Метод максимального правдоподобия. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Максимального правдоподобия метод - метод оценивания неизвестных параметров для распределения случайной величины c по наблюдению её реализаций при параметрич. анализе данных. M. п. м. был предложен P. Э. Фишером (R. A. Fisher) в 1912 и формулируется след, образом. Пусть плотность вероятности величины х есть

где

- вектор неизвестных параметров. Определим функцию правдоподобия выражением

к-рое в отличие от плотности вероятности

рассматривают как функцию вектора а при заданном векторе c реализовавшихся значений

. Оценкой M. п. м. паз. вектор

отвечающий максимуму выражения (1) и принадлежащий допустимой области значений

Часто ищут максимум выражения

что упрощает задачу поиска

для экспоненциальных распределений. Идея M. п. м. заключается в том, что данная реализация вектора

должна отвечать наиболее вероятному значению

, а потому при заданном

выражение

должно принимать макс, значение. Напр., время жизни г нестабильных частиц подчиняется распределению

где

- неизвестный параметр, характерный для каждой частицы. Пусть измерены времена жизни

для N распадов. Если пренебречь ошибками измерений

то функция правдоподобия равна

Оценка M. п. м.

получается из решения ур-ния правдоподобия

С M. п. м. связано неравенство Крамера - Рао: дисперсия D (а)оценки параметра а, полученной любым методом, удовлетворяет неравенству

наз. кол-вом информации в

о параметре а. В случае вектора параметров

неравенство (2) обобщается след, образом. Если ввести ср. значения

где I -единичная матрица, т означает транспонирование. Если оценки

являются несмещёнными, то для дисперсий

как это следует из (3), выполняется неравенство

Неравенство Крамера - Рао полезно тем, что позволяет ещё на стадии планирования эксперимента оценить достижимую точность "измерения" параметров изучаемых распределений.

При нек-рых ограничениях на

можно показать, что оценка M. п. м. состоятельна, т. е. при

один из корней ур-ния правдоподобия,

стремится к точному значению а. Оценка M. п. м. асимптотически распределена по нормальному закону с нулевым ср. значением и дисперсией, равной

При конечных N оценка M. п. м., вообще говоря, является смещённой. Оптим. свойством оценки M. п. м. при конечных N оказывается то, что при нек-рых условиях

достигает нижней границы, задаваемой неравенством Крамера - Рао (2). В общем случае свойства оценки M. п. м. можно изучить при помощи Монте-Карло метода: задавая значение a из области возможных значений, получают выборку

находят оценку

и строят её среднее значение и ковариационную матрицу. Другое оптимальное свойство оценки M. п. м.: оценка

функции /(а) равна

. В этом её преимущества перед оценкой по наименьших квадратов методу.

Литература по методу максимального правдоподобия

Знаете ли Вы, что такое "усталость света"?
Усталость света, анг. tired light - это явление потери энергии квантом электромагнитного излучения при прохождении космических расстояний, то же самое, что эффект красного смещения спектра далеких галактик, обнаруженный Эдвином Хабблом в 1926 г.
На самом деле кванты света, проходя миллиарды световых лет, отдают свою энергию эфиру, "пустому пространству", так как он является реальной физической средой - носителем электромагнитных колебаний с ненулевой вязкостью или трением, и, следовательно, колебания в этой среде должны затухать с расходом энергии на трение. Трение это чрезвычайно мало, а потому эффект "старения света" или "красное смещение Хаббла" обнаруживается лишь на межгалактических расстояниях.
Таким образом, свет далеких звезд не суммируется со светом ближних. Далекие звезды становятся красными, а совсем далекие уходят в радиодиапазон и перестают быть видимыми вообще. Это реально наблюдаемое явление астрономии глубокого космоса. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.