Принцип квазирегулярности

Как показывает практика, метод динамики средних вполне приемлем и для немарковских процессов, то есть для произвольных распределений времен нахождения элементов в состояниях

Хотя в этих случаях мы формально не имеем право написать уравнения динамики средних, однако массовость явления делает вид распределения не очень существенным. Следовательно, при моделировании не следует тратить время на проверку марковости процесса. Чем больше элементов в системе, чем она сложнее, тем точнее она моделируется методом динамики средних.

При большом числе элементов также становится не очень существенным требование однородности элементов.

Теперь попробуем разобраться с требованием, которое мы также ввели ранее - требование независимости элементов.

Применяя метод динамики средних, мы можем встретиться с очень серьезной трудностью. Дело в том, что интенсивности потоков событий, переводящих элементы из одного состояния в другое, могут зависеть от численности состояний. Например, в примере 2.6 интенсивность

зависит от того, сколько в данный момент времени находится СС в состоянии

: СС может либо сразу ремонтироваться, либо ожидать очереди ввиду занятости рабочих мест. Численности состояний случайны, следовательно, интенсивности потоков событий тоже случайны и неизвестны. Точное решение в таких ситуациях невозможно, однако вполне приемлемое

для практики решение находится с помощью допущения, которое называют "принцип квазирегулярности". Принцип квазирегулярности состоит в следующем: интенсивности

зависят не от мгновенных значений численности состояний

, а от их средних значений (математических ожиданий)

Погрешность от этого допущения при моделировании тем меньше, чем ближе к линейной зависимости

и чем больше общее количество элементов

На практике проверено, что при

точность моделирования приемлема для инженерных "прикидок", если же функции

близки к линейным, то приемлемые результаты получаются и при

Пример 2.9. Каждый автомат, находящийся на вооружении в воинской части, может находиться в исправном состоянии или ремонтироваться в мастерской части. Если бы каждый неисправный автомат сразу попадал к свободному мастеру, то никаких очередей из автоматов, ожидающих ремонта, не было, и граф состояний автомата имел бы вид, приведенный на рис. 2.17.

- интенсивность ремонта автомата одним мастером.

В этом случае

были бы постоянными величинами и, естественно, не зависели от численности состояний. Уравнения динамики средних имели бы вид:

так как мы полагаем, что процессы наработки на отказ и ремонта - марковские и стационарный режим существует.

- общее число автоматов в части.

Уравнение для состояния

не пишем, так как оно линейно зависит от первого.

А теперь предположим, что в мастерской части два мастера и неисправные автоматы могут ожидать ремонта. В этом случае интенсивность переходов из неисправного состояние в исправное зависит от числа автоматов, находящихся в мастерской. Обозначим эту интенсивность

. Граф состояний имеет вид (рис. 2.18).

Общую интенсивность ремонта мастерской обозначим

). График ее показан на рис. 2.19а.

При

интенсивность

максимальна, так как работают оба мастера. При дальнейшем увеличении

} интенсивность

возрастать не может. Очевидно, интенсивность ремонта, приходящаяся на один автомат, находящийся в мастерской:

Применим принцип квазирегулярности, то есть будем считать, что

зависит не от случайных численностей

, а от среднего значения (матожидания)

. Тогда:

Пример 2.10. Вернемся к задаче о пеленгации передатчиков противника. Поскольку целью ее решения являлось определение среднего числа запеленгованных передатчиков, то возможно применение метода динамики средних. Обозначим:

- интенсивность обнаружения частоты передатчика противника одним оператором;

- интенсивность потерь слежения запеленгованного передатчика противника;

- интенсивность обнаружения всеми операторами одного передатчика;

- число не захваченных частот передатчиков, находящихся в состоянии

Граф состояний одного передатчика приведен на рис. 2.20. Заменим, в соответствии с принципом квазирегулярности, случайную численность обнаруженных передатчиков

на среднее значение

и, учитывая наличие стационарности, запишем уравнение динамики средних:

Уравнения динамики средних могут быть нелинейными и, следовательно, решение будет не единственным. В таких случаях берется то решение, которое не противоречит смыслу задачи.

Для упрощения расчетов положим

. В этом случае уравнение принимает вид:

Его решение

передатчика (знак плюс перед корнем отбрасываем, так как в этом случае корень будет равен 13,7, что бессмысленно). Решение этого примера с помощью уравнений Колмогорова дает ответ

Расхождение в 2,5 % объясняется малочисленностью группировок

. Впрочем, полученный результат может быть вполне приемлемым.

Ссылки

Боев В.Д., Сыпченко Р.П. Компьютерное моделирование

Знаете ли Вы, что баланс в экономико-математическом моделировании - это уравнение или неравенство, устанавливающее соответствие между источниками ресурса и направлениями его использования. Уравнения используются, если имеющиеся источники ресурса должны быть использованы без остатка либо если наличие остатка влияет на экономический эффект (требует затрат на утилизацию либо может быть с выгодой продан на рынке). В противном случае балансы записываются в форме неравенств, согласно которым совокупное использование ресурса не превышает размера имеющихся его источников.