Курт Гёдель, Kurt Gödel
-
1906 - 1978, немецкий логик и математик, автор фундаментального открытия, показавшего ограниченность аксиоматического метода. Родился 28 апреля 1906 в немецко-чешском городе Брюнн, Моравия (ныне Брно, Чехия).
Его отец, австрийский немец Рудольф Гёдель, был владельцем крупнейшей текстильной фабрики в городе Брюнн (Брно). Мать Курта - Марианна Хандшу училась во Франции и получила гуманитарное образование.
Окончив школу в 1923 году, Курт поступил в Венский университет. Однако к тому времени он так и не решил, в какой области будет специализироваться, – в математике или теоретической физике. В университете он слушал лекции таких выдающихся профессоров математики, как Филипп Фуртвенглер, Ханс Хан, Вильгельм Виртингер, Карл Менгер и других. Особое влияние на юного Геделя оказали лекции Фуртвенглера, и он выбрал математику в качестве специализации. Тому было две причины: во-первых, Фуртвенглер был выдающимся математиком и преподавателем; во-вторых, он был парализован и читал лекции сидя на инвалидном кресле, в то время как его ассистент делал записи на доске. Это произвело на Геделя особенно сильное впечатление.
В 1929 Курт Гёдель защитил докторскую диссертацию по математике, в которой доказал полноту исчисления предикатов первой ступени. В этом же году умер отец Гёделя. У него был хороший бизнес, поэтому после его смерти семья осталась финансово обеспечена. После смерти мужа мать Гёделя купила большую квартиру в Вене, где поселилась с двумя сыновьями. В 1930 году Гёдель стал преподавать в Венском университете, где принадлежал к школе логического позитивизма до 1938 года. Он был одним из главных участников Венского кружка – философского объединения, где были разработаны основы логического позитивизма. Кружок сложился еще в 1922 году вокруг австрийского физика М. Шлика – профессора Венского университета Шлика, семинары которого вызвали интерес Геделя к логике.
В 1933-1938 - приват-доцент Венского университета. Приход к власти Гитлера в Германии поначалу мало повлиял на жизнь Геделя. Его никогда не интересовала политика. В 1934 году Гедель прочел курс лекций “О неразрешимых теоремах формальных математических систем” в Принстоне, США. Впоследствии тезисы этих лекций были опубликованы. По возвращении в Европу вследствие интенсивной интеллектуальной деятельности Курт Гёдель начал страдать нервным расстройством. Несмотря на проблемы со здоровьем, Гедель продолжал свои исследования, в которых доказывал согласованность аксиомы выбора с другими аксиомами теории набора. Однако вскоре его ждал новый удар. Он был связан с внезапным убийством профессора Шлика.
“Это происшествие, несомненно, послужило причиной серьезного нервного расстройства брата, что вызвало беспокойство матери. Вскоре после выздоровления его пригласили работать в США”, – писал его брат Рудольф.
В марте 1938 года Австрия была присоединена к Германии, но Гёделя это не интересовало. Он во второй раз побывал в Принстоне, где работал в Институте высших исследований (the Institute for Advanced Study), а вторую часть учебного года провел во Франции, где прочел курс лекций. После присоединения Австрии к Германии большинство ученых, носивших степень приват-доцента, стали получать жалование за лекции. Гедель такого жалования не получал, так как многие полагали, что он еврей. Это было неправдой, хотя у Геделя действительно было много друзей евреев.
Летом 1938 года Гедель отправился в Геттинген, где читал лекции о своих исследованиях в области теории набора. Осенью того же года он вернулся в Вену и женился на Адель Поркерт, с которой познакомился еще в 1927 году в одном из венских ночных клубов. Она была на шесть лет старше и разведена с первым мужем. Родители Геделя, и особенно его отец, всегда были против этой свадьбы.
Когда началась война, Гедель боялся, что его призовут в армию. Конечно, он был убежден, что слишком слаб здоровьем, чтобы служить, но если его по ошибке принимали за еврея, его также могли по ошибке принять за здорового человека. Он не хотел рисковать и после длительных переговоров о получении американской визы в 1940 году выехал в США вместе с женой.
Переехав в США, Гедель продолжил свою научную работу в области теории набора, которая имела огромное значение. Его шедевр “Согласованность аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории набора” (1940) стал классикой современной математики. В этой работе он доказал, что если аксиоматическая система теории набора, построенная по типу, предложенному Расселом и Уайтхедом в “Principia Mathematicа”, последовательна, то она останется таковой в случае если аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза будут добавлены к системе.
С 1953 и до конца жизни - профессор Принстонского института перспективных исследований. Умер Гедель в Принстоне 14 января 1978.
Науное значение трудов Гёделя
Диссертация Геделя была посвящена проблеме полноты. Полнота системы аксиом, служащих основанием какой-либо области математики, означает адекватность этой аксиоматики той области, которая с их помощью задается, т.е. означает возможность доказать истинность или ложность любого осмысленного утверждения, содержащего понятия рассматриваемой области математики. В 1930-м годам были получены некоторые результаты о полноте различных аксиоматических систем. Так, Гильберт построил искусственную систему, охватывающую часть арифметики, и доказал ее полноту и непротиворечивость. Гедель в своей диссертации доказал полноту исчисления предикатов первой ступени, и это дало надежду математикам на то, что им удастся доказать непротиворечивость и полноту всей математики. Однако уже в 1931 тот же Гедель доказал теорему о неполноте, нанесшую сокрушительный удар по этим надеждам. Согласно этой теореме, любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел обречена на неполноту. Элементарная теория чисел - это раздел математики, занимающийся сложением и умножением целых чисел, и, как показал Гедель, при любых осмысленных и практически применимых системах доказательств некоторые истины даже в такой весьма скромной области математики останутся недоказуемыми. Как следствие он получил, что внутренняя непротиворечивость любой математической теории не может быть доказана иначе, как с помощью обращения к другой теории, использующей более сильные допущения, а значит, менее надежной. Методы, использованные Геделем при доказательстве теоремы о неполноте, сыграли в дальнейшем важную роль в теории вычислительных машин. Гедель внес важный вклад в теорию множеств. Два принципа - аксиома выбора и континуум-гипотеза - на протяжении десятилетий не поддавались доказательству, но интерес к ним не ослабевал: слишком привлекательны были их логические следствия. Гедель доказал (1938), что присоединение этих принципов к обычным аксиомам теории множеств не приводит к противоречию. Его рассуждения ценны не только теми результатами, которые они позволяют получить; Гедель разработал конструкцию, которая улучшает понимание внутренних механизмов самой теории множеств.
Теорема Геделя о неполноте
В 1931 году в одном из немецких научных журналов появилась статья двадцатипятилетнего Геделя, которая называлась
“Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematicа und verwandter Systeme” (“О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematicа и родственных систем”). Эта работа сыграла решающую роль в истории логики и математики. В решении Гарвардского университета о присуждении Геделю почетной докторской степени (1952 год) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики.
Однако в момент опубликования ни название, ни содержание геделевской работы ничего не говорили большинству математиков. Упомянутые в ее названии “Principia Mathematicа” – это монументальный трехтомный трактат Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, посвященный математической логике и основаниям математики. Интерес к разбираемым в работе Геделя вопросам всегда был уделом весьма немногочисленной группы ученых. В то же время рассуждения, приведенные Геделем в его доказательствах, были для своего времени столь необычными, что для полного их понимания требовалось исключительное владение предметом и знакомство с литературой, посвященной этим весьма специфическим проблемам.
При этом подлинно революционный характер выводов, к которым пришел Гедель, и их важнейшее философское значение в настоящее время общепризнанны.
Знаменитая работа Геделя посвящена центральной проблеме оснований математики.
Литература
Нагель Э., Ньюмен Д.Р. Теорема Геделя. М., 1970 Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984
Знаете ли Вы, что двойственная оценка ограничения - это величина, характеризующая прирост значения целевой функции задачи математического программирования при малом изменении величины свободного члена данного ограничения; частная производная оптимального значения целевой функции, рассматриваемого в качестве функции свободных членов ограничений задачи математического программирования, по величине свободного члена данного ограничения. Измеряется в единицах измерения целевой функции в расчёте на единицу измерения ограничения.
