Основные понятия. Представление синусоидальных функций векторами.

Если изобразить таким образом несколько векторов, соответствующих функциям с одинаковыми угловыми частотами, то они будут вращаться синхронно, сохраняя взаимное положение. Поэтому при исследовании соотношений синусоидальных функций можно считать векторы неподвижными и изобразить в положении, соответствующем любому произвольному моменту времени. Очевидно, что самое простое построение получится, если принять t = 0, т.е. построить векторы так, чтобы их углы с осью абсцисс соответствовали начальным фазам.

Для построения изображающих векторов можно использовать любую координатную систему на плоскости, однако наиболее удобной для проведения расчетов является комплексная плоскость (рис. 2 в)). В этом случае изображающий вектор A_m сопоставляется с комплексным числом и его можно определить четырьмя различными способами или формами записи:

Комплексное число A_m называется комплексной амплитудой. Пользуясь тем, что амплитудные и действующие значения связаны между собой константой, можно ввести понятие комплексного действующего значения A , как вектора, модуль которого равен действующему значению соответствующей величины. Мнимая составляющая этого вектора, если его привести во вращение, не является исходной синусоидальной функцией, но для расчетов комплексные действующие значения имеют большое значение.

Замена синусоидальных функций a(t) комплексными числами и изображающими их векторами A позволяет перейти от тригонометрических функций времени к алгебраическим. При этом исходные синусоидальные функции времени можно считать оригиналами, а комплексные числа и векторы их изображениями или символами. Поэтому метод расчета электрических цепей, использующий такое представление функций называется символическим.

Вычитание векторов также можно производить двумя способами. Можно сложить уменьшаемое с противоположно направленным вектором вычитаемого или построить вектор разности между концами векторов.

Взятию производной или интеграла от синусоидальной функции времени в области изображений соответствует умножение или деление на jw комплексного числа изображения исходной функции. На комплексной плоскости это соответствует изменению длины исходного вектора и поворот его на 90° в положительную или отрицательную сторону.

Наиболее распространенными операторами поворота являются числа 1, j , -1 и -j . Результаты умножения произвольного комплексного числа A на эти числа показаны в таблице 3.

Для исследования взаимных отношений различных величин, векторы токов, напряжений и ЭДС строятся совместно на одной комплексной плоскости и такая совокупность векторов называется векторной диаграммой.

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Формы записи	A_m = p + jq	A_m=A_m(cosy_a+jsiny_a)	A_m = A_me ^jy a
A_m = p + jq	-	p= A_mcosy _a q= A_msiny _a	p= A_mcosy _a q= A_msiny _a
A_m =A_m(cosy_a+jsiny_a)		-	A_m = A_m y _a=_{y a}
A_m = A_me ^jy a		A_m = A_m y _a=_{y a}	-

Оригинал	Изображение
a(t)=A_msin(w t+y _a)	A=p+jq=Ae ^jya
CЧ a(t)=СЧ A_msin(w t+y _a)	CЧ A=C(p+jq)=CЧ Ae ^jya
b(t)=a₁(t)+a₂(t)	B=A₁+A₂= =(p₁+p₂)+j(q₁+q₂)
b(t)=a₁(t)-a₂(t)	B=A₁-A₂= =(p₁-p₂)+j(q₁-q₂)
b(t)=a₁(t)Ч a₂(t)

b(t)=[a(t)]ⁿ	B=Aⁿ= Aⁿe ^jnya
	B=jw A= w Ч Ae ^j(y a+p /2)

E		EЧ A
1	e^j0	Ae ^jy
j	e^jp/2	Ae ^j(y +p /2)
-1	e^jp	Ae ^j(y ± p )
-j	e- ^jp/2	Ae ^j(y - p /2)