Предельный цикл - изолированная замкнутая траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич.
движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый
П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему - "наматываются"
на него (устойчивый П. ц.). Поведение траекторий в окрестности П. ц. связано
со значениями его мультипликаторов (см. Бифуркация ).Если абс. величины
всех мультипликаторов меньше 1, то все трдектории неограниченно приближаются
к нему и он устойчив. Устойчивый П. ц. является матем. образом периодич. автоколебаний. Напр., ур-ние Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового
генератора) имеет при значениях параметра
> 0 единственный
устойчивый П. ц. (рис. 1).
Рис. 1. Фазовые портреты генератора Ван дер Поля
при различных значениях нелинейности: а - квазигармоничные колебания;
6 - сильно несинусоидальные; в - релаксационные.
Для систем с одной степенью свободы (их фазовое
пространство - плоскость) устойчивыми П. ц. и устойчивыми состояними равновесия
исчерпываются все возможные объекты, к-рые притягивают соседние траектории на
фазовой плоскости. В многомерных динамич. системах с размерностью фазового пространства
n3
возможны более сложные притягивающие объекты - аттракторы.
Если часть мультипликаторов (но не все) по модулю больше 1, то предельный
цикл седловой (рис. 2) и лежит на пересечении двух сепаратрисных многообразий:
устойчивого, по которому траектории приближаются к предельному циклу, и
неустойчивого, состоящего из удаляющихся от предельного цикла траекторий.
Устойчивые многообразия предельных циклов могут разделять в фазовом
пространстве области притяжения разл. аттракторов - как простых (состояние
равновесия, устойчивый предельный цикл), так и странных. Неустойчивые
многообразия седловых предельных циклов могут входить в состав
странных аттракторов
и стохастич. множеств гамильтоновых систем и определять их структуру.
Если все мультипликаторы по модулю больше 1, то предельный цикл неустойчив
(устойчив при обращении направления движения по траектории, т. е. при
).
Переход через единичное значение абс. величин
одного или неск. мультипликаторов при изменении параметров динамич. системы
свидетельствует о бифуркации смены устойчивости или исчезновения П. ц.
Литература по предельным циклам
Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. 3., Теория колебаний, [3 изд.], м., 1981;
Баутин Н. Н., Леонтович E. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М., 1976;
Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984.
Знаете ли Вы, что такое "усталость света"? Усталость света, анг. tired light - это явление потери энергии квантом электромагнитного излучения при прохождении космических расстояний, то же самое, что эффект красного смещения спектра далеких галактик, обнаруженный Эдвином Хабблом в 1926 г. На самом деле кванты света, проходя миллиарды световых лет, отдают свою энергию эфиру, "пустому пространству", так как он является реальной физической средой - носителем электромагнитных колебаний с ненулевой вязкостью или трением, и, следовательно, колебания в этой среде должны затухать с расходом энергии на трение. Трение это чрезвычайно мало, а потому эффект "старения света" или "красное смещение Хаббла" обнаруживается лишь на межгалактических расстояниях. Таким образом, свет далеких звезд не суммируется со светом ближних. Далекие звезды становятся красными, а совсем далекие уходят в радиодиапазон и перестают быть видимыми вообще. Это реально наблюдаемое явление астрономии глубокого космоса. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.