к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Теория катастроф

Теория катастроф - совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ. оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а также к исследованию биений сердца, эмбриологии, социологии, лингвистике, эксперим. психологии, экономике, геологии, теории элементарных частиц и моделированию деятельности мозга и психич. расстройств и т. п. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, неудивительно, что повсеместно встречаются и их особенности. Когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (напр., симметрии), применение теории особенностей оправдано и полезно (в оптике, теории упругости и др.), тогда как в нек-рых из описанных Томом и Э. К. Зиманом (Е. Ch. Zeeman) приложений сомнительно уже существование изучаемого отображения (в биологии, лингвистике, социологии). Теория особенностей обобщает исследование экстремумов функций на случай нескольких функций любого числа переменных. Критич. точкой функции у наз. точка, в к-рой все первые частные производные равны нулю, Ру/Рхi=0; критич. точка наз. невырожденной, если матрица Р2у/РхРхj невырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной функции все критич. точки невырождены. Любая гладкая функция в окрестности каждой невырожденной критич. точки приводится к одной из т. н. нормальных форм Морса, y=bx12b...bxn2+C, гладкой заменой независимых переменных. Эти невырожденные особенности устойчивы: напр., всякая функция, достаточно близкая к у=х2 (с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Напр., вырожденная критич. точка функции у3 в нуле распадается на две при возмущении, превращающем х3 в х3-ex. Типичные отображения поверхности на плоскость (R2''R2) также имеют лишь устойчивые особенности, а именно, складку (y1=xl2, у22) либо сборку Уитни (y1=x13+x1x2, y2=x2). Сборка есть особенность проектирования поверхности yl=x13+x1x2 из пространства (x1, х2, у1) на плоскость (y1 x2) (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений R3''R3 и R4''R4 таковы: 1) у112, yi=xi(i>1); 2) y1=x13+x1x2, yi=xi(i>1); 3) y1=x14+x12x2+x1x3, yi=xi(i>1); 4) y1=x126x22+x1x2+x2x4, y2=x1x2, yЗ=xЗ, y44. Отображение R2''R3 обычно имеет особенностями лишь "зонтики Уитни - Кэли" (рис. 2; y1=xl2, у21х2, у32).

012-153.jpg

При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (напр., не всякое отображение Rn''Rn при n>8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях. В теории бифуркаций рассматривается динамическая система ,описываемая ур-нием x=q(x, e), с заданным векторным полем q в n-мерном фазовом пространстве {х}. Поле зависит от k-мерного параметра e. Множество состояний равновесия определяет в (n+k)-мерном пространстве {х, e} k-мерную поверхность q(х, e)=0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство "управляющих параметров" {e} может иметь особенности. Если рассматривать значения {e} как функции на поверхности состояний равновесия, то точки, в к-рых якобиан этих функций равен 0, наз. бифуркационными, а значения функций в этих точках - бифуркац. значениями параметров e. При подходе управляющих параметров к бифуркац. значениям положения равновесия "бифурцируют" (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр, скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую и т. п.), откуда и название К. т. Наиб. успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве не были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t. нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения внутрь эллипса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве - это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х23) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, b, с), для к-рых многочлен х4+ах2+bх+с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рис. 5). Почти все особенности волновых фронтов (или Лежандра преобразований)можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых возникают особенности отображения (х, m)''m. гиперповерхности F(х, m)=0 в пространство m, где F - типичное семейство гладких функций вектора х и векторного параметра m. Типичные особенности каустик (или градиентных отображений x''РS/Рx, или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых функция F(x, m) переменной x имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при

F=x5+m1x2+m2x2 + m3x; F=x12x2bx23+m1x22+m2x2+m3x1.

Особенностям каустик и фронтов геом. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или многомерном перевала методе при слиянии неск. стационарных точек. По порядку величины интеграл при подходе к точке каустики возрастает в l-v раз, где l - длина волны, а показатель v равен 1/6 для общей точки каустики (A2, особенность Эйри); 1/4 для общей точки ребра возврата (А3, особенность Пирси); 3/10 для ласточкина хвоста (особенность A4); 1/з Для кошелька и пирамиды (особенности D4). Эти особенности связаны с простыми группами Ли Ak~SU(k+1), Dk~O(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы SU (2)].

012-154.jpg

Показатель v определяет интенсивность света вблизи каустики и её особенностей, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенц. полем скоростей (с иным значением v) и т. п. Универсальность геометрии бифуркац. диаграмм позволяет использовать их для одновременного моделрования многих различных по своему физическому смыслу явлений.

Литература по теории катастроф

  1. Постон Т., Стюарт И., Теория катастроф и её приложения, пер. с англ., М., 1980;
  2. Арнольд В. И,, Теория катастроф, 2 изд., М., 1983;
  3. его же. Особенности, бифуркации и катастрофы, "УФН", 19S3, т. 141, с. 569;
  4. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности дифференцируемых отображений, [т. 1-2]. М., 1982-84;
  5. Гилмор Р., Прикладная теория катастроф, пер. С англ., кн. 1-2, М., 1984.

В. И. Арнольд

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 21.11.2019 - 05:38: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
21.11.2019 - 05:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Марины Мелиховой - Карим_Хайдаров.
20.11.2019 - 07:03: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
19.11.2019 - 09:07: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Андрея Маклакова - Карим_Хайдаров.
18.11.2019 - 19:10: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
16.11.2019 - 12:16: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Игоря Кулькова - Карим_Хайдаров.
15.11.2019 - 06:45: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
14.11.2019 - 12:35: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Светланы Вислобоковой - Карим_Хайдаров.
13.11.2019 - 19:20: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Бориса Сергеевича Миронова - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 11:49: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Веры Лесиной - Карим_Хайдаров.
10.11.2019 - 23:14: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Кирилла Мямлина - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution