Стержень в акустике - упругое твёрдое тело, длина к-рого значительно превышает его поперечные размеры. С. представляет собой важный элемент линий задержки в изделиях акустоэлектроники, используется в высокочастотных пьезоэлектрич. датчиках давления, различных музыкальных устройствах и инструментах (ксилофоне, камертоне). К задачам колебаний С. сводятся мн. расчёты нагрузок строит. конструкций.
В С. могут распространяться продольные, крутильные и изгибные упругие волны. В отличие от волн в неограниченных твёрдых телах, волны в С. (т. н. нормальные волны)удовлетворяют не только ур-ниям теории упругости, но и граничным условиям на боковых и торцевых поверхностях С.
Продольные волны в С.- однородные по сечению деформации сжатия и растяжения,
распространяющиеся вдоль оси С. Смещение и в низкочастотной продольной
упругой волне, длина к-рой значительно превышает поперечные размеры С.,
удовлетворяет волновому ур-нию
где
- плотность
материала С., S - площадь поперечного сечения С., х - координата
вдоль оси С., Е - модель Юнга. Возмущение, описываемое ур-нием (1),
в случае постоянных по длине С. S и Е распространяется без
изменений со скоростью
. Высокочастотные продольные волны распространяются в С. как в неограниченном
твёрдом теле со скоростью
где v - коэф. Пуассона. Для большинства материалов
незначительно превышает спр, В промежуточной области
длин волн, сравнимых с поперечными размерами С., наблюдается дисперсия.
Крутильные волны в С. соответствуют распространению симметричного отноеительно
оси С. вращат. движения поперечного сечения. Ур-ние движения в этом случае
для угла закручивания сечения С.
имеет вид:
где
- модуль сдвига.
Скорость распространения крутильных волн не зависит от радиуса поперечного
сечения,
При
изменении частоты скорость распространения крутильной волны не изменяется.
Изгибные волны в С. характеризуются смещениями w точек оси С.
в поперечном направлении, ур-ние для к-рых записывается в виде:
где I - момент инерции поперечного сечения С. относительно поперечной
оси, лежащей в нейтральном сечении. В случае низкочастотных волновых движений
пренебрегают членом в левой части ур-ния (2), учитывающим инерционное сопротивление
повороту сечений С., и получают решения, описывающие две диспергирующие
волны, распространяющиеся в противоположных направлениях с фазовой скоростью
Групповая скорость низкочастотных изгибных волн в С. в два раза больше
фазовой. При описании высокочастотных изгибных волн учитывают поворот сечений
С. и пользуются строгим решением ур-ния (2). Высокочастотная изгибная волна
в С. не испытывает дисперсии, скорость её распространения
Вынужденные колебания С. под действием переменной вынуждающей силы происходят
с частотой её приложения. При прекращении действия вынуждающей силы ограниченный
С. продолжает колебаться на нек-рых собств. частотах wn.
Собств. частоты продольных колебаний С. не зависят от способа его закрепления
и описываются ф-лой
где l - длина С. Аналогичная ф-ла для частот собственных крутильных
колебаний имеет вид:
Собств. частоты этих двух видов колебаний образуют гармонич. ряд. Собств. частоты изгибных колебаний С.,
, гармонич.
ряда не образуют вследствие дисперсии. Напр., для случая закреплённого
на концах С,
где
= 4,73;
= 7,85... Для случая свободно опёртого на концах С.
При совпадении частоты вынуждающей силы с одной из собств. частот С. имеет место резонанс.
С. В. Егерев
|
|
 |
