Несинусоидальные периодические ЭДС и токи

Обычно анализ цепей переменного тока проводится в предположении, что действующие в них ЭДС и токи имеют синусоидальную форму. В большинстве случаев такое предположение оправдано, однако, на самом деле форма токов и напряжений в той или иной степени всегда несинусоидальна.

Искажение ЭДС и токов может возникать вследствие конструктивных особенностей генераторов переменного тока, приводящих к тому, что создаваемая ими ЭДС несинусоидальна, либо вследствие нелинейности элементов электрической цепи. Причем для появления искажений достаточно наличия в цепи только одного нелинейного элемента. Чаще всего обе эти причины присутствуют одновременно, но в зависимости от степени выраженности их воздействия на цепь пренебрегают одной из них или обеими сразу.

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию F(w t) удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

F(wt) = A₀ + A₁sin(wt+y ₁) + A₂sin(2wt+y ₂) +ј + A_ksin(kwt+y _k)+ј =

A₀ + B₁sinwt + B₂sin2wt +ј + B_ksinkwt+ј

ј + C₁coswt + C₂cos2wt +ј + C_kcoskwt +ј =

A₀+a₁+a₂+ј + a_k+ј ,

(1)

где ac/image251.gif .

Первый член ряда A₀ называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой. Второй член A₁sin(wt+y ₁) имеет частоту равную частоте функции F(wt) и называется первой или основной гармонической составляющей (коротко - гармоникой). Остальные члены ряда вида A_ksin(kwt+y _k) имеют частоты в целое число раз k больше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками. Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k , т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

Из выражения (1) следует, что каждую гармонику ряда Фурье можно представить в виде двух составляющих - синусной B_ksinkwt и косинусной C_kcoskwt. Амплитуды этих составляющих B_k и C_kназываются коэффициентами ряда Фурье.

Разложение в ряд Фурье всегда однозначно в отношении постоянной составляющей, а также амплитуд и частот гармонических составляющих. В то же время, начальные фазы гармоник изменяются при изменении момента времени, принятого за начало отсчета. Таким образом, ряд Фурье можно определить, задав номера, амплитуды и начальные фазы гармоник или номера и амплитуды синусной и косинусной составляющих гармоник. Совокупность амплитуд A_k и начальных фаз y _k называются соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами, а совокупность коэффициентов B_k и C_k - частотным спектром функции. Спектры функций удобно изображать отрезками прямых линий, пропорциональных соответствующим величинам (рис. 1). На рис.1 показаны два варианта частотных спектров ряда Фурье u(t)=10+20sin(500t-p /6)+5sin(1500t+p /4)+7sin(2500t+2p /3).

Пусть wt = a . Тогда разложение в ряд функции F(a ), имеющей период 2p , будет

F(a ) = A₀ + B₁sina + B₂sin2a +ј + B_ksinka +ј

ј + C₁cosa + C₂cos2a +ј + C_kcoska +ј =

= A₀ + A₁sin(a +y₁) + A₂sin(2a +y₂) +ј + A_ksin(ka +y_k)+ј .

Для этой функции коэффициенты ряда Фурье можно найти из выражений

ac/image252.gif .

(2)

Для основных типов периодических функций, имеющих прямоугольную, треугольную, трапецевидную и др. формы, выражения для коэффициентов ряда Фурье приводятся в справочниках. При отсутствии справочных данных или если требуются аналитические выражения можно воспользоваться выражениями (2). Однако на практике часто бывает достаточно получить численные значения коэффициентов ряда. Это позволяют сделать современные компьютерные средства обработки данных по значениям функции, заданной табличным способом, т.е. рядом абсцисс и ординат точек.

При проверке полученных результатов разложения в ряд, а также для предварительного исключения из расчетов и анализа коэффициентов, отсутствующих в разложении, полезно отметить некоторые связи между характером периодической функции и ее частотным спектром.

Так для кривых симметричных относительно оси абсцисс (рис. 2 а)), т.е. для кривых, соответствующих условию F(a) = - F(a +p) или F(a)+F(a +p)=0, в спектре ряда Фурье будут отсутствовать нулевая и все четные гармоники. Действительно, если сложить ряды для этих функций

F(a)+F(a +p)=A₀ + A₁sin(a +y₁) + A₂sin(2a +y₂) +ј + A_ksin(ka +y_k)+ј+ A₀ - A₁sin(a +y₁) + A₂sin(2a +y₂) +ј + A_ksin(ka +y_k)+ј=0 , то знаки у всех нечетных гармоник второго ряда будут отрицательными, т.к. при нечетных k sin(ka +kp ) = - sin(ka ). Поэтому сумма рядов равна

A₀ + A₂sin(a +y₁) + A₄sin(2a +y₂) +ј + A_2ksin(2ka +y_k)+ј=0,

что возможно только при нулевых значениях всех амплитуд.

Кривые симметричные относительно начала координат (рис. 2 б))обладают свойством F(a) = - F(- a) или F(a) +F(- a)=0. Складывая два ряда, соответствующих этим функциям получим

F(a ) +F(- a )= A₀ + B₁sina + B₂sin2a +ј + B_ksinka +ј

ј + C₁cosa + C₂cos2a +ј + C_kcoska +ј+

+ A₀ - B₁sina - B₂sin2a - ј - B_ksinka +ј

ј + C₁cosa + C₂cos2a +ј + C_kcoska +ј=

=2( A₀ +C₁cosa + C₂cos2a +ј + C_kcoska +ј)=0 ,

следовательно, постоянная составляющая и все косинусные составляющие у этих функций будут равны нулю.

Если аналогичные выкладки проделать для приведенной на рис. 2 в) кривой, симметричной относительно оси ординат, т.е. F(a ) = F(- a ), то в ее разложении в ряд Фурье будут отсутствовать все синусные составляющие.

При несинусоидальных периодических токах и ЭДС в электрической цепи возможно ввести понятия действующих значений аналогично тому, как это было сделано для синусоидальных величин.

Действующее значение тока I определяется через мгновенные значения как

ac/image253.gif .

Если представить периодический несинусоидальный ток рядом Фурье, то

i= I₀ + I₁sin(a +y ₁) + I₂sin(2a +y ₂) +ј + I_ksin(ka +y _k)+ј , а

ac/image254.gif .

Но ac/image255.gif , поэтому

ac/image256.gif

(3)

Следовательно, действующее значение несинусоидального периодического тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Проведя аналогичные выкладки, можно получить выражения для действующих значений ЭДС и падения напряжения в виде

ac/image257.gif

(4)

Определим теперь среднюю мощность P в цепи при несинусоидальных токах и напряжениях. Она всегда может быть выражена в виде

ac/image258.gif .

Подставляя в это выражение напряжение и ток, представленные рядами Фурье, получим

ac/image259.gif

Но при p№ q все слагаемые второй суммы тождественно равны нулю, поэтому средняя мощность равна

(5)

Из выражения (5) следует, что средняя или активная мощность в цепи с несинусоидальными токами и напряжениями равна сумме средних или активных мощностей отдельных гармоник.

По аналогии с цепями синусоидального тока можно ввести понятие полной или кажущейся мощности как произведение действующих значений тока и напряжения

S = UI,

тогда отношению P/(UI) можно придать смысл коэффициента мощности cosφ_э.

Выражение ac/image261.gif формально справедливо для некоторой электрической цепи синусоидального тока, в которой протекает ток с действующим значением I и существует падение напряжения U. При этом в цепи выделяется активная мощность P. Следовательно, при изучении некоторых явлений несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих, можно заменить эквивалентными им по действующему значению синусоидальными со сдвигом фаз между ними φ_э, соответствующим коэффициенту мощности несинусоидальных величин. Кривые токов и напряжений в общем случае имеют различные спектры, поэтому для них не существует понятия угла сдвига фаз и φ_э имеет смысл только для эквивалентных синусоид.

В отличие от выражения (5) для активной мощности в цепи несинусоидального тока, полученного из понятия средней за период величины, реактивную мощность определить таким образом невозможно. В цепях синусоидального тока она была определена через амплитуду или среднее за четверть периода значение одной из переменных составляющих мгновенной мощности. Поэтому для цепи несинусоидального тока ее можно определить только формально по аналогии с активной мощностью в виде

Q = U₁I₁sinφ ₁ + U₂I₂sinφ ₂ +ј + U_kI_ksinφ _k +ј

Без доказательства отметим, что в цепях несинусоидального тока нет прямой связи между активной, реактивной и полной мощностью в виде треугольника мощностей, т.е. .

Если все элементы электрической цепи с несинусоидальными токами и напряжениями линейны, т.е. параметры элементов не зависят от токов и падений напряжения, то анализ электромагнитных процессов в них можно проводить, используя разложение в ряды Фурье.

Расчет цепи при несинусоидальных токах проводится аналогично расчету при синусоидальных, но он должен выполняться отдельно для каждой гармоники, т.е. алгоритм расчета следующий:

представить действующую в цепи ЭДС или ток рядом Фурье (если требуется);
любыми методами расчета цепей синусоидального тока произвести расчет отдельно для каждой гармоники спектра;
по полученному спектру искомых величин найти требуемые значения.

Пусть требуется найти активную мощность в цепи рис. 3, где приложенное напряжение равно u(t)=10+20sin(1000t- 30° )+5sin(3000t+45° ) В, а параметры элементов R = 20 Ом, C = 50 мкФ и L = 5 мГн.

Спектр приложенного напряжения содержит постоянную составляющую или нулевую гармонику, а также первую и третью гармоники.

Реактивные сопротивления цепи зависят от частоты. Для k-й гармоники их можно представить через сопротивления на частоте основной гармоники в виде

где x_L1 = w ₁L= 5 Ом и x_C1 = 1/(w ₁C) = 20 Ом - индуктивное и емкостное сопротивления на частоте основной гармоники. При расчете реактивных сопротивлений можно формально считать постоянную составляющую нулевой гармоникой. При этом x_L0 = 0, а x_C0 = µ , что соответствует отсутствию этих элементов и вполне согласуется с теорией цепей постоянного тока, где в статических режимах реактивных элементов нет.

Общее комплексное сопротивление цепи на частоте k-й гармоники будет

ac/image264.gif .

Подставляя в это выражение значения k = 0, 1, 3, получим значения общих комплексных сопротивлений на всех гармониках в виде Z₀ = 20 Ом ; Z₁ = 10- j5 Ом ; Z₃ = 2+j9 Ом . Из этих выражений видно, что комплексные сопротивления на разных частотах могут иметь реактивную составляющую разного знака.

Отсюда комплексные значения токов - I₀ = U₀/Z₀ = 10/20 = 0.5 А; I₁ = U₁/Z₁ = 20e- ^j30° /(10- j5) = 1.78e- ^j3.4° А; I₃ = U₃/Z₃ = 5e ^j45° /(2+j9) = 0.54e- ^j32.4° А.

Полученные комплексные значения составляющих спектра токов можно представить рядом Фурье в виде

i = 0.5+1.78sin(1000t- 3.4° )+0.54sin(1000t- 32.4° ) А.

Теперь можно определить активную мощность в цепи как

ac/image265.gif

Как уже упоминалось выше, реальные источники электрической энергии в силу конструктивных особенностей формируют ЭДС и токи, отличающиеся от синусоидальных. Чаще всего эти величины симметричны, т.к. симметрична конструкция электромеханических генераторов, и не содержат четных гармоник.

Для оценки формы симметричных кривых используют коэффициенты формы k_f , амплитуды k_A и искажений k_d.

Под коэффициентом формы понимают отношение действующего значения к среднему значению, взятому за положительную полуволну, т.е.

Для синусоидальных величин k_f » 1.11.

Под коэффициентом амплитуды понимают отношение амплитудного значения к действующему k_A = U_m/U и для синусоиды это значение равно 1.414 (корень из 2).

Коэффициент искажений это отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всего спектра, т.е. k_d = U₁/U.

Поскольку идеальных синусоидальных величин практически не бывает, то в технике существует понятие практически синусоидальных кривых. Форма кривой считается практически синусоидальной, если все ее ординаты отличаются от ординат первой гармоники не более, чем на 5%. При этом количество контрольных точек должно быть не менее 12.

к оглавлению

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира