Теория катастроф. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Теория катастроф - совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ. оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а также к исследованию биений сердца, эмбриологии, социологии, лингвистике, эксперим. психологии, экономике, геологии, теории элементарных частиц и моделированию деятельности мозга и психич. расстройств и т. п. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, неудивительно, что повсеместно встречаются и их особенности. Когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (напр., симметрии), применение теории особенностей оправдано и полезно (в оптике, теории упругости и др.), тогда как в нек-рых из описанных Томом и Э. К. Зиманом (Е. Ch. Zeeman) приложений сомнительно уже существование изучаемого отображения (в биологии, лингвистике, социологии). Теория особенностей обобщает исследование экстремумов функций на случай нескольких функций любого числа переменных. Критич. точкой функции у наз. точка, в к-рой все первые частные производные равны нулю, Ру/Рх_i=0; критич. точка наз. невырожденной, если матрица Р²у/РхРх_j невырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной функции все критич. точки невырождены. Любая гладкая функция в окрестности каждой невырожденной критич. точки приводится к одной из т. н. нормальных форм Морса, y=bx₁²b...bx_n²+C, гладкой заменой независимых переменных. Эти невырожденные особенности устойчивы: напр., всякая функция, достаточно близкая к у=х² (с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Напр., вырожденная критич. точка функции у=х³в нуле распадается на две при возмущении, превращающем х³ в х³-ex. Типичные отображения поверхности на плоскость (R²''R²) также имеют лишь устойчивые особенности, а именно, складку (y₁=x_l², у₂=х₂) либо сборку Уитни (y₁=x₁³+x₁x₂, y₂=x₂). Сборка есть особенность проектирования поверхности y_l=x₁³+x₁x₂ из пространства (x₁, х₂, у₁) на плоскость (y₁ x₂) (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений R³''R³ и R⁴''R⁴ таковы: 1) у₁=х₁², y_i=x_i(i>1); 2) y₁=x₁³+x₁x₂, y_i=x_i(i>1); 3) y₁=x₁⁴+x₁²x₂+x₁x₃, y_i=x_i(i>1); 4) y₁=x₁²6x₂²+x₁x₂+x₂x₄, y₂=x₁x₂, y_З=x_З, y₄=х₄. Отображение R²''R³ обычно имеет особенностями лишь "зонтики Уитни - Кэли" (рис. 2; y₁=x_l², у₂=х₁х₂, у₃=х₂).

При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (напр., не всякое отображение Rⁿ''Rⁿ при n>8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях. В теории бифуркаций рассматривается динамическая система ,описываемая ур-нием x=q(x, e), с заданным векторным полем q в n-мерном фазовом пространстве {х}. Поле зависит от k-мерного параметра e. Множество состояний равновесия определяет в (n+k)-мерном пространстве {х, e} k-мерную поверхность q(х, e)=0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство "управляющих параметров" {e} может иметь особенности. Если рассматривать значения {e} как функции на поверхности состояний равновесия, то точки, в к-рых якобиан этих функций равен 0, наз. бифуркационными, а значения функций в этих точках - бифуркац. значениями параметров e. При подходе управляющих параметров к бифуркац. значениям положения равновесия "бифурцируют" (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр, скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую и т. п.), откуда и название К. т. Наиб. успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве не были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t. нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения внутрь эллипса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве - это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х²=у³) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, b, с), для к-рых многочлен х⁴+ах²+bх+с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рис. 5). Почти все особенности волновых фронтов (или Лежандра преобразований)можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых возникают особенности отображения (х, m)''m. гиперповерхности F(х, m)=0 в пространство m, где F - типичное семейство гладких функций вектора х и векторного параметра m. Типичные особенности каустик (или градиентных отображений x''РS/Рx, или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркац. значений параметра m, при к-рых функция F(x, m) переменной x имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при

F=x⁵+m₁x²+m₂x² + m₃x; F=x₁²x₂bx₂³+m₁x₂²+m₂x₂+m₃x_1.

Особенностям каустик и фронтов геом. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или многомерном перевала методе при слиянии неск. стационарных точек. По порядку величины интеграл при подходе к точке каустики возрастает в l^-^v раз, где l - длина волны, а показатель v равен ¹/₆для общей точки каустики (A₂, особенность Эйри); ¹/₄для общей точки ребра возврата (А₃, особенность Пирси); ³/₁₀ для ласточкина хвоста (особенность A₄); ¹/з Для кошелька и пирамиды (особенности D₄). Эти особенности связаны с простыми группами Ли A_k~SU(k+1), D_k~O(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы SU (2)].

Показатель v определяет интенсивность света вблизи каустики и её особенностей, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенц. полем скоростей (с иным значением v) и т. п. Универсальность геометрии бифуркац. диаграмм позволяет использовать их для одновременного моделрования многих различных по своему физическому смыслу явлений.

Литература по теории катастроф

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.