Метод Рунге-Кутты

Метод Рунге–Кутты часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге–Кутты) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

Для случая одного уравнения двучленная итерационная формула может иметь вид

Последовательность вычислений: сначала делают половинный шаг по схеме ломаных (по формуле Эйлера), находя y_n+0,5=y_n+hy^’_n+0,5, затем в найденной точке определяют наклон кривой y^’_n+0,5=f(x_n+0,5, y_n+0,5) и по этому наклону определяют приращение на целом шаге y_n+1=y_n+ hy^’_n+0,5.

Четырехчленная схема Рунге–Кутты наиболее часто употребляется в машинных расчетах и имеет четвертый порядок точности:

Метод Рунге–Кутта легко переносится и на случай системы дифференциальных уравнений.

В библиотеку Mathlib включена процедура RKGS, реализующая метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования

Замечание. Так как в процедуре шаг выбирается автоматически в зависимости от скорости изменения функций, обычно применяют следующий алгоритм: задаются требуемым шагом вывода результатов (в программе переменная sprint), определяют число шагов n, а затем процедуру вызывают n раз для последовательного интегрирования уравнений на этих участках, организуя вывод результатов после завершения процедуры.

Знаете ли Вы, что методы Рунге - Кутты - это важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. Формально, методом Рунге - Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.