Теория особенностей Уитни

В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу <Об отображениях плоскости на плоскость>, заложившую основу новой математической теории - теории особенностей гладких отображений.

Отображение поверхности на плоскость - это сопо-ставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами (xlt х2) на поверхности, а точка плоскости координатами (yv у2) на плоскости, то отображение задается парой функций г/х = = /? хг), у2 = /2 (#1, х2). Отображение называется глад-кии, если эти функции гладкие (т. е. дифференцируемые достаточное число раз, например многочлены).

Отображения гладких поверхностей на плоскость ок-ружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностя-ми. Видимые контуры тел - это проекции ограничиваю-щих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.

Уитни заметил, что в случаях <общего положения> ) встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

, Примером особенности первого вида - она названа складкой Уитни - является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображение

Рис. 2. Сборка проектиро-вания поверхности на плос-кость

задается формулами у1 = х, у2 = х2. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего уди-вительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особен-ность, но практически никогда ее не замечаем.

Эта вторая особенность названа сборкой Уитни, и по-лучается она при проектировании на плоскость поверх-ности, изображенной на рис. 2. Эта поверхность задана формулой у1 - х + хгхг в пространстве с координа-тами (#!, хг, У?) и проектируется на горизонтальную плоскость (х2, г/х).

Таким образом, отображение задается в локальных координатах формулами уг - х + ^А> у2 = жа.

На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части; меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проекти-руется три точки поверхности), точки большей части - лишь но одному, точки кривой - по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сли-ваются и исчезают (в этом месте особенность - складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза.

Уитни доказал, что сборка устойчива, т. е. всякое близкое отображение имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность (т. е. такую особенность, что продеформированное отображение в подходящих коор-динатах в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими записывалось исходное отоб-ражение в окрестности исходной точки). Уитни также доказалг что всякая особенность гладкого отображения поверхности на плоскость после подходящего малого ше-веления рассыпается на складки и сборки.

бы тор был прозрачным, мы увидели бы видимый контур, изображенный на рис. 4: соответствующее отображение тора на плоскость имеет четыре сборки. Таким образом, концы линии видимого контура на рис. 3 - это точки возврата, в этих точках линия видимого контура имеет полукубическую особенность>

Тем самым мы получаем убедительное экспериментальное подтверждение теоремы Уитни.

После основополагающей работы Уитни теория осо-бенностей бурно развивалась, и сейчас это одна из цент-ральных областей математики, в которой перекрещи-ваются пути, связывающие самые абстрактные разделы математики (дифференциальную и алгебраическую геомет-рию и топологию, теорию групп, порожденных отраже-ниями, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств и т. д.) с самыми прикладными (теория устой-чивости движения динамических систем, теория бифур-каций положений равновесия, геометрическая и волно-вая оптика и т. д.). К. Зиман предложил называть сово-купность теории особенностей и ее приложений теорией катастроф.

Знаете ли Вы, что оптимальнй план - это план, доставляющий максимум целевой функции, отражающей выбранный критерий эффективности функционирования объекта планирования при соблюдении требований, заданных в форме системы уравнений и неравенств. Оптимальный план не обязательно является наилучшим планом, подлежащим утверждению и последующему выполнению, поскольку учитывает только те условия хозяйственной деятельности, которые удалось описать в математической форме. Во многих случаях процесс планирования требует использования информации, содержащейся во множестве разнообразных оптимальных планов.