Гаусса принцип (принцип наименьшего принуждения) - вариационный принцип
механики, устанавливающий одно из общих свойств движения механич. системы
с любыми (голономными и неголономными) идеальными связями (см. Связи механические). Сформулирован К. Ф. Гауссом в 1829. Выражаемое Г. п. свойство движения связано
с понятием о т. н. "принуждении" системы, вводимом след. образом. Если рассмотреть
свободную материальную точку массой т, то она под действием заданной
силы F совершит за промежуток времени
из положения А перемещение, определяемое с точностью до малых 3-го порядка
вектором:
где -
скорость точки в положении А,
- ускорение, сообщаемое силой.
При наличии связей та же
точка под действием той же силы
и реакции связи
получит какое-то др. ускорение
(часть ускорения, равная ,
будет точкой "потеряна")
и совершит за время
из того же положения А и при той же нач. скорости
др. перемещение:
Разность
определяет вызванное действием связи отклонение точки от направления свободного
движения, пропорциональное потерянному ускорению .
Величина Z, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты
их потерянных ускорений, и наз., по Гауссу, "принуждением" системы:
Г. п. устанавливает, что
при идеальных удерживающих связях из всех кинематически возможных (допускаемых
связями) движений, к-рые система может иметь, начиная перемещение из данной
конфигурации с данными нач. скоростями, истинным будет то движение, для к-рого
Z в каждый момент времени минимально. Напр., для частицы, движущейся
вдоль наклонной плоскости под действием силы тяжести из положения А при
v0=0 (рис.), свободным будет пере мещение AB по
вертикали, а кинематически возможным при данной связи - любое из перемещений
AC0, AC1, AC2, . . . вдоль наклонной
плоскости. Следовательно, "принуждение" Z для частицы пропорционально
квадрату величины BCi, к-рая, очевидно, будет наименьшей для
истинного перемещения AC0 (по линии наименьшего ската), что
и утверждает Г. п.
Математически Г. п. выражается
равенством Z=0, в к-ром варьируются только ускорения точек системы; при этом предполагается,
что силы от ускорения не зависят. Тогда из (1) можно получить др. выражение
Г. п.: истинное движение механич. системы отличается от всех др. кинематически
возможных движений, начинающихся из той же конфигурации и с теми же нач. скоростями,
тем, что только для истинного движения в каждый данный момент времени справедливо
равенство:
С помощью Г. п. можно получить
дифференц. ур-ния движения любой механич. системы с идеальными связями. В частности,
из него следует, что при отсутствии заданных сил точка будет двигаться вдоль
данной гладкой поверхности по кривой, имеющей наименьшую кривизну. Это указывает
на связь Г. п. с принципом прямейшего пути (см. Герца принцип).
С. M. Тарг