Основные алгоритмы компьютерной графики БПФ КГ ДМ ТПОИ Теория сигналов

Быстрое преобразование Фурье

Теоремы быстрого преобразования Фурье (FFT)

Теорема 0

Если комплексное число представлено в виде e^j2πN, где N - целое, то это число e^j2πN = 1.

Доказательство:

По формуле Эйлера, и ввиду периодичности синуса и косинуса:

e^j2πN = cos(2πN) + j sin(2πN) = cos 0 + j sin 0 = 1 + j0 = 1

Теорема 1

Величина периодична по k и по n с периодом N. То есть, для любых целых l и m выполняется равенство:

(4).

Доказательство:

(5)

Величина -h = -(nl+mk+mlN) - целая, так как все множители целые, и все слагаемые целые. Значит, мы можем применить Теорему 0:

Что и требовалось доказать по (4).

Теорема 2

Для величины справедлива формула:

Доказательство:

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.

Необходимо разделить сумму (1) из N слагаемых на две суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.
Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.

Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2. Рассмотрим случай прореживания по времени.

Теорема 3

Определим еще две последовательности: {x_[even]} и {x_[odd]} через последовательность {x} следующим образом:

x_[even]n = x_2n,
x_[odd]n = x_2n+1, (6)
n = 0, 1,..., N/2-1

Пусть к этим последовательностям применены ДПФ и получены результаты в виде двух новых последовательностей {X_[even]} и {X_[odd]} по N/2 элементов в каждой.

Утверждается, что элементы последовательности {X} можно выразить через элементы последовательностей {X_[even]} и {X_[odd]} по формуле:

(7).

Доказательство:

Начинаем от формулы (2), в которую подставляем равенства из (6):

(8)

Теперь обратим внимание на то, что:

(9)

Подставляя (9) в (8) получаем:

(10)

Сравним с формулами для X_[even]k и X_[odd]k при k = 0,1,…,N/2-1:

(11)

Подставляя (11) в (10) получим первую часть формулы (7):

Это будет верно при k = 0,1,…,N/2-1.

Согласно теореме 1:

(12)

Подставим (12) в (10), и заменим по теореме 2:

(13)

Для k = N/2,…,N-1 по формуле (2):

(14)

Подставляем (14) в (13):

Эта формула верна для k = N/2,…,N-1 и, соответственно, (k - N/2) = 0,1,…,N/2-1 и представляет собой вторую и последнюю часть утверждения (7), которое надо было доказать.

Формула (7) позволяет сократить число умножений вдвое (не считая умножений при вычислении X_[even]k и X _[odd]k), если вычислять X_k не последовательно от 0 до N - 1, а попарно: X₀ и X_N/2, X₁ и X_N/2+1,..., X_N/2-1 и X_N. Пары образуются по принципу: X_k и X_N/2+k.

Теорема 4

ДПФ можно вычислить также по формуле:

(15)

Доказательство:

Согласно второй части формулы (7), получим:

Это доказывает второе равенство в утверждении теоремы, а первое уже доказано в теореме 3.

Также по этой теореме видно, что отпадает необходимость хранить вычисленные X_[even]k и X_[odd]k после использования при вычислении очередной пары и одно вычисление можно использовать для вычисления двух элементов последовательности {X}.

На этом шаге будет выполнено N/2 умножений комплексных чисел. Если мы применим ту же схему для вычисления последовательностей {X_[even]} и {X_[odd]}, то каждая из них потребует N/4 умножений, итого еще N/2. Продолжая далее в том же духе log₂N раз, дойдем до сумм, состоящих всего из одного слагаемого, так что общее количество умножений окажется равно (N/2)log₂N, что явно лучше, чем N² умножений по формуле (2).

Рассмотрим БПФ для разных N. Для ясности добавим еще один нижний индекс, который будет указывать общее количество элементов последовательности, к которой этот элемент принадлежит. То есть X_{R}k - это k-й элемент последовательности {X_{R}} из R элементов. X_{R}[even]k - это k-й элемент последовательности {X_{R}[even]} из R элементов, вычисленный по четным элементам последовательности {X_{2R}}. X_{R}[odd]k - это k-й элемент последовательности {X_{R}[odd]}, вычисленный по нечетным элементам последовательности {X_{2R}}.

В вырожденном случае, когда слагаемое всего одно (N = 1) формула (1) упрощается до:

Поскольку в данном случае k может быть равно только 0, то X_{1}0 = x_{1}0, то есть, ДПФ над одним числом дает это же самое число.

Для N = 2 по теореме 4 получим:

Для N = 4 по теореме 4 получим:

Отсюда видно, что если элементы исходной последовательности были действительными, то при увеличении N элементы ДПФ становятся комплексными.

Для N = 8 по теореме 4 получим:

Обратите внимание, что на предыдущем шаге мы использовали степени W₄, а на этом - степени W₈. Лишних вычислений можно было бы избежать, если учесть тот факт, что

Тогда формулы для N=4 будут использовать те же W-множители, что и формулы для N=8:

Основные алгоритмы компьютерной графики БПФ КГ ДМ ТПОИ Теория сигналов

Знаете ли Вы, что в 1974 - 1980 годах профессор Стефан Маринов из г. Грац, Австрия, проделал серию экспериментов, в которых показал, что Земля движется по отношению к некоторой космической системе отсчета со скоростью 360±30 км/с, которая явно имеет какой-то абсолютный статус. Естественно, ему не давали нигде выступать и он вынужден был начать выпуск своего научного журнала "Deutsche Physik", где объяснял открытое им явление. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира