, 0x7F, 0xFF,
};

//This is minimized version of type 'complex'. All operations is inline
static long double temp;
inline void operator+=(ShortComplex &x, const Complex &y)        { x.re += (double)y.re; x.im += (double)y.im; }
inline void operator-=(ShortComplex &x, const Complex &y)        { x.re -= (double)y.re; x.im -= (double)y.im; }
inline void operator*=(Complex &x,        const Complex &y)        { temp = x.re; x.re = temp * y.re - x.im * y.im; x.im = temp * y.im + x.im * y.re; }
inline void operator*=(Complex &x,        const ShortComplex &y)    { temp = x.re; x.re = temp * y.re - x.im * y.im; x.im = temp * y.im + x.im * y.re; }
inline void operator/=(ShortComplex &x, double div)                { x.re /= div; x.im /= div; }

//This is array exp(-2*pi*j/2^n) for n= 1,...,32
//exp(-2*pi*j/2^n) = Complex( cos(2*pi/2^n), -sin(2*pi/2^n) )
static Complex W2n[32]={
{-1.00000000000000000000000000000000,  0.00000000000000000000000000000000}, // W2 calculator (copy/paste) : po, ps
{ 0.00000000000000000000000000000000, -1.00000000000000000000000000000000}, // W4: p/2=o, p/2=s
{ 0.70710678118654752440084436210485, -0.70710678118654752440084436210485}, // W8: p/4=o, p/4=s
{ 0.92387953251128675612818318939679, -0.38268343236508977172845998403040}, // p/8=o, p/8=s
{ 0.98078528040323044912618223613424, -0.19509032201612826784828486847702}, // p/16=
{ 0.99518472667219688624483695310948, -9.80171403295606019941955638886e-2}, // p/32=
{ 0.99879545620517239271477160475910, -4.90676743274180142549549769426e-2}, // p/64=
{ 0.99969881869620422011576564966617, -2.45412285229122880317345294592e-2}, // p/128=
{ 0.99992470183914454092164649119638, -1.22715382857199260794082619510e-2}, // p/256=
{ 0.99998117528260114265699043772857, -6.13588464915447535964023459037e-3}, // p/(2y9)=
{ 0.99999529380957617151158012570012, -3.06795676296597627014536549091e-3}, // p/(2y10)=
{ 0.99999882345170190992902571017153, -1.53398018628476561230369715026e-3}, // p/(2y11)=
{ 0.99999970586288221916022821773877, -7.66990318742704526938568357948e-4}, // p/(2y12)=
{ 0.99999992646571785114473148070739, -3.83495187571395589072461681181e-4}, // p/(2y13)=
{ 0.99999998161642929380834691540291, -1.91747597310703307439909561989e-4}, // p/(2y14)=
{ 0.99999999540410731289097193313961, -9.58737990959773458705172109764e-5}, // p/(2y15)=
{ 0.99999999885102682756267330779455, -4.79368996030668845490039904946e-5}, // p/(2y16)=
{ 0.99999999971275670684941397221864, -2.39684498084182187291865771650e-5}, // p/(2y17)=
{ 0.99999999992818917670977509588385, -1.19842249050697064215215615969e-5}, // p/(2y18)=
{ 0.99999999998204729417728262414778, -5.99211245264242784287971180889e-6}, // p/(2y19)=
{ 0.99999999999551182354431058417300, -2.99605622633466075045481280835e-6}, // p/(2y20)=
{ 0.99999999999887795588607701655175, -1.49802811316901122885427884615e-6}, // p/(2y21)=
{ 0.99999999999971948897151921479472, -7.49014056584715721130498566730e-7}, // p/(2y22)=
{ 0.99999999999992987224287980123973, -3.74507028292384123903169179084e-7}, // p/(2y23)=
{ 0.99999999999998246806071995015625, -1.87253514146195344868824576593e-7}, // p/(2y24)=
{ 0.99999999999999561701517998752946, -9.36267570730980827990672866808e-8}, // p/(2y25)=
{ 0.99999999999999890425379499688176, -4.68133785365490926951155181385e-8}, // p/(2y26)=
{ 0.99999999999999972606344874922040, -2.34066892682745527595054934190e-8}, // p/(2y27)=
{ 0.99999999999999993151586218730510, -1.17033446341372771812462135032e-8}, // p/(2y28)=
{ 0.99999999999999998287896554682627, -5.85167231706863869080979010083e-9}, // p/(2y29)=
{ 0.99999999999999999571974138670657, -2.92583615853431935792823046906e-9}, // p/(2y30)=
{ 0.99999999999999999892993534667664, -1.46291807926715968052953216186e-9}, // p/(2y31)=
};

#define M_2PI (6.283185307179586476925286766559)

inline void complex_mul(ShortComplex *z, const ShortComplex *z1, const Complex *z2)
{
z->re = (double)(z1->re * z2->re - z1->im * z2->im);
z->im = (double)(z1->re * z2->im + z1->im * z2->re);
}

static ShortComplex *createWstore(unsigned int L, bool complement)
{
unsigned int N, Skew, Skew2;
ShortComplex *Wstore, *Warray, *WstoreEnd;
Complex WN, *pWN;

Skew2 = L >> 1;
Wstore = new ShortComplex[Skew2];
WstoreEnd = Wstore + Skew2;
Wstore[0].re = 1.0;
Wstore[0].im = 0.0;

for(N = 4, pWN = W2n + 1, Skew = Skew2 >> 1; N <= L; N += N, pWN++, Skew2 = Skew, Skew >>= 1)
{
//WN = W(1, N) = exp(-2*pi*j/N)
WN= *pWN;
if (complement)
WN.im = -WN.im;
for(Warray = Wstore; Warray < WstoreEnd; Warray += Skew2)
complex_mul(Warray + Skew, Warray, &WN);
}
return Wstore;
}

bool fft_step(ShortComplex *x, unsigned int T, unsigned int M, const ShortComplex *Wstore)
{
unsigned int L, I, J, MI, MJ, ML, N, Nd2, k, m, Skew, mpNd2;
unsigned char *Ic = (unsigned char*) &I;
unsigned char *Jc = (unsigned char*) &J;
ShortComplex S;
const ShortComplex *Warray;
Complex Temp;

L = 1 << T;
ML = M * L;

//first interchanging
for(I = 1, MI = M; I < L - 1; I++, MI += M)
{
Jc[0] = reverse256[Ic[3]];
Jc[1] = reverse256[Ic[2]];
Jc[2] = reverse256[Ic[1]];
Jc[3] = reverse256[Ic[0]];
J >>= (32 - T);
if (I < J)
{
MJ = M * J;
S = x[MI];
x[MI] = x[MJ];
x[MJ] = S;
}
}

//main loop
for(Nd2 = M, N = M + M, Skew = L >> 1; N <= ML; Nd2 = N, N += N, Skew >>= 1)
{
for(Warray = Wstore, k = 0; k < Nd2; k += M, Warray += Skew)
{
for(m = k; m < ML; m += N)
{
Temp = *Warray;
mpNd2= m + Nd2;
Temp *= x[mpNd2];
x[mpNd2] = x[m];
x[mpNd2] -= Temp;
x[m] += Temp;
}
}
}

return true;
}

/*
x: x - array of items
N: N - number of items in array. Must be odd
complement: false - normal (direct) transformation, true - reverse transformation
*/
void fft2(ShortComplex *x, int N, bool complement)
{
int r, sL, m, rpsL, mprM, widx, step, step2, h, L, T, M;

//N is odd: decrease sequence
if (N & 1)
{
N--;
x[0].im = x[0].re = 0.0;
}

//find L, M and T
for(L = 1, T = 0; L < N && N % L == 0; L += L, T++)
{
}

if (L != N)
{
L >>= 1;
T--;
}

//find M
M = N / L;

//find rotation multipliers
ShortComplex *Wstore= createWstore(L, complement);

//make usual FFT
for (h = 0; h < M; h++)
fft_step(x + h, T, M, Wstore);

//remove multipliers
delete [] Wstore;

if (M != 1)
{
//allocate temporary array
ShortComplex *X = new ShortComplex[N];

Complex one;
long double arg;

//rotation multiplier array allocation
ShortComplex *mult = new ShortComplex[N];
ShortComplex *multEnd = mult + N;
ShortComplex *multPtr;
mult[0].re= 1.0;
mult[0].im= 0.0;

//step2 is
for(step2 = 1; step2 < N; step2 += step2)
{
}

//rotation multiplier array evaluation
for(step = step2 >> 1; step > 0; step2 = step, step >>= 1)
{
arg= (complement ? M_2PI : -M_2PI) * step / N;
one.re= cosl(arg);
one.im= sinl(arg);
for(multPtr = mult + step; multPtr < multEnd; multPtr += step2)
complex_mul(multPtr, multPtr - step, &one);
}

ShortComplex *pX;
for(pX = X, rpsL = sL = 0; sL < N; sL += L)
{
for(r = 0; r < L; r++, rpsL++, pX++)
{
mprM = r*M;
*pX = x[mprM++];
widx = rpsL;
for(m = 1; m < M; m++, mprM++, widx += rpsL)
{
if (widx >= N)
widx -= N;
one = mult[widx];
one *= x[mprM];
*pX += one;
}
}
}

delete  mult;

//copy result from temporary array and free it
for (h = 0; h < N; h++)
x[h] = X[h];
delete [] X;
}

if (complement)
{
for( h= 0; h < N; h++)
x[h] /= N;
}
}

```
Основные алгоритмы компьютерной графики   БПФ   КГ   ДМ   ТПОИ   Теория сигналов

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

 НОВОСТИ ФОРУМАРыцари теории эфира 10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров.10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.