к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА

Глоссарий по физике

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Двумерные решёточные модели

Двумерные решёточные модели статистической физики - матем. модели, в к-рых пространственная переменная принимает дискретные значения на плоскости. Нек-рые Д. р. м. допускают точное решение, что позволяет проверить осн. положения общей теории, определить пределы применимости приближённых методов. Вблизи фазовых переходов 2-го рода Д. р. м. можно преобразовать в двумерные модели квантовой теории поля. Кроме того, Д. р. м. описывают реальные физ. системы: слоистые магнети-ки, плёнки жидкого гелия, сверхпроводящие плёнки, монослои адсорбиров. атомов, волны зарядовой плотности, плёнки смектич. кристаллов и др. Первое точное решение Д. р. м. было найдено Л. Онсагером (L. Onsager) в 1944 (см. Изинга модель ).Далее рассматриваются лишь Д. р. м. на правильных решётках.

Пусть в узлах плоской решётки расположены локальные физ. величины, условно наз. спинами. Микроскопич. состояние системы определяется заданием значений всех спинов 1119929-128.jpg (i - номер узла). Взаимодействие спинов считается локальным. Статистич. вес состояния 1119929-129.jpg , согласно Гиббса распределению, определяется его энергией 1119929-130.jpg :

1119929-131.jpg

В первом члене суммирование производится по всем узлам решётки, он описывает действие внеш. поля. Во втором - по парам ближайших узлов, этот член соответствует парным взаимодействиям; в третьем - по тройкам ближайших узлов и т. д.

Простейшими являются модели с парным взаимодействием. Точные результаты получены для моделей с парным и четверным взаимодействием. Энергия взаимодействия спинов может быть инвариантна относительно преобразований 1119929-132.jpg , одинаковых во всех узлах. Совокупность преобразований g образует группу. Включение внеш. поля [первый член в (1)] может понизить группу симметрии взаимодействия или разрушить её полностью. Ниже рассмотрены модели с абелевыми группами симметрии.

Модели с парным взаимодействием. Удобно ввести парные статистич. веса (ПСВ)

1119929-133.jpg

T - темп-pa в энергетич. единицах. Трансляционно инвариантное взаимодействие на правильной решётке (однородная модель) может зависеть от ориентации ребра (анизотропная модель). В однородной модели на квадратной решётке задают две функции:1119929-134.jpg на горизонтальных рёбрах и 1119929-135.jpg на вертикальных. В однородной модели на треугольной и гексагональной решётках анизотропия характеризуется тремя функциями. В однородной и изотропной модели энергия парного взаимодействия одинакова на всех рёбрах.

Для абелевых групп симметрии можно выбрать1119929-136.jpg так, чтобы парное взаимодействие 1119929-137.jpg зависело только от разности 1119929-138.jpg спинов, расположенных на концах ребра. В табл. 1 перечислены нек-рые группы, используемые при построении моделей.

Табл. 1.

Группа

Спиновая переменная (множество значений)

Нарушение симметрии внеш. полем Л

R - группа трансляций на прямой

1119929-139.jpg - все действит. числа

1119929-140.jpg

симметрия понижается до Z

Z - группа дискретных трансляций на прямой

1119929-141.jpg - все целые числа

1119929-142.jpg

симметрия нарушается полностью

О(2)- группа плоских вращений

1119929-143.jpg

1119929-144.jpg

симметрия понижается до Zq

Zij - группа дискретных плоских вращений на угол1119929-145.jpg

1119929-146.jpg

можно пользоваться переменными

1119929-147.jpg

1119929-148.jpg

симметрия нарушается полностью

1119929-149.jpg - макс. абелева подгруппа группы тетраэдра

1119929-150.jpg

1119929-151.jpg

симметрия нарушается полностью

Симметрия взаимодействия является решающим фактором при выборе модели для описания реальной физ. системы. Нише приведён ряд моделей и указано, в каких эксперим. ситуациях они реализуются.

1. Гауссова модель (свободное поле). Симметрия взаимодействия R, 1119929-152.jpg

Это простейшая и точно решаемая модель. Её свойства используют при расчётах в др. моделях.

2. Дискретная гауссова модель. Симметрия взаимодействия Z, 1119929-153.jpg1119929-154.jpg . Модель используют для описания систем адсорбиров. атомов на поверхности металлов с большим отношением двух периодов подложки. Mодель Кабреры. Симметрия взаимодействия Z. Это простейшая модель, описывающая флуктуации поверхности кристалла. Целые числа пj указывают высоту столбика над площадкой с номером j (рис. 1), 1119929-155.jpg . Обе модели обладают одинаковой симметрией и одинаковыми свойствами при низких температурах.

1119929-156.jpg

Рис. 1. Модель поверхности кристалла.


3. XY-модель (пленарный магнетик), U(1)-модель. Группа симметрии взаимодействия О(2). Спин 1119929-157.jpg-двумерный единичный вектор в плоскости "лёгкого намагничения" 1119929-158.jpg . Взаимодействие спинов "обменное",1119929-159.jpg1119929-160.jpg .

XY-модель применяют для описания магнетиков, плёнок сверхтекучего 4He и сверхпроводников. МодельВерезинского-Виллэна (БB) обладает той же симметрией О(2), отличается выбором ПСВ

1119929-161.jpg

к-рые не имеют гиббсовской формы. Однако при низких темп-pax 1119929-162.jpg ПСВ обеих моделей приближённо совпадают. Преимущество модели БВ в её матем. простоте.

4. Модели с симметрией Zq. Дискретные варианты XY-модели и модели БB. Симметрия О(2) XY-модели или модели БB нарушена до Zq. Соответствует планарному магнетику с осью анизотропии порядка q. Углы 1119929-163.jpg принимают дискретные значения 1119929-164.jpg (pj-0, 1, ..., q-1), a HCB здесь такие же, как в непрерывных моделях БB и XY. В моделях Поттса парное взаимодействие обладает макс. возможной симметрией для q-компонентного спина, -1119929-165.jpg , где 1119929-166.jpg-символ Кронекера.

При q=2,3 модели Поттса являются наиб. общими Z2- и Z3-моделями. Z2-модель известна как модель Изинга, для к-рой в переменных 1119929-167.jpg , - 1119929-168.jpg . При J>0 модель описывает ферромагнетик, при J<0 - антиферромагнетик. Возможны смешанные типы в анизотропных моделях: 1119929-169.jpg . Те же правила справедливы в модели Поттса, если J заменить на К. Решёточный газ Поттса - обобщение модели Поттса на случай решёток с вакансиями. Для описания вакансий вводят дополнит. переменную tj = 0,1. При tj=0 j-и узел свободен, при tj=1 он занят. Энергия состояния имеет вид:

1119929-170.jpg

К и К' - постоянные взаимодействия, zi- статистический вес вакансии. Модель Изинга хорошо описывает нек-рые слоистые магнетики. Модель Поттса при q=2, 3, 4 описывает плавление разл. соизмеримых кристаллов в монослое адсорбиров. атомов. Ещё одной реализацией трёхкомпонентной модели Поттса является антисегнетоэлектрич. структура, возникающая в сплаве окиси алюминия с серебром при T =300 К. Модель решёточного газа Поттса при q=3 использовалась для числ. расчёта фазовой диаграммы криптона на графите. Модель Ашкина - Теллера (AT) описывается двумя изинговскими спинами1119929-171.jpg в каждом узле j. Взаимодействие между спинами обоих сортов, расположенными в соседних узлах, имеет вид

1119929-172.jpg1119929-173.jpg ,

оно инвариантно относительно группы 1119929-174.jpg и является наиб. общим для данной симметрии. Вместо параметров 1119929-175.jpg, 1119929-176.jpg удобно использовать значения ПСВ для четырёх спиновых конфигураций: 1119929-177.jpg, 1119929-178.jpg , где (i,j, k) - произвольная перестановка индексов 1, 2, 3. Частными случаями модели AT являются модель Изинга (один из параметров Ji равен нулю) и модель Поттса 1119929-179.jpg При J1=J2 симметрия взаимодействия повышается до Z4.

1119929-180.jpg

Рис. 2. Типичная вершина шахматной решётки.

Вершинные модели. На шахматной доске в центрах белых граней (подрешётка А) расположены спины 1119929-181.jpg, в центрах чёрных граней (подрешётка В) - спины 1119929-182.jpg. Взаимодействуют спины четырёх граней, сходящихся в одной точке - вершине (рис. 2). Каждой конфигурации спинов на гранях с вершиной V приписывается гиббсовский статистич. вес1119929-183.jpg , наз. вершинным статистич. весом (BCB). Статистич. вес 1119929-184.jpg заданной конфигурации спинов 1119929-185.jpg на решётке равен произведению BCB всех вершин. Предполагается, что BCB не меняется при независимых перестановках аргументов 1119929-186.jpg и 1119929-187.jpg. Если BCB не зависят от переменных 1119929-188.jpg, модель относится к описанным ранее моделям с парным взаимодействием, т. к. на подрешётке А спины1119929-189.jpg являются ближайшими. Если BCB 1119929-190.jpg представимы в виде произведения ПСВ 1119929-191.jpg и 1119929-192.jpg , то система спинов 1119929-193.jpg распадается на две невзаимодействующие подсистемы с парным взаимодействием.

Восьмивершинная модель (8 V-модель). Спины 1119929-194.jpg принимают значения b1. Энергия взаимодействия спинов в вершине инвариантна относительно группы 1119929-195.jpg:1119929-196.jpg

Симметрией 8 V-модели обладает атомарный водород, адсорбированный на поверхности вольфрама.

Рёберное представление 8 V-Mодели. На рёбрах шахматной решётки вводят переменные 1119929-197.jpg (l=номер ребра). Знак переменной изображается направлением стрелки на ребре: если 1119929-198.jpg , то при движении в направлении стрелки чёрное поле должно оставаться справа, а при 1119929-199.jpg=-1 -слева (рис. 3). Переменную 1119929-200.jpg связывают с переменными 1119929-201.jpg на гранях i и а, разделённых ребром l: 1119929-202.jpg. Произведение 1119929-203.jpg по рёбрам, сходящимся в вершину V, равно единице. Восемь возможных конфигураций стрелок В вершине изображено на рис. 3. Случаи X и Y соответствуют разным типам вершин на шахматной доске, образующих подрешётки X и Y. Каждой конфигурации стрелок в вершине приписывают BCB: 1119929-205.jpg. BCB не изменяются при изменении ориентации всех стрелок в вершине (1119929-206.jpg -симметрия). BCB на решётках X и Y различны.

1119929-204.jpg

Рис. 3. Допустимые вершины 8 V-модели. На гранях указана одна из двух возможных спиновых конфигураций, другая получается из неё обращением всех знаков.

Обобщенная 8 V-Mодель. Рёберную модель можно рассматривать вне зависимости от её связи с 1119929-207.jpg -симметричной граневой моделью. В рамках этой модели можно описать модели Поттса, AT и модель Бакстера, если параметризовать BCB согласно табл. 2.

Табл. 2.

Номер вершины

1

2

3

4

5

6

7

S

BCB на подрешётке X

аеu

аеu

-u

-u

сеs

ce-s

d

d

BCB на подрешётке У

ае-u

ае-u

и

u

ce-s

ces

d

d

Модель Бакстера (симметричная 8 V-Mодель), u=s=0, модель имеет точное решение. Шестивершинная модель (6 V-модель, модель льда), частный случай 8 V-модели при d=0. Модель жёстких гексагонов (треугольный решёточный газ). Узлы треугольной решётки заняты частицами или свободны. Вес занятого узла равен z, вес свободного узла равен 1. Соседние узлы не могут быть заняты одновременно. Переменная 1119929-208.jpg описывает занятый узел 1119929-209.jpg или вакансию 1119929-210.jpg . Модель можно сформулировать как вершинную на квадратной решётке, для этого треугольная решётка (пунктирные линии) деформируется, как показано на рис. 4.

Обобщённая модель жёстких гексагонов (ЖГ) получается из предыдущей внесением в BCB дополнит. множителя 1119929-211.jpg , где L и М - новые параметры. Модель ЖГ имеет точное решение, если L, M и z связаны соотношением:

1119929-212.jpg

Модель жёстких гексагонов является предельным случаем ЖГ при 1119929-213.jpg и фиксиров. г.

Преобразования моделей. Можно установить соответствие между нек-рыми из описанных моделей с помощью дуальных преобразований (ДП). В самодуальных моделях ПСВ сохраняют свой вид при ДП, преобразуются только параметры взаимодействия, а ПСВ приобретают нормировочный множитель. В 8 V-модели можно произвести ДП для спинов на одной из подрешёток, зафиксировав их на другой. При таком частичном ДП 8 V-модель перейдёт в модель AT. При а=b 8 V-модель дуальна однородной и изотропной модели AT. Совершив ДП над оставшимися переменными (полное ДП), можно установить соответствие между двумя дуальными 8 V-моделями (переменные 1119929-214.jpg при полном ДП обмениваются подрешётками). Полное ДП модели AT состоит из двух последоват. частичных ДП: 1119929-215.jpg . Модель БВ дуальна дискретной модели Гаусса, если 1119929-216.jpg= 1.

Кулоновский решёточный газ. Низколежащие возбуждённые состояния систем с симметрией 0(2) (ХY-модель, модель БB) разделяются на спиновые волны и магн. вихри. Последние характеризуются целочисл. переменной 1119929-217.jpg , определяющей циркуляцию спинов вокруг грани с центром в 1119929-218.jpg. Числа 1119929-219.jpg наз. зарядами вихрей. После исключения спиновых волн задача сводится к вычислению статистич. суммы двумерной кулоновской нейтральной плазмы на решётке. Роль заряж. частиц играют вихри, их взаимодействие логарифмически зависит от расстояния.

1119929-220.jpg

Рис. 4. Модель жестких гексагонов на квадратной решётке.

Модель случайных кластеров. Статистич. сумму модели Поттса можно представить графически, используя след. представление ПСВ:1119929-221.jpg1119929-222.jpg . На графе сопоставим 1 пустое ребро, а 1119929-223.jpg-заполненное (рис. 5). Кластером наз. совокупность узлов, соединённых заполненными ребрами. Изолиров. узел также считается кластером. Статистич. сумма q-компонентной модели Поттса представляется в виде 1119929-224.jpg , где k - число кластеров, а т - число заполненных рёбер в графе. Определив статистич. сумму графически, можно не считать q целым числом. Модель Поттса при q=1 связана с процессами протекания (см. Протекания теория), а при q=0- со статистикой длинных полимерных молекул без самопересечения. Модель случайных кластеров можно преобразовать в 6 V-модель.

Критические свойства двумерных систем. При достаточно низких темп-pax ср. значение параметра порядка (намагниченности) системы с дискретной абелевой группой симметрии отлично от нуля. При высоких темп-pax система находится в неупорядоч. состоянии. В системах с непрерывной группой симметрии намагниченность отсутствует во всём диапазоне температур. В модели БB различие между фазами выражается в поведении корреляторов на больших расстояниях. Ниже точки перехода (в т. н. мягкой фазе) они убывают по степенному закону, выше точки перехода убывание происходит экспоненциально. В мягкой фазе взаимодействие между пробными зарядами кулоновское (логарифмическое). После диссоциации вихревых молекул пробные заряды экранируются и взаимодействуют экспоненциально слабо. Изменение характера взаимодействия приводит к изменению зависимости коррелятора от расстояния.

В Zq-симметричных моделях при q>4 существует интервал температур (4 < 1119929-225.jpg< q2/4, где JЭФФ - эфф. постоянная взаимодействия), в к-ром симметрия восстанавливается. В этой фазе корреляторы убывают по степенному закону (мягкая фаза). На верх. границе интервала происходит описанный выше переход в кулоновском газе вихрей. Высокотемпературная фаза характеризуется полным беспорядком и экспоненц. спаданием корреляторов. При q<4 промежуточная (мягкая) фаза отсутствует. Фазовые диаграммы для q = 4 и q > 4 изображены на рис. 6.

Точное решение модели Изинга демонстрирует существование единств. фазового перехода 2-го рода в точке, где параметры 1119929-228.jpg связаны соотношением дуальности 1119929-229.jpg. В изотропной модели критич. значение 1119929-230.jpg, где знак 1119929-231.jpg соответствует ферромагнетику, а 1119929-232.jpg-антиферромагнетику. Для моделей Поттса при q>4 показано, что эквивалентная 6 V-модель имеет единств. точку фазового перехода при u=s =0. Параметры Kh и Kv в анизотропной модели связаны ДП1119929-233.jpg q. Считается, что то же соотношение определяет критич. точку при 1119929-234.jpg . При q > 4 переход происходит скачком (переход 1-го рода), а при 1119929-235.jpg-непрерывно (переход 2-го рода).


1119929-226.jpg

Рис. 5. Пример графа в кластерном разложении модели Поттса.

1119929-227.jpg

Рис. 6. Фазовые диаграммы модели Березинского - Виллэна с нарушенной симметрией (см. табл. 1). Утолщённый отрезок оси абсцисс соответствует мягкой фазе. При q>4 заштрихованная область между двумя жирными линиями соответствует мягкой фазе.

Свободная энергия модели Бакстера - аналитич. функция параметров а, b, с, d > 0, за исключением плоскостей

1119929-236.jpg

На этих плоскостях корреляц. радиус обращается в бесконечность. Параметр 1119929-237.jpg обращается в 1 на плоскостях (3) и только на них. Система находится в упорядоч. фазе при k2<1 и в неупорядоченной при k2>1.

1119929-238.jpg

Рис. 7. Фазовая диаграмма однородной и изотропной модели Ашкина - Теллера: а-листы критической поверхности пересекаются попарно вдоль отрезков PL1, PL2, PL3 с общей тройной точкой P, все три отрезка лежат в плоскости N1N2N3; б - сечение фазовой диаграммы плоскостью N1N2N3.

Фазовую диаграмму модели AT удобно представить в координатах 1119929-239.jpg ,1119929-240.jpg1119929-241.jpg, i=1, 2, 3 (рис. 7, а). Критич. поверхность состоит из 3 листов. Изотропная модель AT эквивалентна модели Бакстера с а=b при условии x1+x2+x3=1. В этой плоскости (рис. 7, б)отрезки 1119929-242.jpg состоят из критич. точек. Линия x2=x3 соответствует d=0 в модели Бакстера. Центр треугольника является критич. точкой 4-компонентной модели Поттса.

Фазовое пространство модели ЖГ в координатах L, M ограничено кривыми z(L, M)=0, где z выражается через L и M согласно ф-ле (2). Области z(L, М)<0, заштрихованные на рис. 8, нефизические. В оставшейся области значение параметра

1119929-243.jpg определяет, в какой фазе находится система. Границы фаз определяются условием 1119929-244.jpg , где 1119929-245.jpg1119929-246.jpg . Фазовая диаграмма симметрична относительно замены осей L и M. В фазах I, III, V плотность на подрешётках одинакова (жидкая фаза). В фазах II и VI частицы занимают преимущественно одну из трёх подрешёток (треугольный кристалл). В фазе IV занята одна из двух подрешёток (квадратный кристалл).

Критич. показатели. В модели БВ масштабная размерность параметра порядка 1119929-247.jpg в точке фазового перехода равна 1119929-248.jpg, что подтверждено при измерении в плёнках 4He отношения сверхтекучей плотности к температуре перехода, равного универс. постоянной 1119929-251.jpg , где т - масса атома 4He. Связь критических показателей с параметрами взаимодействия установлена точно для модели Бакстера, модели AT, модели Поттса при 1119929-252.jpg, а также для модели ЖГ (табл. 3).

1119929-249.jpg

Рис. 8. Фазовая диаграмма точно решаемой обобщённой модели жёстких гексагонов.

1119929-250.jpg

Литература по двумерным решёточным моделям

  1. Паташинский А. 3., Покровский В. Л., Флуктуационная теория фазовых переходов, 2 изд., M., 1982;
  2. Бакстер Р., Точно решаемые модели в статистической механике, пер. с англ., M., 1985,
  3. Wu F. Y., The Potts model, "Revs. Mod. Phys.", 1982, v. 54, p. 235.

С. В. Покровский

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 03.12.2019 - 22:04: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Марины Мелиховой - Карим_Хайдаров.
03.12.2019 - 11:12: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Ю.Ю. Болдырева - Карим_Хайдаров.
30.11.2019 - 19:55: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Theorizing and Mathematical Design -> ФУТУРОЛОГИЯ - прогнозы на будущее - Карим_Хайдаров.
30.11.2019 - 18:13: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
29.11.2019 - 08:14: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Декларация Академической Свободы - Карим_Хайдаров.
27.11.2019 - 08:31: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> КОМПЬЮТЕРНО-СЕТЕВАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
27.11.2019 - 08:30: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
27.11.2019 - 08:27: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА - Карим_Хайдаров.
23.11.2019 - 12:17: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
19.11.2019 - 09:07: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Андрея Маклакова - Карим_Хайдаров.
18.11.2019 - 19:10: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution