Максимального правдоподобия метод - метод оценивания неизвестных параметров для распределения
случайной величины c по наблюдению её реализаций при параметрич.
анализе данных. M. п. м. был предложен P. Э. Фишером (R. A. Fisher) в
1912 и формулируется след, образом. Пусть плотность вероятности величины х есть где
- вектор неизвестных параметров. Определим функцию правдоподобия выражением
к-рое в отличие от плотности вероятности
рассматривают как функцию вектора а при
заданном векторе c реализовавшихся значений.
Оценкой M. п. м. паз. вектор
отвечающий максимуму выражения (1) и принадлежащий допустимой области значений
Часто ищут максимум выражения
что упрощает задачу поискадля
экспоненциальных распределений. Идея M. п. м. заключается в том, что данная
реализация вектора
должна отвечать наиболее вероятному значению,
а потому при заданном
выражение
должно принимать макс, значение. Напр., время жизни г нестабильных частиц подчиняется
распределению
где- неизвестный
параметр, характерный для каждой частицы. Пусть измерены времена жизнидля
N распадов. Если пренебречь ошибками измерений
то функция правдоподобия равна
Оценка M. п. м.получается
из решения ур-ния правдоподобия
и равна
С M. п. м. связано неравенство Крамера - Рао:
дисперсия D (а)оценки параметра а, полученной любым методом,
удовлетворяет неравенству
где
наз. смещением оценки
наз. кол-вом информации во
параметре а. В случае вектора параметровнеравенство
(2) обобщается след, образом. Если ввести ср. значения
ковариационную матрицу
матрицуи
информац. матрицу
то справедливо неравенство
где I -единичная матрица, т означает транспонирование.
Если оценки являются
несмещёнными, то для дисперсийкак
это следует из (3), выполняется неравенство
Неравенство Крамера - Рао полезно тем, что позволяет
ещё на стадии планирования эксперимента оценить достижимую точность "измерения"
параметров изучаемых распределений.
При нек-рых ограничениях на
можно показать, что оценка M. п. м. состоятельна,
т. е. при
один из корней ур-ния правдоподобия,
стремится к точному значению а. Оценка M. п. м. асимптотически распределена
по нормальному закону с нулевым ср. значением и дисперсией, равной .
При конечных N оценка M. п. м., вообще
говоря, является смещённой. Оптим. свойством оценки M. п. м. при конечных N оказывается то, что при нек-рых условиях
достигает нижней границы, задаваемой неравенством Крамера - Рао (2). В общем
случае свойства оценки M. п. м. можно изучить
при помощи Монте-Карло метода: задавая значение a из области возможных
значений, получают выборку
находят оценкуи
строят её среднее значение и ковариационную матрицу. Другое оптимальное свойство
оценки M. п. м.: оценкафункции
/(а) равна. В
этом её преимущества перед оценкой по наименьших квадратов методу.
Литература по методу максимального правдоподобия
Клепиков H. П., Соколов С. H., Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия, M., 1964;
Pао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., M., 1968;
Кендал л M., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., M., 1973;
Статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., M., 1976.
Знаете ли Вы, что такое "Большой Взрыв"? Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии "Большой взрыв (англ. Big Bang) - это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно - начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения..." В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею. На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве. Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как "взрыв" - понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых. Во-вторых, Вселенная - это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной). В третьих, фраза "представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва" тоже есть сплошной нонсенс. Что могло быть "вблизи Большого взрыва", если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.