), тем более узком, чем плавнее и протяжённее огибающая группы. Длина пакета
и ширина его
спектра 
ограничены
снизу соотношением 
,
где волновое число k связано с частотой 
дисперсионным соотношением 
.В линейных средах, где соблюдается суперпозиции
принцип, его можно рассматривать как набор гармонич. волн с частотами в
интервале
), тем более узком, чем плавнее и протяжённее огибающая группы. Длина пакета
и ширина его
спектра ограничены
снизу соотношением ,
где волновое число k связано с частотой
дисперсионным соотношением .
Если среда не обладает
дисперсией, то все гармонич. волны распространяются с одной и той же фазовой
скоростью, и пакет ведёт себя как строго стационарная волна - его
групповая скорость совпадает с фазовой скоростью 
. При наличии дисперсии волны разл. частот распространяются с разными скоростями
и форма огибающей искажается. Однако для сигналов с достаточно узким спектром,
когда фазовые скорости гармонич. волн, образующих волновой пакет, мало отличаются
друг от друга, и на не слишком больших расстояниях, когда форма огибающей приближённо
сохраняется, влияние дисперсии сказывается лишь на скорости перемещения огибающей,
к-рая и есть групповая скорость. Поскольку распространение двух синусоидальных волн с близкими
частотами 
пакета
описывается выражениями
то скорость их огибающей
равна 
, что в
пределе приводит к ф-ле 
.
На рис. 2 представлены три
последовательных мгновенных снимка сигнала с узким спектром, распространяющегося
в среде с дисперсией. Наклон пунктирных прямых, соединяющих точки одинаковой
фазы (напр., максимумы), характеризует фазовую скорость; наклон прямых, соединяющих
соответствующие точки огибающей (начала и конца сигнала), характеризует
групповую скорость сигнала. Если при распространении сигнала максимумы и минимумы движутся быстрее,
чем огибающая, то это означает, что фазовая скорость данной группы волн превышает
её групповую скорость. (рис. 2, а). При распространении сигнала в его "хвостовой"
части возникают всё новые максимумы, к-рые постепенно перемещаются вперёд, достигают
его головной части и там исчезают. Такое положение имеет место в случае т. н.
нормальной дисперсии, т. е. в средах, где показатель преломления 
увеличивается с ростом частоты гармонич. волны 
.
Такую дисперсию наз. также отрицательной, поскольку с ростом k фазовая
скорость волны убывает. Примеры сред с нормальной дисперсией - вещества, прозрачные
для оптич. волн, волноводы, изотропная плазма и др. Однако в ряде случаев наблюдается
аномальная (положительная) дисперсия среды 
;
в этих случаях групповая скорость сигнала превышает его фазовую скорость 
.
Максимумы и минимумы появляются в передней части сигнала (рис. 2, б), перемещаются
назад и исчезают в его хвосте. Аномальная дисперсия характерна для капиллярных
волн на поверхности воды (
),
для эл--магн. и акустич. волн в средах с резонансным поглощением, а также при
определ. условиях - для волн в периодич. структурах (кристаллы, замедляющие
системы и т. п.). При этом возможна даже ситуация, при к-рой
групповая скорость направлена
противоположно фазовой. Волны, обладающие этим свойством, наз. обратными.
Рис. 1. Волновой пакет.
Рис. 2. Последовательные
моментальные снимки группы волн в моменты времени t1, t2,
t3 в случае нормальной дисперсии (a) и в случае
аномальной дисперсии (б).
Групповая скорость определяет скорость и направление переноса энергии волнами. В анизотропных средах (напр., кристаллах,
плазме в пост. магн. поле), где показатели преломления волн зависят от частоты
и направления распространения, групповая скорость определяется как векторная производная
и обычно не совпадает
по направлению с фазовой скоростью. В средах с сильным поглощением вместо
групповой скорости вводят величину, характеризующую скорость переноса энергии 
,
где 
- ср. плотность
потока энергии, а 
- ср. плотность энергии в волнах. В прозрачных средах величины 
и 
совпадают.
Понятие групповой скорости играет важную роль и в физике, и в технике, поскольку все методы измерения скоростей распространения волн, связанные с запаздыванием сигналов (в т. ч. скорости оптического излучения), дают групповую скорость. Она фигурирует при измерении дальности в гидро- и радиолокации, при зондировании ионосферы, в системах управления космич. объектами и т. д.
M. А. Миллер, E. В. Суворов
|
|
 |
