Кубическая сплайн-интерполяция. Визуальная среда математического моделирования MathCAD

Кубическая сплайн-интерполяция

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция кубическими сплайнами, т. е. отрезками кубических парабол (рис. 15.4).

interp(s,x,y,t) — функция, аппроксимирующая данные векторов х и у кубическими сплайнами;

s — вектор вторых производных, созданный одной из сопутствующих функций cspline, pspline или lspline;
х — вектор действительных данных аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания;
у — вектор действительных данных значений того же размера;
t — значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция.

Рис. 15.4. Сплайн-интерполяция (см. листинг 15.2)

Сплайн-интерполяция в Mathcad реализована чуть сложнее линейной. Перед применением функции interp необходимо предварительно определить первый из ее аргументов — векторную переменную s. Делается это при помощи одной из трех встроенных функций тех же аргументов (х,у).

lspline(x,y) — вектор значений коэффициентов линейного сплайна;

pspline(x,y) — вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна;

cspline(x,y) — вектор значений коэффициентов кубического сплайна;

х, у — векторы данных.

Выбор конкретной функции сплайновых коэффициентов влияет на интерполяцию вблизи конечных точек интервала. Пример сплайн-интерполяции приведен в листинге 15.2.

Листинг 15.2. Кубическая сплайн-интерполяция

Смысл сплайн-интерполяции заключается в том, что в промежутках между точками осуществляется аппроксимация в виде зависимости A(t) = =а t3+bt2+ct+d. Коэффициенты а, b, с, d рассчитываются независимо для каждого промежутка, исходя из значений уг в соседних точках. Этот процесс скрыт от пользователя, поскольку смысл задачи интерполяции состоит в выдаче значения A(t) в любой точке t (рис. 15.4).

Рис. 15.5. Сплайн-интерполяция с выбором коэффициентов линейного сплайна lspline

Рис. 15.6. Ошибочное построение графика сплайн-интерполяции (см. листинг 15.2)

Чтобы подчеркнуть различия, соответствующие разным вспомогательным функциям cspline, pspline, Ispline, покажем результат действия листинга 15.2 при замене функции cspline в предпоследней строке на линейную ispiine (рис. 15.5). Как видно, выбор вспомогательных функций существенно влияет на поведение A(t) вблизи граничных точек рассматриваемого интервала (0, 6) и особенно разительно меняет результат экстраполяции данных за его пределами.

В заключение остановимся на уже упоминавшейся в предыдущем разделе распространенной ошибке при построении графиков интерполирующей функции (см. рис. 15.3). Если на графике, например являющемся продолжением листинга 15.2, задать построение функции А(Х) вместо A(t), то будет получено просто соединение исходных точек ломаной (рис. 15.6). Так происходит потому, что в промежутках между точками вычисления интерполирующей функции не производятся.

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.