Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем* на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния $S_i$ в $S_j$ происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями $\lambda_{ij}\,(i,j=0,1,2,3)$ ; так, переход системы из состояния $S_0$ в $S_1$ будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния $S_1$ в $S_0$ — под воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система $S$ имеет четыре возможных состояния: $S_0,\,S_1,\,S_2,\,S_3$ .

Вероятностью i-го состояния называется вероятность $p_i(t)$ того, что в момент $t$ система будет находиться в состоянии $S_i$ . Очевидно, что для любого момента $t$ сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в момент $t$ и, задав малый промежуток $\Delta t$ , найдем вероятность $p_0(t+\Delta t)$ того, что система в момент $t+\Delta t$ будет находиться в состоянии $S_0$ . Это достигается разными способами.

1. Система в момент $t$ с вероятностью $p_0(t)$ находилась в состоянии $S_0$ , а за время $\Delta t$ не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью $(\lambda_{01}+\lambda_{02})$ , т.е. в соответствии с формулой (7), с вероятностью, приближенно равной $(\lambda_{01}+\lambda_{02})\Delta t$ . А вероятность того, что система не выйдет из состояния $S_0$ , равна $[1-(\lambda_{01}+\lambda_{02})\Delta t]$ . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии $S_0$ по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии $S_0$ и не выйдет из него за время $\Delta t$ ), равна по теореме умножения вероятностей:

2. Система в момент $t$ с вероятностями $p_1(t)$ (или $p_2(t)$ ) находилась в состоянии $S_1$ или $S_2$ и за время $\Delta t$ перешла в состояние $S_0$ .

Потоком интенсивностью $\lambda_{10}$ (или $\lambda_{20}$ — с- рис. 1) система перейдет в состояние $S_0$ с вероятностью, приближенно равной $\lambda_{10}\Delta t$ (или $\lambda_{20}\Delta t$ ). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии $S_0$ по этому способу, равна $\p_1(t)\lambda_{10}\Delta t$ (или $\p_2(t)\lambda_{20}\Delta t$ ).

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

$p_0(t+\Delta t)= p_1(t)\lambda_{10}\Delta t+ p_2(t)\lambda_{20}\Delta t+p_0(t)[1- (\lambda_{01}+\lambda_{02})\Delta t],$

$\frac{p_0(t+\Delta t)-p_0(t)}{\Delta t}= p_1(t)\lambda_{10}+ p_2(t)\lambda_{20}-(\lambda_{01}+\lambda_{02})p_0(t).$

Переходя к пределу при $\Delta t\to0$ (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную $p'_0(t)$ (обозначим ее для простоты $p'_0$ ):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы $S$ , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

$\begin{cases} p'_0=\lambda_{10}p_1+\lambda_{20}p_2-(\lambda_{01}+\lambda_{02})p_0,\\[2pt] p'_1=\lambda_{01}p_0+\lambda_{31}p_3-(\lambda_{10}+\lambda_{13})p_1,\\[2pt] p'_2=\lambda_{02}p_0+\lambda_{32}p_3-(\lambda_{20}+\lambda_{23})p_2,\\[2pt] p'_3=\lambda_{13}p_1+\lambda_{23}p_2-(\lambda_{31}+\lambda_{32})p_3. \end{cases}$

(9)

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент $t=0$ . Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии $S_0$ , т.е. при начальных условиях $p_0(0)=1,$ $p_1(0)=p_2(0)=p_3(0)=0$ .

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы $p_i(t)$ в предельном стационарном режиме, т.е. при $t\to\infty$ , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния $S_i$ имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния $S_0$ , т.е. $p_0=0,\!5$ , то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии $S_0$ .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы $S$ с графом состояний, изображенном на рис. 1), такая система уравнений имеет вид:

$\begin{cases}(\lambda_{01}+\lambda_{02})p_0= \lambda_{10}p_1+\lambda_{20}p_2,\\[2pt] (\lambda_{10}+\lambda_{13})p_1= \lambda_{01}p_0+\lambda_{31}p_3,\\[2pt] (\lambda_{20}+\lambda_{23})p_2= \lambda_{02}p_0+\lambda_{32}p_3,\\[2pt] (\lambda_{31}+\lambda_{32})p_3= \lambda_{13}p_1+\lambda_{23}p_2. \end{cases}$

(10)

Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния $p_i$ , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 2. Найти предельные вероятности для системы $S$ из примера 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при

$\lambda_{01}=1,\quad \lambda_{02}=2,\quad \lambda_{10}=2,\quad \lambda_{13}=2,\quad \lambda_{20}=3,\quad \lambda_{23}=1,\quad \lambda_{31}=3,\quad \lambda_{32}=2.$

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или

$\begin{cases}3p_0=2p_1+3p_2,\\ 4p_1=p_0+3p_3,\\ 4p_2=2p_0+2p_3,\\ p_0+p_1+p_2+p_3=1.\end{cases}$

(11)

Решив систему (11), получим $p_0=0,\!4,~p_1=0,\,2,~p_2=0,\!27,~p_3=0,\!13$ , т.е. в предельном, стационарном режиме система $S$ в среднем 40% времени будет находиться в состоянии $S_0$ (оба узла исправны), 20% — в состоянии $S_1$ (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии $S_2$ (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии $S_3$ (оба узла ремонтируются)

Пример 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы $S$ в условиях примеров 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из примера 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную $p_0+p_3=0,\!4+0,\!27=0,\!67$ , а второй узел — $p_0+p_1=0,\!4+0,\!2=0,\!6$ . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную $p_1+p_3=0,\!2+0,\!13=0,\!33$ , а второй узел — $p_2+p_3=0,\!27+0,\!13=0,\!4$ . Поэтому средний чистый доход $\overline{D}$ в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6)'будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока "окончаний ремонтов" каждого узла, т.е. теперь $\lambda_{10}=4,$ $\lambda_{20}=6,$ $\lambda_{31}=6,$ $\lambda_{32}=4$ и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы $S$ , вместе с нормировочным условием (8) примет вид:

$\begin{cases}3p_0=4p_1+6p_2,\\ 6p_1=p_0+6p_3,\\ 7p_2=2p_0+4p_3,\\ p_0+p_1+p_2+p_3=1.\end{cases}$

Учитывая, что $p_0+p_2=0,\!8,~p_0+p_1=0,\!75,~p_1+p_3=0,!2,~p_2+p_3=0,\!25$ , а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход $\overline{D}_1$ в единицу времени:

Так как $\overline{D}_1$ больше $\overline{D}$ (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы $S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k$ . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния $S_k$ возможны переходы только либо в состояние $S_{k-1}$ , либо в состояние $S_{k+1}$ .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями $\lambda_{k,k+1}$ или $\lambda_{k+1,k}$ .

По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния $S_0$

для состояния $S_1$ имеем $(\lambda_{12}+\lambda_{10})p_1=\lambda_{01}p_0+ \lambda_{21}p_2$ , которое с учетом (12) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

$\begin{cases}\lambda_{01}\cdot p_0=\lambda_{10}\cdot p_1,\\ \lambda_{12}\cdot p_1=\lambda_{21}\cdot p_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \lambda_{k-1,k}\cdot p_{k-1}=\lambda_{k,k+1}\cdot p_k,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \lambda_{n-1,n}\cdot p_{n-1}=\lambda_{n,n+1}\cdot p_n.\end{cases}$

(14)

При анализе численности популяций считают, что состояние $S_k$ соответствует численности популяции, равной $k$ , и переход системы из состояния $S_k$ в состояние $S_{k+1}$ происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние $S_{k-1}$ - при гибели одного члена популяции.

$p_0={\left(1+ \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{10}}+ \frac{\lambda_{12}\lambda_{01}}{\lambda_{21}\lambda_{10}}+\ldots+ \frac{\lambda_{n-1,n}\cdots\lambda_{12}\lambda_{01}}{\lambda{n,n-1}\cdots\lambda_{21}\lambda_{10}}\right)\!}^{-1},$

(16)

$p_1=\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{10}}p_0,\quad p_2=\frac{\lambda_{12}\lambda_{01}}{\lambda_{21}\lambda_{10}}p_0,\quad ,\ldots,\quad p_n=\frac{\lambda_{n-1,n}\cdots\lambda_{12}\lambda_{01}}{\lambda{n,n-1}\cdots\lambda_{21}\lambda_{10}}p_0.$

(17)

Легко заметить, что в формулах (17) для $p_1,p_2,\ldots,p_n$ коэффициенты при $p_0$ есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния $S_k\,(k=1,2,\ldots,n)$ , а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния $S_k$ .

Пример 4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний.

$p_0={\left(1+\frac{1}{4}+\frac{2\cdot1}{3\cdot4}\right)\!}^{-1}= 0,\!706,$ по (17) $p_1=\frac{1}{4}\cdot0,\!706= 0,\!176,~ p_2=\frac{2\cdot1}{3\cdot4}\cdot 0,\!706=0,\!118,$

Знаете ли Вы, что экономико-математическое моделирование - это концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей поведения управляемой системы в математической форме (В.С. Немчинов).