к библиотеке   к оглавлению   к дискретной математике   технологии программирования

Инвариантные алгоритмы и средние величины

Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в ТИ так: выводы, сделанные на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных. Другими словами, выводы должны быть инвариантны по отношению к допустимым преобразованиям шкалы.

Таким образом, одна из основных целей теории измерений - борьба с субъективизмом исследователя при приписывании численных значений реальным объектам. Так, расстояния можно измерять в аршинах, метрах, микронах, милях, парсеках и других единицах измерения. Массу (вес) - в пудах, килограммах, фунтах и др. Цены на товары и услуги можно указывать в юанях, рублях, тенге, гривнах, латах, кронах, марках, долларах США и других валютах (при условии заданных курсов пересчета). Подчеркнем очень важное, хотя и вполне очевидное обстоятельство: выбор единиц измерения зависит от исследователя, т.е. субъективен. Статистические выводы могут быть адекватны реальности только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочтет исследователь, т.е. когда они инвариантны относительно допустимого преобразования шкалы.

Оказывается, сформулированное условие является достаточно сильным. Из многих алгоритмов эконометрического анализа данных ему удовлетворяют лишь некоторые. Покажем это на примере сравнения средних величин.

Пусть - выборка объема . Часто используют среднее арифметическое

Использование среднего арифметического настолько привычно, что второе слово в термине часто опускают. И говорят о средней зарплате, среднем доходе и других средних для конкретных экономических данных, подразумевая под "средним" среднее арифметическое. Такая традиция может приводить к ошибочным выводам. Покажем это на примере расчета средней заработной платы (среднего дохода) работников условного предприятия, отображенного в табл.3.1.

Таблица 3.1. Численность работников различных категорий, их заработная плата и доходы
(в условных единицах).
№ п/п Категория работников Число работников Заработная плата Суммарные доходы
1Низкоквалифицированные рабочие401004000
2Высококвалифицированные рабочие302006000
3Инженеры и служащие253007500
4Менеджеры410004000
5Генеральный директор (владелец)11850018500
6Всего10040000

Первые три строки в табл.3.1 вряд ли требуют пояснений. Менеджеры - это директора по направлениям, а именно, по производству (главный инженер), по финансам, по маркетингу и сбыту, по персоналу (по кадрам). Владелец сам руководит предприятием в качестве генерального директора. В столбце "заработная плата" указаны доходы одного работника соответствующей категории, а в столбце "суммарные доходы" - доходы всех работников соответствующей категории.

Фонд оплаты труда составляет единиц, работников всего , следовательно, средняя заработная плата составляет единиц. Однако эта средняя арифметическая величина явно не соответствует интуитивному представлению о "средней зарплате". Из работников лишь имеют заработную плату, ее превышающую, а зарплата остальных существенно меньше средней арифметической. Причина очевидна - заработная плата одного человека - генерального директора - превышает заработную плату работников - низкоквалифицированных и высококвалифицированных рабочих, инженеров и служащих.

Ситуация напоминает описанную в известном рассказе о больнице, в которой больных, из них у температура , а один уже отмучился, лежи в морге с температурой . Между тем средняя температура по больнице равна - лучше не бывает!

Сказанное показывает, что среднее арифметическое можно использовать лишь для достаточно однородных совокупностей (без больших выбросов в ту или иную сторону). А какие средние использовать для описания заработной платы? Вполне естественно использовать медиану. Для данных табл.3.1 медиана - среднее арифметическое 50-го и 51-го работника, если их заработные платы расположены в порядке неубывания. Сначала идут зарплаты 40 низкоквалифицированных рабочих, а затем - с 41-го до 70-го работника - заработные платы высококвалифицированных рабочих. Следовательно, медиана попадает именно на них и равна 200. У 50-ти работников заработная плата не превосходит 200, и у 50-ти - не менее 200, поэтому медиана показывает "центр", около которого группируется основная масса исследуемых величин. Еще одна средняя величина - мода, наиболее часто встречающееся значение. В рассматриваемом случае это заработная плата низкоквалифицируемых рабочих, т.е. 100. Таким образом, для описания зарплаты имеем три средние величины - моду (100 единиц), медиану (200 единиц) и среднее арифметическое (400 единиц). Для наблюдающихся в реальной жизни распределений доходов и заработной платы справедлива та же закономерность: мода меньше медианы, а медиана меньше среднего арифметического.

Для чего в экономике используются средние величины? Обычно для того, чтобы заменить совокупность чисел одним числом, чтобы сравнивать совокупности с помощью средних.

Пусть, например, - совокупность оценок экспертов, "выставленных" одному объекту экспертизы (например, одному из вариантов стратегического развития фирмы), - второму (другому варианту такого развития). Как сравнивать эти совокупности? Очевидно, самый простой способ - по средним значениям.

А как вычислять средние? Известны различные виды средних величин: среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Напомним, что общее понятие средней величины введено французским математиком первой половины ХIХ в. академиком О. Коши.

Средняя величина по Коши - это любая функция такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел , и не больше, чем максимальное из этих чисел. Все перечисленные выше виды средних являются средними по Коши.

При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой - меньше, не должны меняться (в соответствии с требованием инвариантности выводов, принятом как основное требование в ТИ). Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы.

Пусть - среднее по Коши. Пусть среднее по первой совокупности меньше среднего по второй совокупности:

Тогда согласно ТИ для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования из группы допустимых преобразований в соответствующей шкале было справедливо также неравенство

т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей и и, напомним, любого допустимого преобразования. Средние величины, удовлетворяющие сформулированному условию, назовем допустимыми (в соответствующей шкале). Согласно ТИ только такими средними можно пользоваться при анализе мнений экспертов и иных данных, измеренных в рассматриваемой шкале.

С помощью математической теории, развитой в монографии [2], удается описать вид допустимых средних в основных шкалах. Сразу ясно, что для данных, измеренных в шкале наименований, в качестве среднего годится только мода.

к библиотеке   к оглавлению   к дискретной математике   технологии программирования
Знаете ли Вы, что такое "Большой Взрыв"?
Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии "Большой взрыв (англ. Big Bang) - это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно - начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения..."
В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею.
На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве.
Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как "взрыв" - понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых.
Во-вторых, Вселенная - это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной).
В третьих, фраза "представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва" тоже есть сплошной нонсенс.
Что могло быть "вблизи Большого взрыва", если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 19.10.2017 - 04:24: Беседка - Chatter -> ЭПИСТОЛЯРНАЯ ФИЗИКА - Карим_Хайдаров.
11.10.2017 - 05:10: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА - Experimental Physics -> Эксперименты с трансформатором Тесла - Карим_Хайдаров.
05.10.2017 - 11:03: СОВЕСТЬ - Conscience -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
04.10.2017 - 15:26: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
04.10.2017 - 05:02: Беседка - Chatter -> "Зенит"ы с "Протон"ами будут падать - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 18:16: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 07:42: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вазгена Авагяна - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 07:24: ЦИТАТЫ ЧУЖИХ ФОРУМОВ - Outside Quotings -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 05:48: Беседка - Chatter -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
02.10.2017 - 19:04: АСТРОФИЗИКА - Astrophysics -> Апериодическая комета C/2014 Q2 Lovejoy - Карим_Хайдаров.
02.10.2017 - 14:57: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
01.10.2017 - 07:23: СОВЕСТЬ - Conscience -> НАСАтые астропиндосы - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution