Метод максимального правдоподобия. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Максимального правдоподобия метод - метод оценивания неизвестных параметров для распределения случайной величины c по наблюдению её реализаций при параметрич. анализе данных. M. п. м. был предложен P. Э. Фишером (R. A. Fisher) в 1912 и формулируется след, образом. Пусть плотность вероятности величины х есть

где

- вектор неизвестных параметров. Определим функцию правдоподобия выражением

к-рое в отличие от плотности вероятности

рассматривают как функцию вектора а при заданном векторе c реализовавшихся значений

. Оценкой M. п. м. паз. вектор

отвечающий максимуму выражения (1) и принадлежащий допустимой области значений

Часто ищут максимум выражения

что упрощает задачу поиска

для экспоненциальных распределений. Идея M. п. м. заключается в том, что данная реализация вектора

должна отвечать наиболее вероятному значению

, а потому при заданном

выражение

должно принимать макс, значение. Напр., время жизни г нестабильных частиц подчиняется распределению

где

- неизвестный параметр, характерный для каждой частицы. Пусть измерены времена жизни

для N распадов. Если пренебречь ошибками измерений

то функция правдоподобия равна

Оценка M. п. м.

получается из решения ур-ния правдоподобия

С M. п. м. связано неравенство Крамера - Рао: дисперсия D (а)оценки параметра а, полученной любым методом, удовлетворяет неравенству

наз. кол-вом информации в

о параметре а. В случае вектора параметров

неравенство (2) обобщается след, образом. Если ввести ср. значения

где I -единичная матрица, т означает транспонирование. Если оценки

являются несмещёнными, то для дисперсий

как это следует из (3), выполняется неравенство

Неравенство Крамера - Рао полезно тем, что позволяет ещё на стадии планирования эксперимента оценить достижимую точность "измерения" параметров изучаемых распределений.

При нек-рых ограничениях на

можно показать, что оценка M. п. м. состоятельна, т. е. при

один из корней ур-ния правдоподобия,

стремится к точному значению а. Оценка M. п. м. асимптотически распределена по нормальному закону с нулевым ср. значением и дисперсией, равной

При конечных N оценка M. п. м., вообще говоря, является смещённой. Оптим. свойством оценки M. п. м. при конечных N оказывается то, что при нек-рых условиях

достигает нижней границы, задаваемой неравенством Крамера - Рао (2). В общем случае свойства оценки M. п. м. можно изучить при помощи Монте-Карло метода: задавая значение a из области возможных значений, получают выборку

находят оценку

и строят её среднее значение и ковариационную матрицу. Другое оптимальное свойство оценки M. п. м.: оценка

функции /(а) равна

. В этом её преимущества перед оценкой по наименьших квадратов методу.

Литература по методу максимального правдоподобия

Знаете ли Вы, что cогласно релятивистской мифологии "гравитационное линзирование - это физическое явление, связанное с отклонением лучей света в поле тяжести. Гравитационные линзы обясняют образование кратных изображений одного и того же астрономического объекта (квазаров, галактик), когда на луч зрения от источника к наблюдателю попадает другая галактика или скопление галактик (собственно линза). В некоторых изображениях происходит усиление яркости оригинального источника." (Релятивисты приводят примеры искажения изображений галактик в качестве подтверждения ОТО - воздействия гравитации на свет)
При этом они забывают, что поле действия эффекта ОТО - это малые углы вблизи поверхности звезд, где на самом деле этот эффект не наблюдается (затменные двойные). Разница в шкалах явлений реального искажения изображений галактик и мифического отклонения вблизи звезд - 10¹¹ раз. Приведу аналогию. Можно говорить о воздействии поверхностного натяжения на форму капель, но нельзя серьезно говорить о силе поверхностного натяжения, как о причине океанских приливов.
Эфирная физика находит ответ на наблюдаемое явление искажения изображений галактик. Это результат нагрева эфира вблизи галактик, изменения его плотности и, следовательно, изменения скорости света на галактических расстояниях вследствие преломления света в эфире различной плотности. Подтверждением термической природы искажения изображений галактик является прямая связь этого искажения с радиоизлучением пространства, то есть эфира в этом месте, смещение спектра CMB (космическое микроволновое излучение) в данном направлении в высокочастотную область. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.