Диффузии уравнение - дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее
процесс диффузии в случае, когда перенос вещества вызван лишь градиентом
его концентрации (в отличие от термодиффузии и т. п.). Д. у. чаще всего
записывают в виде
где и(x, t) - концентрация
вещества в точке
среды в момент времени
t, D - коэф. диффузии, q - коэф. поглощения, a F - интенсивность
источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями
x и t, а также могут зависеть от концентрации и(x, t). B
последнем случае ур-ние (1) становится нелинейным. В анизотропной среде коэфф.
диффузии D является тензорным полем.
Наиб. полно исследовано
линейное Д. у., когда коэф. диффузии D и поглощения q - пост.
величины. В этом случае ур-ние (1) является ур-нием параболич. типа, для к-poro
в матем. физике разработаны разл. методы решения: метод разделения переменных,
метод источников или функций Грина (см. также Винеровский функциональный
интеграл), метод интегр. преобразований и т. д. Для выделения единств. решения
линейного ур-ния (1) необходимо также задать нач. и граничные условия (если
диффундирующее вещество заполняет конечный объём V, огранич. боковой
поверхностью S). Обычно рассматривают след. линейные граничные
условия для Д. у.: 1) на границе S поддерживается заданное распределение
вещества u0(x, t):
на S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через S:
где
- внутр. нормаль к поверхности S; 3) S полупроницаема, и диффузия
во внеш. среду с заданной концентрацией и0(x, t)через S происходит по линейному закону
Простейшее Д. у.
с нач. условием
имеет решение вида
фундам. решение Д. у. (2).
Методы решения Д. у. с
перем. коэф. диффузии менее развиты. В нек-рых частных случаях, напр. если D зависит только от концентрации и, можно аналитически найти точные
решения Д. у. с перем. D.
Нелинейные матем. модели
диффузии и теплопроводности (ур-ние и граничные условия) условно делят на след.
классы: 1) от концентрации и зависят D или q (нелинейность
1-го рода); 2) нелинейность содержится в граничных условиях (нелинейность 2-го
рода); 3) нелинейность возникает вследствие зависимости мощностей внутр. источников
F от концентрации и (нелинейность
3-го рода, см. Диссипативные структуры).
Одномерные нелинейные Д.
у. можно решить разл. приближёнными аналитич. методами. Двухмерные и трёхмерные
нелинейные Д. у. при сложной конфигурации границ области и сложных законах изменения
характеристик среды, внеш. и внутр. источников вещества, перем. границ области,
где происходит диффузия, поддаются решению только числ. методами с применением
ЭВМ. С матем. точки зрения Д. у., являясь частным случаем дифференц. ур-ния,
описывающего процесс установления равновесного распределения, совпадает с ур-нием
теплопроводности и аналогично Навъе - Стокса уравнению для ламинарного
потока несжимаемой жидкости и т. д.
С. Я. Азаков