Двумерные решёточные модели статистической физики. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Пусть в узлах плоской решётки расположены локальные физ. величины, условно наз. спинами. Микроскопич. состояние системы определяется заданием значений всех спинов

(i - номер узла). Взаимодействие спинов считается локальным. Статистич. вес состояния

, согласно Гиббса распределению, определяется его энергией

В первом члене суммирование производится по всем узлам решётки, он описывает действие внеш. поля. Во втором - по парам ближайших узлов, этот член соответствует парным взаимодействиям; в третьем - по тройкам ближайших узлов и т. д.

Простейшими являются модели с парным взаимодействием. Точные результаты получены для моделей с парным и четверным взаимодействием. Энергия взаимодействия спинов может быть инвариантна относительно преобразований

, одинаковых во всех узлах. Совокупность преобразований g образует группу. Включение внеш. поля [первый член в (1)] может понизить группу симметрии взаимодействия или разрушить её полностью. Ниже рассмотрены модели с абелевыми группами симметрии.

Модели с парным взаимодействием. Удобно ввести парные статистич. веса (ПСВ)

T - темп-pa в энергетич. единицах. Трансляционно инвариантное взаимодействие на правильной решётке (однородная модель) может зависеть от ориентации ребра (анизотропная модель). В однородной модели на квадратной решётке задают две функции:

на горизонтальных рёбрах и

на вертикальных. В однородной модели на треугольной и гексагональной решётках анизотропия характеризуется тремя функциями. В однородной и изотропной модели энергия парного взаимодействия одинакова на всех рёбрах.

Для абелевых групп симметрии можно выбрать

так, чтобы парное взаимодействие

зависело только от разности

спинов, расположенных на концах ребра. В табл. 1 перечислены нек-рые группы, используемые при построении моделей.

Симметрия взаимодействия является решающим фактором при выборе модели для описания реальной физ. системы. Нише приведён ряд моделей и указано, в каких эксперим. ситуациях они реализуются.

1. Гауссова модель (свободное поле). Симметрия взаимодействия R,

Это простейшая и точно решаемая модель. Её свойства используют при расчётах в др. моделях.

2. Дискретная гауссова модель. Симметрия взаимодействия Z,

. Модель используют для описания систем адсорбиров. атомов на поверхности металлов с большим отношением двух периодов подложки. Mодель Кабреры. Симметрия взаимодействия Z. Это простейшая модель, описывающая флуктуации поверхности кристалла. Целые числа п_j указывают высоту столбика над площадкой с номером j (рис. 1),

. Обе модели обладают одинаковой симметрией и одинаковыми свойствами при низких температурах.

3. XY-модель (пленарный магнетик), U(1)-модель. Группа симметрии взаимодействия О(2). Спин

-двумерный единичный вектор в плоскости "лёгкого намагничения"

. Взаимодействие спинов "обменное",

XY-модель применяют для описания магнетиков, плёнок сверхтекучего ⁴He и сверхпроводников. МодельВерезинского-Виллэна (БB) обладает той же симметрией О(2), отличается выбором ПСВ

к-рые не имеют гиббсовской формы. Однако при низких темп-pax

ПСВ обеих моделей приближённо совпадают. Преимущество модели БВ в её матем. простоте.

4. Модели с симметрией Z_q. Дискретные варианты XY-модели и модели БB. Симметрия О(2) XY-модели или модели БB нарушена до Z_q. Соответствует планарному магнетику с осью анизотропии порядка q. Углы принимают дискретные значения

(p_j-0, 1, ..., q-1), a HCB здесь такие же, как в непрерывных моделях БB и XY. В моделях Поттса парное взаимодействие обладает макс. возможной симметрией для q-компонентного спина, -

, где

-символ Кронекера.

При q=2,3 модели Поттса являются наиб. общими Z₂- и Z₃-моделями. Z₂-модель известна как модель Изинга, для к-рой в переменных

, -

. При J>0 модель описывает ферромагнетик, при J<0 - антиферромагнетик. Возможны смешанные типы в анизотропных моделях:

. Те же правила справедливы в модели Поттса, если J заменить на К. Решёточный газ Поттса - обобщение модели Поттса на случай решёток с вакансиями. Для описания вакансий вводят дополнит. переменную t_j = 0,1. При t_j=0 j-и узел свободен, при t_j=1 он занят. Энергия состояния имеет вид:

К и К' - постоянные взаимодействия, z_i- статистический вес вакансии. Модель Изинга хорошо описывает нек-рые слоистые магнетики. Модель Поттса при q=2, 3, 4 описывает плавление разл. соизмеримых кристаллов в монослое адсорбиров. атомов. Ещё одной реализацией трёхкомпонентной модели Поттса является антисегнетоэлектрич. структура, возникающая в сплаве окиси алюминия с серебром при T =300 К. Модель решёточного газа Поттса при q=3 использовалась для числ. расчёта фазовой диаграммы криптона на графите. Модель Ашкина - Теллера (AT) описывается двумя изинговскими спинами

в каждом узле j. Взаимодействие между спинами обоих сортов, расположенными в соседних узлах, имеет вид

оно инвариантно относительно группы

и является наиб. общим для данной симметрии. Вместо параметров

удобно использовать значения ПСВ для четырёх спиновых конфигураций:

, где (i,j, k) - произвольная перестановка индексов 1, 2, 3. Частными случаями модели AT являются модель Изинга (один из параметров J_i равен нулю) и модель Поттса

При J₁=J₂ симметрия взаимодействия повышается до Z₄.

Вершинные модели. На шахматной доске в центрах белых граней (подрешётка А) расположены спины

, в центрах чёрных граней (подрешётка В) - спины . Взаимодействуют спины четырёх граней, сходящихся в одной точке - вершине (рис. 2). Каждой конфигурации спинов на гранях с вершиной V приписывается гиббсовский статистич. вес

, наз. вершинным статистич. весом (BCB). Статистич. вес

заданной конфигурации спинов

на решётке равен произведению BCB всех вершин. Предполагается, что BCB не меняется при независимых перестановках аргументов

. Если BCB не зависят от переменных

, модель относится к описанным ранее моделям с парным взаимодействием, т. к. на подрешётке А спины

являются ближайшими. Если BCB

представимы в виде произведения ПСВ

, то система спинов

распадается на две невзаимодействующие подсистемы с парным взаимодействием.

Восьмивершинная модель (8 V-модель). Спины

принимают значения b1. Энергия взаимодействия спинов в вершине инвариантна относительно группы

Симметрией 8 V-модели обладает атомарный водород, адсорбированный на поверхности вольфрама.

Рёберное представление 8 V-Mодели. На рёбрах шахматной решётки вводят переменные

(l=номер ребра). Знак переменной изображается направлением стрелки на ребре: если

, то при движении в направлении стрелки чёрное поле должно оставаться справа, а при

=-1 -слева (рис. 3). Переменную

связывают с переменными

на гранях i и а, разделённых ребром l:

. Произведение

по рёбрам, сходящимся в вершину V, равно единице. Восемь возможных конфигураций стрелок В вершине изображено на рис. 3. Случаи X и Y соответствуют разным типам вершин на шахматной доске, образующих подрешётки X и Y. Каждой конфигурации стрелок в вершине приписывают BCB:

. BCB не изменяются при изменении ориентации всех стрелок в вершине (

-симметрия). BCB на решётках X и Y различны.

Рис. 3. Допустимые вершины 8 V-модели. На гранях указана одна из двух возможных спиновых конфигураций, другая получается из неё обращением всех знаков.

Обобщенная 8 V-Mодель. Рёберную модель можно рассматривать вне зависимости от её связи с

-симметричной граневой моделью. В рамках этой модели можно описать модели Поттса, AT и модель Бакстера, если параметризовать BCB согласно табл. 2.

Модель Бакстера (симметричная 8 V-Mодель), u=s=0, модель имеет точное решение. Шестивершинная модель (6 V-модель, модель льда), частный случай 8 V-модели при d=0. Модель жёстких гексагонов (треугольный решёточный газ). Узлы треугольной решётки заняты частицами или свободны. Вес занятого узла равен z, вес свободного узла равен 1. Соседние узлы не могут быть заняты одновременно. Переменная

описывает занятый узел

или вакансию

. Модель можно сформулировать как вершинную на квадратной решётке, для этого треугольная решётка (пунктирные линии) деформируется, как показано на рис. 4.

Обобщённая модель жёстких гексагонов (ЖГ) получается из предыдущей внесением в BCB дополнит. множителя

, где L и М - новые параметры. Модель ЖГ имеет точное решение, если L, M и z связаны соотношением:

Модель жёстких гексагонов является предельным случаем ЖГ при

и фиксиров. г.

Преобразования моделей. Можно установить соответствие между нек-рыми из описанных моделей с помощью дуальных преобразований (ДП). В самодуальных моделях ПСВ сохраняют свой вид при ДП, преобразуются только параметры взаимодействия, а ПСВ приобретают нормировочный множитель. В 8 V-модели можно произвести ДП для спинов на одной из подрешёток, зафиксировав их на другой. При таком частичном ДП 8 V-модель перейдёт в модель AT. При а=b 8 V-модель дуальна однородной и изотропной модели AT. Совершив ДП над оставшимися переменными (полное ДП), можно установить соответствие между двумя дуальными 8 V-моделями (переменные

при полном ДП обмениваются подрешётками). Полное ДП модели AT состоит из двух последоват. частичных ДП:

. Модель БВ дуальна дискретной модели Гаусса, если

= 1.

Кулоновский решёточный газ. Низколежащие возбуждённые состояния систем с симметрией 0(2) (ХY-модель, модель БB) разделяются на спиновые волны и магн. вихри. Последние характеризуются целочисл. переменной

, определяющей циркуляцию спинов вокруг грани с центром в

. Числа

наз. зарядами вихрей. После исключения спиновых волн задача сводится к вычислению статистич. суммы двумерной кулоновской нейтральной плазмы на решётке. Роль заряж. частиц играют вихри, их взаимодействие логарифмически зависит от расстояния.

Рис. 4. Модель жестких гексагонов на квадратной решётке.

Модель случайных кластеров. Статистич. сумму модели Поттса можно представить графически, используя след. представление ПСВ:

. На графе сопоставим 1 пустое ребро, а

-заполненное (рис. 5). Кластером наз. совокупность узлов, соединённых заполненными ребрами. Изолиров. узел также считается кластером. Статистич. сумма q-компонентной модели Поттса представляется в виде

, где k - число кластеров, а т - число заполненных рёбер в графе. Определив статистич. сумму графически, можно не считать q целым числом. Модель Поттса при q=1 связана с процессами протекания (см. Протекания теория), а при q=0- со статистикой длинных полимерных молекул без самопересечения. Модель случайных кластеров можно преобразовать в 6 V-модель.

Критические свойства двумерных систем. При достаточно низких темп-pax ср. значение параметра порядка (намагниченности) системы с дискретной абелевой группой симметрии отлично от нуля. При высоких темп-pax система находится в неупорядоч. состоянии. В системах с непрерывной группой симметрии намагниченность отсутствует во всём диапазоне температур. В модели БB различие между фазами выражается в поведении корреляторов на больших расстояниях. Ниже точки перехода (в т. н. мягкой фазе) они убывают по степенному закону, выше точки перехода убывание происходит экспоненциально. В мягкой фазе взаимодействие между пробными зарядами кулоновское (логарифмическое). После диссоциации вихревых молекул пробные заряды экранируются и взаимодействуют экспоненциально слабо. Изменение характера взаимодействия приводит к изменению зависимости коррелятора от расстояния.

В Z_q-симметричных моделях при q>4 существует интервал температур (4 <

< q²/4, где J_ЭФФ - эфф. постоянная взаимодействия), в к-ром симметрия восстанавливается. В этой фазе корреляторы убывают по степенному закону (мягкая фаза). На верх. границе интервала происходит описанный выше переход в кулоновском газе вихрей. Высокотемпературная фаза характеризуется полным беспорядком и экспоненц. спаданием корреляторов. При q<4 промежуточная (мягкая) фаза отсутствует. Фазовые диаграммы для q = 4 и q > 4 изображены на рис. 6.

Точное решение модели Изинга демонстрирует существование единств. фазового перехода 2-го рода в точке, где параметры

связаны соотношением дуальности

. В изотропной модели критич. значение

, где знак

соответствует ферромагнетику, а

-антиферромагнетику. Для моделей Поттса при q>4 показано, что эквивалентная 6 V-модель имеет единств. точку фазового перехода при u=s =0. Параметры K_h и K_v в анизотропной модели связаны ДП

q. Считается, что то же соотношение определяет критич. точку при

. При q > 4 переход происходит скачком (переход 1-го рода), а при

-непрерывно (переход 2-го рода).

Рис. 5. Пример графа в кластерном разложении модели Поттса.

Рис. 6. Фазовые диаграммы модели Березинского - Виллэна с нарушенной симметрией (см. табл. 1). Утолщённый отрезок оси абсцисс соответствует мягкой фазе. При q>4 заштрихованная область между двумя жирными линиями соответствует мягкой фазе.

Свободная энергия модели Бакстера - аналитич. функция параметров а, b, с, d > 0, за исключением плоскостей

На этих плоскостях корреляц. радиус обращается в бесконечность. Параметр

обращается в 1 на плоскостях (3) и только на них. Система находится в упорядоч. фазе при k²<1 и в неупорядоченной при k²>1.

Рис. 7. Фазовая диаграмма однородной и изотропной модели Ашкина - Теллера: а-листы критической поверхности пересекаются попарно вдоль отрезков PL₁, PL₂, PL₃ с общей тройной точкой P, все три отрезка лежат в плоскости N₁N₂N₃; б - сечение фазовой диаграммы плоскостью N₁N₂N₃.

Фазовую диаграмму модели AT удобно представить в координатах

, i=1, 2, 3 (рис. 7, а). Критич. поверхность состоит из 3 листов. Изотропная модель AT эквивалентна модели Бакстера с а=b при условии x₁+x₂+x₃=1. В этой плоскости (рис. 7, б)отрезки состоят из критич. точек. Линия x₂=x₃соответствует d=0 в модели Бакстера. Центр треугольника является критич. точкой 4-компонентной модели Поттса.

Фазовое пространство модели ЖГ в координатах L, M ограничено кривыми z(L, M)=0, где z выражается через L и M согласно ф-ле (2). Области z(L, М)<0, заштрихованные на рис. 8, нефизические. В оставшейся области значение параметра

определяет, в какой фазе находится система. Границы фаз определяются условием

, где

. Фазовая диаграмма симметрична относительно замены осей L и M. В фазах I, III, V плотность на подрешётках одинакова (жидкая фаза). В фазах II и VI частицы занимают преимущественно одну из трёх подрешёток (треугольный кристалл). В фазе IV занята одна из двух подрешёток (квадратный кристалл).

Критич. показатели. В модели БВ масштабная размерность параметра порядка

в точке фазового перехода равна

, что подтверждено при измерении в плёнках ⁴He отношения сверхтекучей плотности к температуре перехода, равного универс. постоянной

, где т - масса атома ⁴He. Связь критических показателей с параметрами взаимодействия установлена точно для модели Бакстера, модели AT, модели Поттса при

, а также для модели ЖГ (табл. 3).

Рис. 8. Фазовая диаграмма точно решаемой обобщённой модели жёстких гексагонов.

Литература по двумерным решёточным моделям

Знаете ли Вы, что низкочастотные электромагнитные волны частотой менее 100 КГц коренным образом отличаются от более высоких частот падением скорости электромагнитных волн пропорционально корню квадратному их частоты от 300 тысяч кмилометров в секунду при 100 кГц до примерно 7 тыс км/с при 50 Гц.


Группа	Спиновая переменная (множество значений)	Нарушение симметрии внеш. полем Л
R - группа трансляций на прямой	- все действит. числа	симметрия понижается до Z
Z - группа дискретных трансляций на прямой	- все целые числа	симметрия нарушается полностью
О(2)- группа плоских вращений		симметрия понижается до Z_q
Zij - группа дискретных плоских вращений на угол	можно пользоваться переменными	симметрия нарушается полностью
- макс. абелева подгруппа группы тетраэдра		симметрия нарушается полностью


Номер вершины	1	2	3	4	5	6	7	S
BCB на подрешётке X	ае^u	ае^u	bе^-u	bе^-u	се^s	ce^-s	d	d
BCB на подрешётке У	ае^-u	ае^-u	bе^и	bе^u	ce^-s	ce^s	d	d