Солитон (от лат. solus - один) - локализованное стационарное или стационарное в среднем возмущение однородной или пространственно-периодич. нелинейной среды.
С. характеризуется следующими свойствами: локализован в конечной области; распространяется без деформации, перенося энергию, импульс, момент импульса; сохраняет свою структуру при взаимодействии с др. такими же С.; может образовывать связанные состояния, ансамбли. Профиль (форма) С. определяется в нелинейной среде двумя конкурирующими процессами: расплыванием волны из-за дисперсии среды и «опрокидыванием» нарастающего волнового фронта из-за нелинейности.
До нач. 1960-х гг. С. называли уединённую волну - волновой пакет неизменной
формы, распространяющийся с пост. скоростью по поверхности тяжёлой жидкости
конечной глубины и в плазме. Ныне под определение С. попадает множество
разнообразных физ. объектов. Первая классификация С. может быть сделана
по числу пространственных измерений, вдоль к-рых происходит локализация
стационарного возмущения нелинейной среды. К одномерным С. относятся классич.
уединённые волны в жидкостях, доменные стенки в ферро- и антиферромагнетиках,
2p-импульсы и солитоны огибающей в нелинейной оптике (см. Солитоны оптические), локализов. моды коллективной проводимости в молекулах
органич. полупроводников и в одномерных металлах (см. Волны зарядовой
плотности), С. (кванты магн. потока) в джозефсоновских контактах в
сверхпроводниках (см. Джозефсона эффект)и т. д. К двумерным С.
относят дислокации в кристаллич. решётке, дисклинации в жидких
кристаллах, вихревые структуры в тонком слое сверхтекучей жидкости,
особенно разнообразные в сверхтекучем Не3 (см. Сверхтекучесть ),магн. трубки (вихри Абрикосова) в сверхпроводниках 2-го рода (см. Сверхпроводимость ),антициклональные области в геофиз. гидродинамике, в т. ч. «Большое
красное пятно» на Юпитере, каналы самофокусировки в нелинейной оптике.
Трёхмерные С.- это тороидальные вихревые структуры в ферромагнетиках и
толстом слое сверхтекучего Не3, солитонные модели элементарных
частиц (см. Солитон в квантовой теории поля), чёрные дыры в
теории гравитации. В квантовой теории поля рассматривают С., локализованные
в четырёхмерном пространстве-времени,- инстантоны.
Математически С. представляют собой локализованные стационарные решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных или их обобщений (дифференциально-разностных, интегро-дифференциальных и т. п. ур-ний). Во мн. случаях разл. физ. ситуации и явления описываются одними и теми же ур-ниями, напр. Кортевега - де Фриса уравнением, синус-Гордона уравнением, Шрёдингера уравнением нелинейным, Кадомцева - Петвиашвили уравнением. Линейные ур-ния (кроме одномерного волнового ур-ния) не имеют локализованных стационарных решений. С. представляют собой существенно нелинейные объекты, поведение и свойства к-рых принципиально отличаются от поведения волновых пакетов малой амплитуды. Различие особенно сильно, если С. обладает топологическим зарядом, т. е. если конфигурация волнового поля в присутствии С. топологически отлична от конфигурации невозмущённого состояния. Значит. часть ур-ний, имеющих солитонные решения, принадлежит к классу ур-ний, в к-ром применим обратной задачи рассеяния метод ,большинство из них являются интегрируемыми гамильтоновыми системами.
Одномерные солитоны. Уединённая волна на поверхности жидкости конечной
глубины впервые наблюдалась в 1834 Дж. С. Расселлом (J. S. Russell). Матем.
выражение для формы этой волны было получено в 1854 Ж. В. Буссинеском (J.
V. Boussinesq):
Здесь Н - невозмущённая глубина жидкости,
- скорость длинных волн малой амплитуды, x0 - положение
центра С.,
> 0 - безразмерный параметр, характеризующий амплитуду, размер и скорость
С. Ур-ние для одномерного С. было выведено в 1895 Кортевегом и де Фрисом.
В холодной замагниченной плазме и в плазме без магн. поля с горячими электронами
также могут распространяться уединённые волны, аналогичные С. на поверхности
жидкости (Р. 3. Сагдеев, 1957). С. были использованы Р. 3. Сагдеевым при
построении теории бесстолкновительных ударных волн в плазме, возникающих,
напр., при обтекании Земли солнечным ветром.
Моделируя на ЭВМ поведение цепочки атомов, связанных нелинейными упругими
силами и описываемых ур-ниями движения
где
л - номер атома в цепочке, Э. Ферми (Е. Fermi), Дж. Паста (J. Pasta) и
С. Улам (S. Ulam) в 1954 обнаружили аномально медленную стохастизацию в
этой системе. Система не термализовалась (в ней не устанавливалось термодинамич.
равновесие), а периодически возвращалась в исходное состояние с нач. распределением.
При исследовании этой проблемы выяснилось, что в непрерывном пределе она
переходит в Кортевега - де Фриса ур-ние (КдФ)
выведенное в 1895 для описания эволюции волнового пакета на поверхности
жидхости малой глубины. Ур-ние КдФ является универсальным ур-нием, описывающим
одномерные или квазиодномерные среды, в к-рых конкурируют слабая квадратичная
нелинейность [член 6иих в ур-нии (3)] и слабая
линейная дисперсия [член иххх в ур-нии (3)].
Оказалось, что оно описывает также и колебат. поведение цепочки атомов,
а в пределе малой амплитуды и большой длины волны имеет солитонное решение:
В зависимости от соотношения указанных выше двух факторов система переходит из одного состояния в другое, а в случае их взаимной компенсации возникает С.
Из численного решения ур-ния (3) [Н. Забуски (N. Zabusky) и М. Крускал
(М. Kruskal), 1964] следует, что С. обладают значит. устойчивостью и при
столкновениях рассеиваются упруго, сохраняя свою форму и амплитуду. Анализируя
это явление, М. Крускал, Дж. Грин (G. Green), Ч. Гарднер (С. Gardner) и
Р. Миура (R. Miura) открыли в 1967 фундам. метод обратной задачи рассеяния,
позволивший явно проинтегрировать ур-ние (3), к-рое можно представить как
условие совместности переопределённой системы линейных ур-ний для вспомогат.
функции
:
Ур-ние (5) представляет собой стационарное ур-ние Шрёдингера с потенциалом
- u(x,t). Если потенциал удовлетворяет ур-нию КдФ (3), то дискретные
собств. значения ур-ния Шрёдингера не зависят от времени и непосредственно
связаны с С. Если ур-ние (5) имеет N дискретных собств. значений
, то при
будут присутствовать N С. вида (4) с параметрами
.
В общем случае в решении содержится также осциллирующая «несолитонная часть».
Решение ур-ния (5), определённое методом обратной задачи рассеяния, имеет
вид:
В чисто солитонном случае
N-солитонное решение описывает рассеяние N С. друг на друге.
Это рассеяние происходит упруго с сохранением амплитуд , сдвигаются лишь
асимптотич. координаты С. При
парном столкновении С. с амплитудами
С. приобретают сдвиги
т. е. быстрый С. приобретает положительный, а медленный - отрицательный
сдвиги. При взаимодействии N С. полный сдвиг каждого С. равен алгебраич.
сумме сдвигов от парных соударений, т. е. отсутствуют многосолитонные взаимодействия.
Столкновения С., описываемых ур-ниями КдФ, можно наглядно представлять
как взаимодействие нерелятивистских частиц, между к-рыми действуют парные
силы отталкивания. Напр., для двух С. (4) с одинаковыми амплитудами
,
разделённых расстоянием L, много большим характерного размера С.
, потенциал силы отталкивания
Типичная
картина возникновения С. в океане, сфотографированная из космоса, изображена
на рис.: чётко видны пять полос (солитонов), перемещающихся снизу справа
вверх налево.
Шрёдингера нелинейное ур-ние для комплексной функции u(x,t)
является одним из осн. ур-ний нелинейной физики, описывающим эволюцию
оптич. волн в нелинейных кристаллах, ленгмюровских волн в плазме, тепловых
волн в твёрдых телах и др. При распространении одномерных квазигармонич.
волн в слабонелинейных средах и результате кубичной нелинейности (член
ихх)и линейной дисперсии (член
) происходит самомодуляция - возникают волны огибающей. В случае равновесия
нелинейного самосжатия и дисперсионного расплывания появляются С. огибающей.
В случае знака «+» в ур-нии (7) С. огибающей имеет вид:
Здесь
и v - амплитуда и скорость С. [в отличие от С. (4), эти параметры
являются взаимно независимыми], Ф0 и х0
описывают фазу и положение С. в нач. момент.
В. Е. Захаров и А. Б. Шабат показали (1971), что ур-ние (7) также является
точно интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния с помощью
вспомогат. переопределённой системы линейных ур-ний типа (5), (6) для многокомпонентной
(векторной) функции
. Следствием точной интегрируемости является наличие точных многосолитонных
решений. Как и в случае ур-ния КдФ, эти решения описывают чисто упругие
столкновения С. с сохранением формы, амплитуды и скорости. Единств. следствием
столкновения являются фазовые сдвиги - изменения параметров Ф0
и х0.
Одномерное ур-ние синус-Гордона. Точно интегрируемым с помощью вспомогат.
линейных ур-ний типа (5), (6) для векторной функции y является также синус-Гордона
ур-ние
Это ур-ние встречается во мн. физ. задачах, в к-рых ангармонич. потенциал нелинейного самовоздействия волнового поля периодичен по полевой переменной Ф(х,t). Примерами являются длинные волны в джозефсоновских переходах, волны зарядовой плотности в одномерных металлах, нелинейные волны намагниченности в легко плоскостных и слабых ферромагнетиках и т. д.
Ур-ние (9) имеет солитонные решения двух разл. типов: т. н. кинки и
бризеры. К и н к
представляет собой уединённую волну, обладающую топологич. зарядом
, движущуюся со скоростью v (v2 < 1). Кинк имеет смысл
т. н. флаксона - кванта магн. потока в теории длинных джозефсоновских переходов,
доменной стенки - в ферромагнетиках, носителя заряда - в одномерных металлах
и т. д. Точные решения ур-ния (9) описывают чисто упругие столкновения
любого числа кинков (10), сопровождающиеся фазовыми сдвигами, т. е. изменением
параметров x0, характеризующих положение кинков в нач.
момент. В частности, при столкновении двух кинков со скоростями v1,
v2 (v1 > v2)фазовые
сдвиги равны:
Видно, что фазовые сдвиги не зависят от топологич. зарядов кинков.
Как и для С., описываемых ур-ниями (3) и (7), полный фазовый сдвиг любого кинка при рассеянии на совокупности остальных кинков в точности равен сумме сдвигов, порождённых его столкновениями с каждым из остальных кинков по отдельности.
Наглядно два кинка, разделённых расстоянием L, много большим их характерных
размеров ~ (1 - v2)-1/2, можно представлять как две
релятивистские частицы, взаимодействующие с потенциалом
Т. о., кинки с одинаковыми зарядами
отталкиваются, с противоположными
- притягиваются.
Пара кинков с противоположным зарядом может образовать связанное осциллирующее
состояние - т. н. б р и з е р, представляющий собой 2-й тип точного солитонного
решения ур-ния (9):
[движущийся бризер может быть получен из (11) преобразованием Лоренца].
Параметр
,
изменяющийся в пределах
, характеризует энергию связи
бризера, определённую разность энергий пары удалённых покоящихся (v
= 0) кинков (10) и энергии бризера (11):
. Столкновения бризеров друг с другом и с кинками также являются чисто
упругими и сопровождаются аддитивными фазовыми сдвигами. В реальных системах
бризер не наблюдается вследствие диссипации.
В пределе Ф2
1 подстановка
преобразует ур-ние (9) в нелинейное ур-ние Шрёдингера (7) (с верх. знаком).
При этом бризер (11) (при
) преобразуется в покоящийся С. (8) с амплитудой
Многомерные солитоны. Двумерный С. является решением точно интегрируемого
ур-ния Кадомцева - Петвиашвили
описывающего ионно-звуковые волны в плазме, капиллярные волны на поверхности
«мелкой» жидкости и т. д. Точное решение ур-ния (12)
содержащее произвольный комплексный параметр v, описывает устойчивый
двумерный С. (т. н. л а м п), движущийся со скоростью и = (vx,Vy),
,
. При
решение. (13) убывает как (х2 + y2)-1,
т. е., в отличие от одномерных С. (4), (8), (10), (11), характеризующихся
экспоненциальным спадом профиля при
,
двумерный С. (13) имеет степенную асимптотику. Столкновения любого числа
лампов (13) являются чисто упругими, причём, в отличие от одномерных С.,
фазовые сдвиги тождественно равны нулю.
Понятие С. можно обобщить и на случай неинтегрируемых нелинейных волновых ур-ний. Сюда можно отнести почти интегрируемые с и с т е м ы, отличающиеся от универсальных интегрируемых ур-ний малыми возмущающими членами, что имеет место в реальных физ. системах. Теория возмущений для почти интегрируемых систем также основана на методе обратной задачи рассеяния [Д. Кауп (D. Каир), 1976; В. И. Карпман и Е. М. Маслов, 1977]. В почти интегрируемых системах динамика С. более богата; в частности, малые возмущения могут порождать неупругие взаимодействия С. и многосолитонные эффекты, отсутствующие в точно интегрируемом случае.
В системах, далёких от точно интегрируемых, взаимодействия С. оказываются
глубоко неупругими. Так, неинтегрируемое релятивистски инвариантное волновое
ур-ние
описывающее, напр., динамику параметра порядка при фазовых переходах
типа смещения в сегнетоэлектриках, имеет точное устойчивое решение типа
кинка:
Численное исследование показывает, что столкновение двух кинков (14)
с разл. топологич. зарядом
может приводить к аннигиляции этих С. в квазилинейные волны (излучение).
Примером С. в неинтегрируемой трёхмерной системе является т. н. с к и р м и о н - солитон Скирма модели, хорошо описывающей низкоэнергетич. динамику нуклонов.
Нелинейное ур-ние Шрёдингера более общего вида, чем (7),
где
- Лапласа оператор ,действующий в пространстве произвольной размерности
D, а н - произвольное положит, число, также может иметь солитонное
решение (это ур-ние интегрируемо лишь в случае п = 1, D = 1).
Такой С. может быть устойчив лишь при nD < 2; в обратном случае
он оказывается неустойчивым относительно волнового коллапса (см.
Солитон в плазме).
В. Е. Захаров, Б. А. Маломед
|
|
 |
