Теория катастроф - совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ. оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а также к исследованию биений сердца, эмбриологии, социологии, лингвистике, эксперим. психологии, экономике, геологии, теории элементарных частиц и моделированию деятельности мозга и психич. расстройств и т. п. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, неудивительно, что повсеместно встречаются и их особенности. Когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (напр., симметрии), применение теории особенностей оправдано и полезно (в оптике, теории упругости и др.), тогда как в нек-рых из описанных Томом и Э. К. Зиманом (Е. Ch. Zeeman) приложений сомнительно уже существование изучаемого отображения (в биологии, лингвистике, социологии). Теория особенностей обобщает исследование экстремумов функций на случай нескольких функций любого числа переменных. Критич. точкой функции у наз. точка, в к-рой все первые частные производные равны нулю, Ру/Рхi=0; критич. точка наз. невырожденной, если матрица Р2у/РхРхj невырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной функции все критич. точки невырождены. Любая гладкая функция в окрестности каждой невырожденной критич. точки приводится к одной из т. н. нормальных форм Морса, y=bx12b...bxn2+C, гладкой заменой независимых переменных. Эти невырожденные особенности устойчивы: напр., всякая функция, достаточно близкая к у=х2 (с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Напр., вырожденная критич. точка функции у=х3 в нуле распадается на две при возмущении, превращающем х3 в х3-ex. Типичные отображения поверхности на плоскость (R2''R2) также имеют лишь устойчивые особенности, а именно, складку (y1=xl2, у2=х2) либо сборку Уитни (y1=x13+x1x2, y2=x2). Сборка есть особенность проектирования поверхности yl=x13+x1x2 из пространства (x1, х2, у1) на плоскость (y1 x2) (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений R3''R3 и R4''R4 таковы: 1) у1=х12, yi=xi(i>1); 2) y1=x13+x1x2, yi=xi(i>1); 3) y1=x14+x12x2+x1x3, yi=xi(i>1); 4) y1=x126x22+x1x2+x2x4, y2=x1x2, yЗ=xЗ, y4=х4. Отображение R2''R3 обычно имеет особенностями лишь "зонтики Уитни - Кэли" (рис. 2; y1=xl2, у2=х1х2, у3=х2).
При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (напр., не всякое отображение Rn''Rn при n>8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях. В теории бифуркаций рассматривается динамическая система ,описываемая ур-нием x=q(x, e), с заданным векторным полем q в n-мерном фазовом пространстве {х}. Поле зависит от k-мерного параметра e. Множество состояний равновесия определяет в (n+k)-мерном пространстве {х, e} k-мерную поверхность q(х, e)=0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство "управляющих параметров" {e} может иметь особенности. Если рассматривать значения {e} как функции на поверхности состояний равновесия, то точки, в к-рых якобиан этих функций равен 0, наз. бифуркационными, а значения функций в этих точках - бифуркац. значениями параметров e. При подходе управляющих параметров к бифуркац. значениям положения равновесия "бифурцируют" (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр, скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую и т. п.), откуда и название К. т. Наиб. успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве не были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t. нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения внутрь эллипса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве - это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х2=у3) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, b, с), для к-рых многочлен х4+ах2+bх+с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рис. 5). Почти все особенности волновых фронтов (или Лежандра преобразований)можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых возникают особенности отображения (х, m)''m. гиперповерхности F(х, m)=0 в пространство m, где F - типичное семейство гладких функций вектора х и векторного параметра m. Типичные особенности каустик (или градиентных отображений x''РS/Рx, или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых функция F(x, m) переменной x имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при
F=x5+m1x2+m2x2 + m3x; F=x12x2bx23+m1x22+m2x2+m3x1.
Особенностям каустик и фронтов геом. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или многомерном перевала методе при слиянии неск. стационарных точек. По порядку величины интеграл при подходе к точке каустики возрастает в l-v раз, где l - длина волны, а показатель v равен 1/6 для общей точки каустики (A2, особенность Эйри); 1/4 для общей точки ребра возврата (А3, особенность Пирси); 3/10 для ласточкина хвоста (особенность A4); 1/з Для кошелька и пирамиды (особенности D4). Эти особенности связаны с простыми группами Ли Ak~SU(k+1), Dk~O(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы SU (2)].
Показатель v определяет интенсивность света вблизи каустики и её особенностей, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенц. полем скоростей (с иным значением v) и т. п. Универсальность геометрии бифуркац. диаграмм позволяет использовать их для одновременного моделрования многих различных по своему физическому смыслу явлений.
В. И. Арнольд
|
|
 |
