Моделирование СМО   ОКМ   ДМ   экономическая информатика   визуальные среды - 4GL   Теория и практика обработки информации

Основы математического аппарата анализа простейших СМО

Рассмотрим стационарный поток однородных заявок без последействия. Пусть Pk(t) вероятность появления k заявок в интервале времени t. Эта вероятность зависит только от и не зависит от начала отсчета времени, от поступления заявок в предыдущих временных интервалах. Пусть к тому же поток является ординарным, т. е. Pk(dt) при k >1 бесконечно мала в сравнении с малым интервалом dt. Если обозначить через число заявок в единицу времени (интенсивность потока), то можно показать, что для такого простейшего потока


Формула (1) определяет распределение Пуассона. Для пуассоновского потока можно обнаружить, что промежутки времени T между поступлениями заявок распределены по экспоненциальному (показательному) закону


(вероятность, что промежуток времени не превышает t).

Естественно, что входной поток может описываться не только пуассоновским, но и другими распределениями (Эрланга, гиперэкспоненциальным и т.п.).

Аналогичная ситуация имеет место и для выходного потока. Чаще всего используется показательный закон распределения времени обслуживания:


где m =1/tобс - интенсивность обслуживания (среднее число обслуживаний в единицу времени), tобс - среднее время обслуживания одной заявки.

Пусть S - множество состояний системы и P(l, t+t / i, t) - вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии i, в момент t+t окажется в состоянии l. Для марковской системы (она привлекает нас отсутствием последействия) можно записать уравнения Чепмена-Колмогорова:


Если под состояниями понимать число заявок, то эти уравнения можно записать в виде:


Рассмотрим случай разомкнутой системы с простейшим входным потоком интенсивности l и одним каналом обслуживания с интенсивностью m.

Возьмем интервал времени [t, t+dt]. В силу разомкнутости системы множество состояний системы

S = { S0, S1, S2, . . ., Sk, Sk+1, . . . },
где Sk - состояние, когда в системе находится k заявок

Попробуем оценить вероятности перехода между состояниями с учетом, того, что вероятность появления заявки в этом интервале времени равна l dt и вероятность завершения обслуживания предшествующей заявки равна m dt .

Очевидно, что вероятность перехода S0ЮS1 равна l dt и вероятность перехода S1ЮS0 равна 1 - l dt. Если в системе присутствовали k>0 заявок (состояние Sk), то для перехода в состояние Sk-1 необходимо, чтобы заявка была обслужена и не поступило новой заявки; отсюда вероятность перехода SkЮSk-1 равна
m dt (1 - l dt) @ m dt. Для перехода из состояния Sk в состояние Sk+1 необходимо, чтобы поступила новая заявка, но ни одна из ранее поступивших не была обслужена: вероятность перехода SkЮSk+1 равна
l dt(1-mdt) @ l dt. Вероятность для системы остаться в том же состоянии составит 1 - (l+m)dt.

Тогда из (5) имеем

При dtЮ0 получаем дифференциальные уравнения состояний СМО:



Решение (6) при заданных начальных условиях достаточно сложно (здесь можно использовать преобразование Лапласа или численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений большого порядка, но едва ли это посильно непрофессионалу).

Ограничимся рассмотрением установившегося режима, признаком которого является существование предела


В этом случае (6) приведется к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов

lP0 = mP1



Обозначив


имеем
P1=rP0, P2=r2P0, P3=r3P0, P4=r4P0, ..., Pk=rkP0, ... ,
откуда с учетом
P0 + P1 + P2 + P3 + ... + Pk+ ... = 1
получаем при r < 1

Тогда


и



Обратите внимание на требование r < 1. Если это требование нарушено, то ни о каком установившемся режиме не может быть речи: очередь растет неограниченно (средняя продолжительность обслуживания больше среднего интервала времени между заявками).

Теперь обратимся к аналогичной замкнутой системе с числом заявок, не превышающим n. Здесь система уравнений (6) приведется к конечной системе




которая для установившегося режима дает конечную систему линейных алгебраических уравнений



Решение этой системы

дает



и



Полученные выше решения можно обобщить на случай многоканальных систем c ограниченным ожиданием. Так, если СМО имеет N однотипных каналов обслуживания (интенсивность обслуживания равна Nm), m мест в очереди и к тому же число n возможных заявок превышает N+m (в противном случае нет проблем), то возникает система

из которой получаем для установившегося режима



Решение этой системы дает





Умение найти значения Pk дает возможность отыскать и ряд основных характеристик СМО.

Моделирование СМО   ОКМ   ДМ   экономическая информатика   визуальные среды - 4GL   Теория и практика обработки информации

Знаете ли Вы, что алгоритм - это набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий. В старой трактовке вместо слова "порядок" использовалось слово "последовательность", но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово "последовательность" стали заменять более общим словом "порядок". Это связано с тем, что работа каких-то инструкций алгоритма может быть зависима от других инструкций или результатов их работы. Таким образом, некоторые инструкции должны выполняться строго после завершения работы инструкций, от которых они зависят. Независимые инструкции или инструкции, ставшие независимыми из-за завершения работы инструкций, от которых они зависят, могут выполняться в произвольном порядке, параллельно или одновременно, если это позволяют используемые процессор и операционная система.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution