Несинусоидальные периодические ЭДС и токи

Обычно анализ цепей переменного тока проводится в предположении, что действующие в них ЭДС и токи имеют синусоидальную форму. В большинстве случаев такое предположение оправдано, однако, на самом деле форма токов и напряжений в той или иной степени всегда несинусоидальна.

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию F(w t) удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

Первый член ряда A₀ называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой. Второй член A₁sin(wt+y ₁) имеет частоту равную частоте функции F(wt) и называется первой или основной гармонической составляющей (коротко - гармоникой). Остальные члены ряда вида A_ksin(kwt+y _k) имеют частоты в целое число раз k больше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками. Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k , т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

Из выражения (1) следует, что каждую гармонику ряда Фурье можно представить в виде двух составляющих - синусной B_ksinkwt и косинусной C_kcoskwt. Амплитуды этих составляющих B_k и C_kназываются коэффициентами ряда Фурье.

Разложение в ряд Фурье всегда однозначно в отношении постоянной составляющей, а также амплитуд и частот гармонических составляющих. В то же время, начальные фазы гармоник изменяются при изменении момента времени, принятого за начало отсчета. Таким образом, ряд Фурье можно определить, задав номера, амплитуды и начальные фазы гармоник или номера и амплитуды синусной и косинусной составляющих гармоник. Совокупность амплитуд A_k и начальных фаз y _k называются соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами, а совокупность коэффициентов B_k и C_k - частотным спектром функции. Спектры функций удобно изображать отрезками прямых линий, пропорциональных соответствующим величинам (рис. 1). На рис.1 показаны два варианта частотных спектров ряда Фурье u(t)=10+20sin(500t-p /6)+5sin(1500t+p /4)+7sin(2500t+2p /3).

Пусть wt = a . Тогда разложение в ряд функции F(a ), имеющей период 2p , будет

Так для кривых симметричных относительно оси абсцисс (рис. 2 а)), т.е. для кривых, соответствующих условию F(a) = - F(a +p) или F(a)+F(a +p)=0, в спектре ряда Фурье будут отсутствовать нулевая и все четные гармоники. Действительно, если сложить ряды для этих функций

F(a)+F(a +p)=A₀ + A₁sin(a +y₁) + A₂sin(2a +y₂) +ј + A_ksin(ka +y_k)+ј+ A₀ - A₁sin(a +y₁) + A₂sin(2a +y₂) +ј + A_ksin(ka +y_k)+ј=0 , то знаки у всех нечетных гармоник второго ряда будут отрицательными, т.к. при нечетных k sin(ka +kp ) = - sin(ka ). Поэтому сумма рядов равна

Кривые симметричные относительно начала координат (рис. 2 б))обладают свойством F(a) = - F(- a) или F(a) +F(- a)=0. Складывая два ряда, соответствующих этим функциям получим

следовательно, постоянная составляющая и все косинусные составляющие у этих функций будут равны нулю.

Если аналогичные выкладки проделать для приведенной на рис. 2 в) кривой, симметричной относительно оси ординат, т.е. F(a ) = F(- a ), то в ее разложении в ряд Фурье будут отсутствовать все синусные составляющие.

При несинусоидальных периодических токах и ЭДС в электрической цепи возможно ввести понятия действующих значений аналогично тому, как это было сделано для синусоидальных величин.

Действующее значение тока I определяется через мгновенные значения как

i= I₀ + I₁sin(a +y ₁) + I₂sin(2a +y ₂) +ј + I_ksin(ka +y _k)+ј , а

Определим теперь среднюю мощность P в цепи при несинусоидальных токах и напряжениях. Она всегда может быть выражена в виде

Но при p№ q все слагаемые второй суммы тождественно равны нулю, поэтому средняя мощность равна

Из выражения (5) следует, что средняя или активная мощность в цепи с несинусоидальными токами и напряжениями равна сумме средних или активных мощностей отдельных гармоник.

тогда отношению P/(UI) можно придать смысл коэффициента мощности cosφ_э.

Выражение

формально справедливо для некоторой электрической цепи синусоидального тока, в которой протекает ток с действующим значением I и существует падение напряжения U. При этом в цепи выделяется активная мощность P. Следовательно, при изучении некоторых явлений несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих, можно заменить эквивалентными им по действующему значению синусоидальными со сдвигом фаз между ними φ_э, соответствующим коэффициенту мощности несинусоидальных величин. Кривые токов и напряжений в общем случае имеют различные спектры, поэтому для них не существует понятия угла сдвига фаз и φ_э имеет смысл только для эквивалентных синусоид.

В отличие от выражения (5) для активной мощности в цепи несинусоидального тока, полученного из понятия средней за период величины, реактивную мощность определить таким образом невозможно. В цепях синусоидального тока она была определена через амплитуду или среднее за четверть периода значение одной из переменных составляющих мгновенной мощности. Поэтому для цепи несинусоидального тока ее можно определить только формально по аналогии с активной мощностью в виде

Без доказательства отметим, что в цепях несинусоидального тока нет прямой связи между активной, реактивной и полной мощностью в виде треугольника мощностей, т.е.

Пусть требуется найти активную мощность в цепи рис. 3, где приложенное напряжение равно u(t)=10+20sin(1000t- 30° )+5sin(3000t+45° ) В, а параметры элементов R = 20 Ом, C = 50 мкФ и L = 5 мГн.

Реактивные сопротивления цепи зависят от частоты. Для k-й гармоники их можно представить через сопротивления на частоте основной гармоники в виде

где x_L1 = w ₁L= 5 Ом и x_C1 = 1/(w ₁C) = 20 Ом - индуктивное и емкостное сопротивления на частоте основной гармоники. При расчете реактивных сопротивлений можно формально считать постоянную составляющую нулевой гармоникой. При этом x_L0 = 0, а x_C0 = µ , что соответствует отсутствию этих элементов и вполне согласуется с теорией цепей постоянного тока, где в статических режимах реактивных элементов нет.

Общее комплексное сопротивление цепи на частоте k-й гармоники будет

Подставляя в это выражение значения k = 0, 1, 3, получим значения общих комплексных сопротивлений на всех гармониках в виде Z₀ = 20 Ом ; Z₁ = 10- j5 Ом ; Z₃ = 2+j9 Ом . Из этих выражений видно, что комплексные сопротивления на разных частотах могут иметь реактивную составляющую разного знака.

Отсюда комплексные значения токов - I₀ = U₀/Z₀ = 10/20 = 0.5 А; I₁ = U₁/Z₁ = 20e- ^j30° /(10- j5) = 1.78e- ^j3.4° А; I₃ = U₃/Z₃ = 5e ^j45° /(2+j9) = 0.54e- ^j32.4° А.

Для оценки формы симметричных кривых используют коэффициенты формы k_f , амплитуды k_A и искажений k_d.

Поскольку идеальных синусоидальных величин практически не бывает, то в технике существует понятие практически синусоидальных кривых. Форма кривой считается практически синусоидальной, если все ее ординаты отличаются от ординат первой гармоники не более, чем на 5%. При этом количество контрольных точек должно быть не менее 12.

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.
Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.
Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").
Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.
Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.
Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.