Со времён Абеля и Радона применялись алгоритмы аналитического обратного преобразования. Математической особенностью этих задач является то, что они принадлежат классу некорректно поставленных задач по Адамару, как правило, родственным интегральным уравнениям Фредгольма. Эффективным средством их решения при конечном числе проекций является метод регуляризации академика А.Н. Тихонова, развитый впоследствии Филлипсом, Арсениным, Ягломом, Танабэ и многими другими разработчиками методов компьютеного моделирования.
Для осесимметричных систем применяют обратное преобразование Абеля. Его дискретная версия была применена Ван-Циттертом.
Для систем с двумя разделяющимися переменными применяют преобразование Агарвала и Содха.
Для систем с известной группой симметрии теорема Вайнштейна указывает наименьшее число проекций, достаточных для точной реконструкции системы.
С 1940-х годов благодаря работам Тихонова и других томографические задачи для 2- и 3-мерных объектов поддаются решению численными методами. Численная дискретная модель системы сводится, в конечном итоге, как правило, к особенной (недоопределённую либо, напротив, переопределённой и несоместной) системе линейных уравнений большого размера, причём с размерностью от 3-х и 4-х (для 2-мерной томографии) до 5- и 6-мерной (для 3-мерной томографии).
В экспериментальной ядерной физике и физике пучков заряженных частиц известна 4-мерная томография (Sandia, Broockhaiwen, CERN, ОИЯИ, Исследовательский центр им. М.В. Келдыша, МФТИ и др.).
Таким образом, решение таких систем классическими "точными" методами (Гаусса-Йордана и т.п.) нереально вследствие кубически больших вычислительных затрат (что доказано теоремой Клюева--Коковкина-Щербака).
Для их решения применяют 3 класса алгоритмов.
Класс 1. Безытерационное обратное преобразование разложения проекций по ортогональным функциям (Фурье, Чебышёва, Хартли, Уолша, Радемахера и др.).
Класс 2. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными методами многомерного поиска - спуска, Монте-Карло и др.
Класс 3. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными проекционными алгоритмами. Все проекционные алгоритмы базируются на теореме математика Банаха (г. Львов) о сжимающих отображениях. Важным их достоинством является гарантированная и устойчивая сходимость итераций. Ещё более важным их достоинством для многомерной томографии является радикально более низкая вычислительная трудоёмкость - квадратичная.
Первые технические и биологические вычислительные интроскопы-томографы в СССР (40-е - 50-е гг.) и первые медицинские вычислительные томографы в США (70-е гг.) фактически использовали ряд версий метода польского математика Качмажа (1937 г.), в т.ч. советского математика И.А. Бочека (1953 г., МФТИ). Так, например, награждённые Нобелевской премией псевдоизобретатели компьютерной томографии американцы Кормак и Хаунсфилд, использованный ими алгоритм Качмажа (обеспечивающий достижение точки наименьших квадратов) называли ART (1973 г.), алгоритм советского математика Тараско (обеспечивающий достижение точки максимума правдоподобия, 60-е гг., ФЭИ, г.Обнинск) они назвали MART, также они использовали алгоритм японского математика Куино Танабе (1972 г.), являющийся релаксационной и сверхрелаксационной версией алгоритма Качмажа.
В КТ часто используется алгоритм Фридена (обеспечивающий достижение точки максимума энтропии). Стохастические методы перебора уравнений в проекциях (первым из таких была стохастическая версия алгоритма И.А. Бочека, опубликованная в 1971 г.) позволяют избежать регулярных артефактов и значительно улучшить качество изображения.
Если для схем сканирования "тонкими лучами" система уравнений сравнительно хорошо обусловлена (следовательно, результат реконструкции мало чувствителен к неизбежным погрешностям измерений проекций), то для сканирования "толстыми лучами" (что характерно для задач ЯМР-томографии, УЗИ, ПЭТ, интроскопии Ощепкова, электротоковой томографии, система уравнений оказывается очень плохо обусловленной. Это приводит к резкому замедлению приближения итераций вышеупомянутых проекционных методов к решению. Для решения таких систем используют методы А.В. Горшкова (МФТИ) и С. Елсакова (ЮУрГУ), отличающиеся нечувствительностью к плохой обусловленности решаемых систем уравнений, а также, за счёт необходимого стохастического перебора уравнений в них, отсутствием регулярных артефактов, и, наконец, скоростью сходимости (в практических задачах) на 2-3 порядка большей, чем указанные ранее.
Для нелинейных уравнений и томографии большой размерности (3-, 4-мерной) эффективным методом решения являются варианты метода Монте-Карло в метрических пространствах большой размерности.
Алгоритм советского математика А.А. Абрамова (МФТИ) одновременной итерации к решению и ортогонализации обеспечивает гарантию устойчивой сходимости к решению и заодно весьма точную оценку погрешности реконструкции. Укажем, что в плохо обусловленных системах в качестве его элементарных итераций рекомендуются не итерации Качмажа-Бочека, Тараско или Фридена (все они первого порядка), а итерации Горшкова-Елсакова (они 2-го порядка) или (в случае необходимости) итерации 3-го или большего порядков.
Заметим, что не следует без необходимости использовать итерации слишком высоких порядков, т.к. вычислительные затраты на них при неограниченном увеличении порядка итерации стремятся к кубическим (как у прямого обращения Гаусса-Йордана).
Для решения вычислительных задач синфазных УЗ-, СВЧ-, субмиллиметровой и электропотенциальной томографии используют алгоритм академика Лаврентьева.
Знаете ли Вы, что интерактивное обучение - это специальная форма организации познавательной деятельности. Суть интерактивного обучения состоит в том, что учебный процесс организован таким образом, что практически все учащиеся оказываются вовлеченными в процесс познания, они имеют возможность понимать и рефлектировать по поводу того, что они знают и думают.
