имеет равномерное распределение в интервале 
, если ее плотность вероятности 
определяется так (рис. 3.9):Особое значение в статистическом моделировании имеет непрерывная равномерно распределенная случайная величина. Особая значимость этой случайной величины объясняется тем, что, во-первых, она сама по себе необходима для моделирования случайных процессов и величин и, во-вторых, случайные величины с другими законами распределения формируются на их основе.
Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение в интервале , если ее плотность вероятности определяется так (рис. 3.9):
Значения характеристик равномерного закона распределения:
;
.При моделировании часто используются случайные числа из
интервала 
. Непрерывная случайная величина равномерно распределена в интервале , если:
В этом случае 
.
Случайное число 
из интервала легко преобразуется в случайное число 
для интервала :
Применительно к двоичным дробям случайное число из
интервала представляет собой бесконечную дробь:
Очевидно, реализовать такую дробь в компьютере
невозможно, так как разрядная сетка компьютера ограничена. В
компьютере можно формировать дискретные последовательности случайных
чисел, которые не могут отличаться друг от друга только на величину
меньше 
( 
- число разрядов в сетке компьютера). То есть
непрерывного, "теоретического" распределения на компьютерах получить
нельзя. Если эти числа равновероятны, то такое распределение
случайных чисел называют квазиравномерным.
Заметим, что непрерывные случайные величины существуют только в теории. На практике все случайные величины дискретны и шаг дискретности равен наименьшей единице измерения.
Случайная величина 
, имеющая квазиравномерное распределение в интервале , принимает значения
с вероятностями 
.
Можно показать, что эта случайная величина имеет характеристики:
 |
(2^n-1)}) |
Современные компьютеры имеют разрядность не менее 32.
Следовательно, 
, а дисперсии тоже практически совпадают. Учитывая это, в
дальнейшем квазиравномерное распределение будем называть равномерным
и обозначать: 
.
Для формирования последовательности случайных чисел в компьютере может использоваться один из трех основных способов:
Аппаратный способ. При этом способе случайные
числа формируются специальным устройством. Источником случайных
чисел чаще всего являются шумы в электронных приборах. Временные
расстояния между шумовыми всплесками, превышающими подобранный
уровень ограничения, фиксируются как случайные числа из
распределения .
Преимущества такого способа:
Однако, такой датчик (генератор) случайных чисел имеет существенные недостатки, которые в настоящее время исключили его из инженерной практики:
Табличный способ. Случайные числа в виде таблицы (файла) помещаются в оперативную или внешнюю память компьютера. Эти числа формируются заранее или берутся из соответствующего справочника. Достоинствами такого способа являются:
Недостатки же очень существенны:
Алгоритмический способ. При этом способе случайные числа формируются с помощью специальных алгоритмов (формул) и реализующих их программ при каждом обращении моделирующего алгоритма за случайным числом. Достоинства способа:
Недостатки:
В настоящее время практически везде применяются алгоритмические датчики случайных чисел (ДСЧ). Создание высокопроизводительных компьютеров существенно снижает роль первого недостатка (затраты машинного времени). Второй недостаток устраняется использованием в одной модели нескольких ДСЧ.
Алгоритмические датчики не обеспечивают получение теоретически "чистой" случайности чисел, так как их формирование идет по формулам. Вследствие этого, рано или поздно последовательность случайных чисел станет повторяться или выродится. Последнее означает, что, начиная с некоторого числа, все последующие числа будут равны нулю.
Поэтому алгоритмические датчики называют датчиками псевдослучайных чисел. Современные датчики вырабатывают числа, псевдослучайность которых практически неощутима.
Качество алгоритмического датчика оценивается тем, насколько полно он удовлетворяет следующим требованиям:
Понимая, что алгоритмический ДСЧ выдает детерминированную, псевдослучайную последовательность квазиравномерно распределенных случайных чисел, в дальнейшем будем называть его датчиком случайных равномерно распределенных чисел.
Исторически первым таким датчиком является датчик, в котором был реализован так называемый "способ срединных квадратов". Сущность способа заключается в следующем:
, например, 
;
: 
;
, то есть середина 
;
: 
;
и т. д.Такие ДСЧ теперь не используются: между числами имеется
сильная корреляция, случайность отсутствует, при неудачно выбранном
последовательность может быстро выродится, то есть 
при 
.
В настоящее время очень широкое распространение в практике моделирования получил мультипликативный метод формирования случайной последовательности:
где 
- произвольное нечетное число, неотрицательное;
- коэффициент, 
, 
- любое целое положительное число;
- значение модуля. Для реализации на компьютере удобно
, где 
- основание системы счисления (2 или 10), 
- число разрядов в случайном числе.
В этом случае взятие числа по модулю сводится к
выделению младших разрядов произведения 
.
Алгоритм мультипликативного метода
, например, 
. Пусть 
, тогда 
.
. Пусть система счисления десятичная ( 
), разрядность случайных чисел 
.
: 
.
: 
.
: 
.
и перейти к п. 4.Рассмотренный метод обеспечивает приемлемое качество случайных чисел в смысле равномерности распределения и их независимости, а также простой реализации на компьютере.
Применяется и немного более сложный алгоритм:
где 
- неотрицательное целое число.
Такой метод называется конгруэнтно-мультипликативным. При
удачном подборе дополнительного параметра корреляция
формируемых чисел может быть несколько уменьшена по сравнению с мультипликативным методом.
Боев В.Д., Сыпченко Р.П. Компьютерное моделирование
|
|
 |
