Гамильтона - Якоби уравнение. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Гамильтона - Якоби уравнение - дифференциальное ур-ние в частных производных 1-го порядка, описывающее движение голономных механич. систем под действием потенц. сил. Чтобы составить Г.- Я. у., необходимо для данной механич. системы знать Гамильтона функцию H(q_i, p_i, t), где q_i и р_i- - канонич. переменные: обобщённые координаты и обобщённые импульсы, a t - время. Тогда Г.- Я. у. будет иметь вид

где правая часть представляет собой выражение функции H, в к-ром все p_i заменены на

, a S - подлежащая определению функция координат q_i и времени t, представляющая собой действие по Гамильтону; иногда функцию S (q_i, t)наз. главной функцией Гамильтона.

В частном случае при движении одной материальной точки в силовом поле, определяемом силовой функцией U(x, у, z, t), Г.- Я. у. имеет вид

Г.- Я. у. непосредственно связано с Гамильтона уравнениями ,к-рые с матем. точки зрения являются для ур-ния (1) ур-ниями характеристик.

Чтобы с помощью Г.- Я. у. найти закон движения механич. системы, надо определить полный интеграл ур-ния (1), т. е. его решение, содержащее столько постоянных интегрирования, сколько в ур-нии независимых переменных. Этими переменными являются координаты q_i и время t; число их равно s+1, где s - число степеней свободы системы. Следовательно, полный интеграл ур-ния (1) должен содержать s+l постоянную, из к-рых одна, как аддитивная, может быть отброшена, и имеет вид

Если решение Г.- Я. у. в виде (2) будет найдено, то, составив s равенств

где

- новые произвольные постоянные, получим s алгебраических (недифференциальных) ур-ний, левые части к-рых содержат q_i,

и t и из к-рых можно определить q_i в виде

Значения др. группы канонич. переменных р_i находят из равенств

Ур-ния (4), выражающие q_i как функции t, и определяют положение механич. системы в любой момент времени, т. е. закон её движения. Входящие сюда постоянные

находят подстановкой начальных данных в равенства (4) и (5).

Если функция Гамильтона H явно не содержит время, что, в частности, имеет место для консервативных систем, то S можно искать в виде

где h - постоянная, равная полной энергии системы, a S₀ - величина, наз. укороченным действием (действием по Лагранжу) или характеристич. функцией и определяемая как полный интеграл ур-ния в частных производных

в виде

Тогда полный интеграл Г.- Я. у. будет

и закон движения системы определится в соответствии с (3) из равенств

Ур-ния (7), содержащие в данном случае только q_i, и не содержащие время t, определяют в многомерном пространстве траекторию точки, изображающей данную механич. систему, а ур-ние (8) даёт закон движения вдоль этой траектории. Значения постоянных

определяются и в этом случае подстановкой начальных данных в равенстве (5), (7) и (8).

Г.- Я. у. и связанный с ним метод решения задач механики играют важную роль и в др. областях физики, особенно в оптике и квантовой механике. В частности, известное в геом. оптике ур-ние эйконала подобно Г--Я. у. в виде (6), где S₀ играет роль эйконала. Этот результат позволяет рассматривать классич. механику как аналог геом. оптики, в к-ром роль поверхностей движущейся волны играют поверхности S₀(q_i)=const, а роль световых лучей - ортогональные к этим поверхностям траектории движения.

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.