Вариационные принципы механики - положения, устанавливающие свойства, к-рыми истинное, т. е. фактически происходящее под действием заданных сил, движение (или состояние равновесия) механич. системы отличается от всех её кинематически возможных движений (состояний), и позволяющие получить в качестве следствия ур-ния движения или условия равновесия этой системы. Ряд вариационных принципов механики выражает эти свойства в виде, к-рый позволяет распространить принцип на др. области физики. Этим обусловливается важность вариационных принципов механики для всей теоретич. физики. Практич. ценность вариационных принципов механики заключается в том, что при применении их к решению задач механики из ур-ний движения или условий равновесия исключаются наперёд неизвестные реакции соответствующих связей.
Устанавливаемое вариационными принципами механики свойство движения сводится во многих случаях (но не всегда) к тому, что для
истинного движения системы нек-рая физ. величина, являющаяся функцией кинематич.
и динамич. характеристик этой системы, имеет экстремум (минимум или максимум).
При этом вариационные принципы механики могут отличаться друг от друга видом той физ. величины (той
функции), к-рая для истинного движения является экстремальной, а также особенностями
механич. систем и классами тех движений, для к-рых это экстремальное свойство
имеет место. По форме вариационные принципов механики можно разделить на дифференциальные, устанавливающие,
чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый
данный момент времени, и интегральные, устанавливающие это различие для перемещений,
совершаемых системой за конечный промежуток времени. В рамках механики дифференц.
принципы имеют более общий характер, т. к. они приложимы к системам с любыми
голономными и неголономными связями (см. Голономная система, Неголономная
система). Интегральные принципы в их наиб. компактной форме приложимы только
к голономным и даже только к консервативным системам. Однако выражение их через
энергию и инвариантность по отношению к преобразованиям координат системы делает
эти принципы приложимыми далеко за пределами классич. механики.
К осн. дифференц. вариационных принципов механики относятся: 1) возможных перемещений принцип, устанавливающий общее условие
равновесия механич. системы с идеальными связями, согласно к-рому положения
равновесия отличаются от всех др. положений системы тем, что только для положений
равновесия сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении
системы равна нулю; 2) Д-Аламбера - Лагранжа принцип, устанавливающий общее
свойство движения механич. системы с идеальными связями, согласно к-рому истинное
движение системы отличается от всех кинематически возможных тем, что только
для истинного движения сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции
на любом возможном перемещении системы равна в каждый момент времени нулю. Равенство,
выражающее этот принцип математически, наз. ещё общим ур-нием механики (см.
Динамика ).
К др. дифференц. вариационным принципам механики относятся Журдена принцип ,принцип
наименьшего принуждения (см. Гаусса принцип)и принцип наименьшей кривизны
(см. Герца принцип).
К интегральным вариационным принципам механики относятся т. н. принципы наименьшего, или стационарного, действия, согласно
к-рым для данного класса сравниваемых друг с другом движений истинным является
то, для к-рого физ. величина, наз. действием ,имеет за время перемещения
системы минимум (точнее, экстремум). Принцип наименьшего действия чаще всего
применяется в форме Гамильтона - Остроградского или Мопертюи - Лагранжа. В принципе
Гамильтона - Остроградского сравниваются движения, происходящие между двумя
данными конфигурациями системы за один и тот же промежуток времени, а под действием
в простейшем случае понимается определ. интеграл до времени от разности между
кияетич. и потенциальной энергиями системы. В принципе Мопертюи - Лагранжа сравниваются
движения консервативной системы между двумя данными её конфигурациями,
происходящие с одной и той же нач. кинетич. энергией, а под действием понимается
определ. интеграл по времени от удвоенной кинетич. энергии системы (подробнее
см. Наименьшего действия принцип).
Вариационные принципы механики применяются для составления ур-ний движения механич. системы и изучения общих свойств этих движений,
а также при соответствующем обобщении понятий в механике сплошных сред, в термодинамике,
электродинамике, квантовой механике, теории относительности и др.
С. M. Тарг
|
|
 |
