Дебая теория твёрдого тела. РЕАЛЬНАЯ ФИЗИКА. Глоссарий по физике

Дебая теория твёрдого тела - теория, описывающая колебания кристаллич. решётки и обусловленные ими термодинамич. свойства твёрдого тела; предложена П. Дебаем в 1912 в связи с задачей о теплоёмкости кристалла. Д. т. основана на упрощённом представлении твёрдого тела как изотропной упругой среды, атомы к-рой совершают колебания в конечном диапазоне частот.

Кристаллич. решётка, состоящая из N элементарных ячеек по v атомов в каждой, имеет

колебат. степеней свободы. С механич. точки зрения, такую систему можно описывать как совокупность

независимых осцилляторов, каждый из к-рых соответствует отд. нормальному колебанию системы (см. Колебания кристаллической решётки). Вычисление статистической суммы и, следовательно, термодинамич. функций такой системы в общем виде невозможно, т. к. результат существенно зависит от конкретного распределения частот по спектру колебаний твёрдого тела, т. е. от плотности колебат. состояний

, где

- частота колебаний. Однако в предельном случае низких температур задача упрощается, т. к. возбуждаются только колебания низких частот (

, T - абс. темп-pa). Они представляют собой звуковые волны с линейным законом дисперсии:

для продольных и

для поперечных волн (

- продольная и поперечная скорости распространения волн, k - волновое число). T. о., при низких темп-pax дискретная структура кристаллич. решётки не проявляется.

Плотность колебат. состояний, т. е. число собственных колебаний в интервале частот от

до

в спектре звуковых волн, равна:

где V - объём тела,

- усредненная скорость звука, к-рая для изотропного тела определяется соотношением:

В случае анизотропных кристаллов закон усреднения изменяется, он требует решения задачи теории упругости о распространении звука в кристалле данной симметрии. Зависимость же плотности g от частоты (1) сохраняется.

В предельном случае высоких температур (

, где а - постоянная решётки) возбуждены все

колебат. степеней свободы и на каждую приходится энергия kT (закон равнораспределения). В обоих предельных случаях статистич. сумма и термодинамич. функции кристаллич. решётки могут быть вычислены.

Д. т. представляет собой интерполяцию между этими предельными случаями. Она предполагает, что для всех

нормальных колебаний имеет место линейный закон дисперсии и плотность колебат. состояний описывается ф-лой (1), что в действительности справедливо лишь для малых частот. Спектр колебаний начинается от

=0 и обрывается на т. н. частоте Дебая

, к-рая определяется условием равенства полного числа колебаний числу степеней свободы

Плотность колебат. состояний в Д. т. можно записать в виде:

Все термодинамич. функции в Д. т. могут быть выражены через т. н. функцию Дебая:

Свободная энергия F, энтропия S, внутр. энергия

и теплоёмкость при пост. объёме C_V определяются ф-лами:

где

-энергия нулевых колебаний атома в решётке,

-Дебая температура, выше к-рой возбуждены все моды кристалла, а ниже к-рой нек-рые моды начинают "вымерзать".

Согласно Д. т., теплоёмкость твёрдого тела есть функция отношения

. В предельных случаях высоких температур

и низких температур

из ф-лы (9) получаются соответственно Дюлонга и Пти закон и Дебая закон теплоёмкости:

Критерием применимости предельных законов для теплоёмкости является соотношение между T и

; теплоёмкость можно считать постоянной при

и пропорциональной Т³ при

(рис.). Д. т. хорошо передаёт температурную зависимость термодинамич. функций, в частности теплоёмкости, лишь для тел с простыми кристаллич. решётками, т. е. для большинства элементов и ряда простых соединений, напр. галоидных солей. К телам с более сложной структурой она фактически неприменима из-за сложности спектра колебаний решётки. Так, у сильно анизотропных кристаллов, в частности у слоистых (квазидвумерных) и цепочечных (квазиодномерных) структур, спектр звуковых колебаний характеризуется не одной, а неск. дебаевскими температурами. Закон T³ для теплоёмкости имеет место лишь при темп-pax, малых по сравнению с наименьшей из дебаевских температур, в промежуточных областях возникают новые предельные законы. Термодинамич. функции таких кристаллов помимо отношения

зависят также от параметра, характеризующего относит. величину энергии связи между слоями (цепочками) атомов по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое (цепочке).

При рассмотрении решётки с полиатомным базисом (больше 1 атома в узле) существенны оптич. колебания, частота к-рых слабо зависит от k, и поэтому здесь лучше применима теория теплоёмкости Эйнштейна, в к-рой всем колебаниям приписывается одна и та же частота

. При этом теплоёмкость кристалла

где

- темп-pa Эйнштейна, определяемая равенством:

При температуре

каждая оптич. мода даёт пост. вклад k/V в уд. теплоёмкость в соответствии с законом Дюлонга и Пти. При

этот вклад экспоненциально падает.

Литература по теории Дебая

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.