, Примером особенности первого вида - она названа складкой Уитни -
является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в
точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображениеВ 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу <Об отображениях плоскости на плоскость>, заложившую основу новой математической теории - теории особенностей гладких отображений.
Отображение поверхности на плоскость - это сопо-ставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами (xlt х2) на поверхности, а точка плоскости координатами (yv у2) на плоскости, то отображение задается парой функций г/х = = /? хг), у2 = /2 (#1, х2). Отображение называется глад-кии, если эти функции гладкие (т. е. дифференцируемые достаточное число раз, например многочлены).
Отображения гладких поверхностей на плоскость ок-ружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностя-ми. Видимые контуры тел - это проекции ограничиваю-щих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.
Уитни заметил, что в случаях <общего положения> ) встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.
, Примером особенности первого вида - она названа складкой Уитни -
является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в
точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображение
Рис. 2. Сборка проектиро-вания поверхности на плос-кость
задается формулами у1 = х, у2 = х2. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего уди-вительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особен-ность, но практически никогда ее не замечаем.
Эта вторая особенность названа сборкой Уитни, и по-лучается она при проектировании на плоскость поверх-ности, изображенной на рис. 2. Эта поверхность задана формулой у1 - х + хгхг в пространстве с координа-тами (#!, хг, У?) и проектируется на горизонтальную плоскость (х2, г/х).
Таким образом, отображение задается в локальных координатах формулами уг - х + ^А> у2 = жа.
На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части; меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проекти-руется три точки поверхности), точки большей части - лишь но одному, точки кривой - по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сли-ваются и исчезают (в этом месте особенность - складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза.
Уитни доказал, что сборка устойчива, т. е. всякое близкое отображение имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность (т. е. такую особенность, что продеформированное отображение в подходящих коор-динатах в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими записывалось исходное отоб-ражение в окрестности исходной точки). Уитни также доказалг что всякая особенность гладкого отображения поверхности на плоскость после подходящего малого ше-веления рассыпается на складки и сборки.
Рис. 3. Видимый контур тора
 |
бы тор был прозрачным, мы увидели бы видимый контур, изображенный на рис. 4: соответствующее отображение тора на плоскость имеет четыре сборки. Таким образом, концы линии видимого контура на рис. 3 - это точки возврата, в этих точках линия видимого контура имеет полукубическую особенность>
 |
Тем самым мы получаем убедительное экспериментальное подтверждение теоремы Уитни.
После основополагающей работы Уитни теория осо-бенностей бурно развивалась, и сейчас это одна из цент-ральных областей математики, в которой перекрещи-ваются пути, связывающие самые абстрактные разделы математики (дифференциальную и алгебраическую геомет-рию и топологию, теорию групп, порожденных отраже-ниями, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств и т. д.) с самыми прикладными (теория устой-чивости движения динамических систем, теория бифур-каций положений равновесия, геометрическая и волно-вая оптика и т. д.). К. Зиман предложил называть сово-купность теории особенностей и ее приложений теорией катастроф.
|
|
 |
