Рассмотрим некоторые элементарные модели боя.
Постановка задачи
Две группировки А и Б
ведут бой. В составе группировок А
и Б 
и 
боевых
единиц со скорострельностями 
и 
и
вероятностями поражения цели при одном выстреле 
и 
соответственно. Каждая группировка однородна, но не обязательно
группировки однородны между собой. Например, бой танков с танками,
танков с противотанковыми средствами, истребителей с
бомбардировщиками и т.п.
Высокоорганизованным боем называют бой с полной информацией, а именно:
При этих допущениях процесс динамики боя двух группировок может рассматриваться как случайный марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, для которого могут быть получены уравнения динамики средних, позволяющие определить для любого момента времени средние численности сторон.
Цель моделирования .Прогнозирование средних количеств пораженных и непораженных боевых единиц каждой группировки на любой момент времени.
Каждое средство противоборствующих сторон А и Б может находиться в одном из двух состояний соответственно:
- не поражено;
- поражено.
Графы состояний для каждой группировки элементарны (рис. 2.21).
Интенсивность 
-
интенсивность потока поражающих выстрелов стороны Б,приходящихся на одну боевую единицу
стороны А,то есть переводящих ее из
состояния 
в
состояние 
.
Аналогичные рассуждения объясняют 
.
Очевидно, для начального состояния ( 
):
В ходе боя численности боеспособных единиц сторон будут
случайным образом изменяться (уменьшаться, так как пополнение
средств поражения сторон мы пока не рассматриваем). Обозначим эти
случайные численности каждой стороны 
и 
соответственно. Тогда:
Зависимость 
и 
от
случайных значений и 
делает аналитическое решение задачи практически
невозможным. Поэтому, используя принцип квазирегулярности, заменим
и их
матожиданиями 
и 
Заметим, что 
и являются
целью моделирования.
После замены выражения для и принимают
вид:
Запишем уравнения динамики средних для состояний и 
:
Для состояний и 
уравнения
не нужны, так как средние численности этих состояний 
и 
однозначно связаны с и 
После очевидного упрощения уравнения динамики средних принимают вид:
Здесь и далее для лучшей обозримости аргумент 
в и
опустим.
Систему уравнений (2.3) обычно называют уравнениями динамики боя, иногда - уравнениями Ланчестера. Ланчестер - полковник английской армии времен первой мировой войны. Именно он предложил излагаемые подходы формализации боевых действий.
Искомые численности сторон 
и 
находятся
интегрированием системы (2.3) при начальных условиях:
Решение имеет вид:
Для лучшей обозримости введем обозначения:
- эффективная скорострельность стороны А ;
- эффективная скорострельность стороны Б.
Эффективные скорострельности характеризуют плотности потоков успешных выстрелов соответствующей стороны.
- доля боеспособных единиц стороны А ;
- доля боеспособных единиц стороны Б ;
\chi =\cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{ N_2\sqrt{\Lambda_2}}- коэффициент преимущества стороны А над стороной Б;
- приведенное время.
С учетом этих обозначений решение модели высокоорганизованного боя выглядит так:
Графически варианты решений модели в зависимости от коэффициента превосходства представлены на рис. 2.22.
Из формул видно, что убывание численности группировок в
большей мере зависит от соотношения сил 
, чем от
соотношения эффективных скорострельностей 
: первое
отношение входит в формулы непосредственно, а второе - под знаком
корня. Увеличение начальной численности 
в два
раза удваивает параметр 
, тогда
как удвоение 
увеличивает только в
раза.
Поэтому повышение скорострельности менее выгодно.
В рамках данной модели при 
выигрывает бой сторона А, при 
- сторона
Б.
Кривые 
на рис. 2.22
оборваны до достижения нуля, так как при малочисленных группировках
метод динамики средних дает большие ошибки.
Если силы сторон равны ( 
), то
динамика сохранения сил сторон одинакова; 
в любой
момент боя. Бой будет продолжаться до определенного уровня истощения
сил, после чего неизбежны попытки политического решения
конфликта.
В рамках этой модели бой заканчивается разгромом слабой
стороны тем быстрее, чем больше превосходство другой. Победа в этой
модели достигается числом, не уменьем. Не учитывается опыт,
способности командиров, обученность личного состава. Впрочем,
параметр 
косвенно учитывает обученность экипажей средств поражения.
Пример 2.11. Группировка, в составе которой 270 противотанковых средств (ПТС), находится в обороне. Скорострельность каждого ПТС 6 выстр./мин, вероятность поражения одним ПТС одного танка равна 0,3. Скорострельность танка 4 выстр./мин, вероятность поражения одним танком одного ПТС 0,25 при коэффициенте превосходства 1,2.
Спрогнозировать, сколько нужно танков, чтобы прорвать оборону при полном уничтожении ПТС группировки.
Решение
Известно, что
откуда
Заметим, коэффициент преимущества не имеет
иного смысла, кроме упрощения формул для вычисления 
и 
. Поэтому
результаты расчетов не имеют оперативно-тактического
обоснования.
Задача 2.12.Сторона А имеет 30 огневых средств со скорострельностью каждого 5 выстр./мин и вероятностью поражения 0,2. Сторона Б имеет 40 огневых средств со скорострельностью каждого 4 выстр./мин и вероятностью поражения 0,3.
Провести расчеты для прогноза исхода боя, времени его окончания и количества сохранившихся огневых средств у победившей стороны.
Решение
Исходные данные
Прогнозирование исхода боя
Составим соотношения превосходства сторон:
Так как 
, то
преимущество будет у стороны Б,то
есть победить должна сторона Б.
Прогнозирование времени окончания боя
Бой продолжается до полной победы, то есть 
или из
(2.4)
Учтем, что 
, откуда
С другой стороны, из (2.5) 
.
Из выражений (2.5) и (2.6) имеем:
Так как 
, то 
.
Определение количества огневых средств, сохранившихся у стороны Б
Так как из выражения (2.5) , то 
, то
Теперь 
.
К концу боя у стороны Б останется от 29 до 30 огневых средств, тогда как огневые средства стороны А будут полностью уничтожены.
Приведенные результаты прогноза исхода боя двух
группировок являются приблизительными, оценочными, так как при малых
количествах огневых средств ( 
) метод
динамики средних,
лежащий в основе уравнений динамики боя, может давать существенные ошибки.
Боев В.Д., Сыпченко Р.П. Компьютерное моделирование
|
|
 |
