,
вдоль к-рой касательный вектор 
переносится параллельно (
=1,2,
. . ., N, где N - размерность пространства). При спец. выборе
параметра 
(аффинный
параметр на геодезической линии) условие параллельного переноса 
принимает видГеодезическая линия (от греч. gеоdaisia, букв.- деление Земли) - геом. понятие, обобщающее представление
о прямой линии в евклидовом пространстве на случай пространств более общего
вида (искривлённых поверхностей в евклидовом пространстве, римановых пространств,
дифференцируемых многообразий с линейной связностью и т. п.). Конкретное
определение геодезической линии зависит от геометрической структуры рассматриваемого пространства.
В случае дифференцируемых многообразий с линейной связностью геодезической линии - кривая ,
вдоль к-рой касательный вектор
переносится параллельно (=1,2,
. . ., N, где N - размерность пространства). При спец. выборе
параметра (аффинный
параметр на геодезической линии) условие параллельного переноса
принимает вид
где точкой с запятой обозначена
ковариантная производная .С помощью коэф. связности 
ур-ние (1) переписывается в форме
В римановом пространстве
с метрикой gmn и элементом длины 
коэф. связности (Кристоффеля символы)выражаются через 
след. образом:
В этом случае локально
эквивалентное определение геодезической линии можно ввести с помощью вариац. принципа. Под
геодезической линией, соединяющей точки P1 и P2 риманова
пространства, понимается кривая экстремальной длины. Условие экстремальности
функционала
записывается в виде ур-ния
Эйлера - Лагранжа
что с учётом соотношения
(3) эквивалентно условию параллельного переноса касательного вектора (2). T.
о., в малой области риманова пространства геодезическая линии является не только "прямейшей",
но и кратчайшей кривой между двумя точками. Аналогично определяются геодезические линии на
искривлённых поверхностях, вложенных в евклидово пространство большей размерности.
Поведение геодезической линии в римановом пространстве аналогично поведению прямых в евклидовом
пространстве лишь в малой области. При сравнении с кривыми, не близкими к данной
геодезической линии, последняя может и не быть кратчайшей.
Понятие геодезической линии используется
в физ. теориях. Так, движение консервативной механич. системы с конечным числом
степеней свободы описывается геодезической линией в некотором специально подобранном римановом
пространстве. Аналогичным образом можно описать распространение световых лучей
в среде с показателем преломления, зависящим от координат.
В псевдоримановом пространстве
общей теории относительности (ОТО) существуют геодезические линии трёх типов: времениподобные
, изотропные,
или нулевые 
,
и пространственноподобные (
<0,
=0, 1, 2, 3).
Времениподобные геодезические линии являются мировыми линиями пробных точечных частиц с отличной
от нуля массой покоя, движущихся в гравитац. поле, определяющем метрику пространства-времени 
.
Времениподобные геодезические линии соответствуют максимуму длины кривой. Изотропные геодезические линии соответствуют движению
фотонов и др. безмассовых частиц. Пространственноподобные геодезические линии не соответствуют
движению реальных частиц, однако они важны для понимания геом. свойств самого
пространства-времени. Второй член в ур-нии (2) для геодезической линии в контексте ОТО можно
интерпретировать как гравитац. силу, действующую на материальную точку. В силу
эквивалентности тяготения и инерции эта величина не имеет тензорного характера
и может быть обращена в пуль вдоль нек-рой кривой спец. выбором системы координат
(свободно падающая система отсчёта). При этом взаимное положение двух близких
геодезических линий не зависит от системы координат и может быть использовано для описания
"истинного" действия гравитац. поля. Для двух близких геодезических линий 
и 
из
(2) получим
где 
- абс. производная, 
- кривизны тензор .T. о., хотя свободно падающая в гравитац. поле частица
покоится в падающей вместе с ней системе отсчёта, другая, близкая к ней частица
движется относительно первой. Этот пример иллюстрирует локальный характер принципа
эквивалентности сил тяготения и инерции.
Ряд свойств геодезических линий в пространстве-времени
ОТО удаётся получить, используя ур-ния Эйнштейна совместно с нек-рыми предположениями
относительно свойств создающей гравитац. поле материи. Напр., если плотность
энергии неотрицательна во всех физически допустимых системах отсчёта, то поперечное
сечение пучка геодезических линий S
(
- аффинный
параметр вдоль пучка) удовлетворяет условию 
. Отсюда следует, что если в нек-рой точке производная 
стала отрицательной, то через конечный промежуток значений
сечение S обратится в нуль (фокальная точка). Подобные рассуждения лежат
в основе т. н. теорем о сингулярностях Хокинга - Пенроуза.
Д. В. Гольцов
|
|
 |
