Гельмгольца уравнение - дифференциальное уравнение 
, где D - Лапласа оператор, 
- постоянная; при 
уравнение Гельмгольца переходит в Лапласа уравнение .
Уравнение Гельмгольца можно получить из волнового
уравнения, если зависимость от времени описывается функцией 
,
в этом случае 
(с - скорость распространения волн). Названо по имени Германа Гельмгольца (H. Helmholtz),
изучавшего это уравнение в 1860.
Для уравнения Гельмгольца в ограниченной области рассматривают обычные краевые задачи (Дирихле, Неймана и др.). Значения
, для к-рых существует
отличное от нуля решение однородного уравнения Гельмгольца, наз. собственными значениями оператора
Лапласа. Для таких значений 
решение краевой задачи не единственно. При помощи функции Грина краевую задачу
можно свести к интегральному ур-нию. В случае неограниченной области убывающее
на бесконечности решение уравнения Гельмгольца не является единственным при 
. В этом случае для выделения единств. решения ставят дополнит. условия (см.
Зоммерфельда условия излучения).
В. И. Алхимов
|
|
 |
