Основные понятия. Представление синусоидальных функций векторами

Электрические цепи, в которых действуют изменяющиеся во времени синусоидальные токи и напряжения называются цепями переменного тока.

Любая синусоидальная функция времени a(t) может быть однозначно задана тремя параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Ее значение в любой момент времени t определяется выражением вида

a(t) = a = A_msin(wt+y_a), где

(1)

A_m - максимальное значение функции или ее амплитуда;

w - угловая частота или скорость изменения аргумента функции, выраженная в [радиан/с];

y_a- начальная фаза (аргумент функции в момент времени, принятый за начало отсчета, т.е. при t = 0) в [радиан].

Аргумент синусоидальной функции wt+y_a , называется фазой или фазовым углом. Он определяет значение функции a(t) в любой момент времени.

Кроме угловых величин, аргумент синусоидальных функций можно представить также через временные величины, используя связь угловой частоты с частотой f [Гц=1/с] или с периодом T=1/f [с] в виде w =2p f =2p /T. Тогда wt+y_a = 2p(t+y_aT/2p)/T. Этому представлению соответствуют верхние обозначения оси абсцисс на рис. 1.

В электрических цепях переменного тока синусоидальными функциями времени являются ток, падение напряжения и ЭДС

i = I_msin(wt+y_i) ; u = U_msin(wt+y_u) ; e = E_msin(wt+y_e) .

Для этих величин принят ряд соглашений по обозначениям, имеющим нормативную силу.

Мгновенные значения токов, напряжений и ЭДС следует обозначать строчными буквами в виде i , u и e .

Максимальное значение или амплитуда обозначается соответствующей прописной буквой с индексом m (I_m, U_m, E_m).

Помимо этих величин в цепях переменного тока широко используют т.н. действующие значения. Понятие действующего значения определяется из условия равенства теплового эффекты переменного и постоянного токов. Пусть через некоторый участок электрической цепи с сопротивлением r протекает переменный ток i. Тогда по закону Джоуля-Ленца на этом участке за время T, соответствующее периоду тока i, будет выделено количество тепла равное

Обозначим через I некоторый постоянный ток, при протекании которого по тому же участку цепи за время T выделится такое же количество тепла. Тогда с учетом того, что i = I_msin(wt+y_i) получим:

(2)

т.е. величина постоянного тока эквивалентного переменному току по количеству выделяемого тепла называется действующим или среднеквадратичным значением переменного тока. Как следует из выражения (2), действующее и амплитудное значения синусоидального тока связаны между собой постоянным коэффициентом.

По аналогии с током действующие значения вводятся для напряжений и ЭДС

(3)

Действующие значения обозначаются прописными буквами без индекса.

Кроме действующих значений для синусоидальных величин иногда используются также средние значения. Под средним значением любой величины за интервал времени от t₁ до t₂ понимается

Но интеграл от синусоидальной функции за период равен нулю, поэтому для определения среднего значения используют интервал времени в половину периода. Тогда для тока получим:

(4)

Для напряжений и ЭДС средние значения определятся аналогично

(5)

ЗАДАЧА

Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока с помощью синусоидальных функций времени возможно только для простейших случаев. Уже при смешанном соединении элементов выражения получаются настолько сложными, что решение их крайне затруднительно.

Задача существенно упрощается, если синусоидальные функции времени представить в виде векторов. Из курса математики известно, что синусоидальная функция времени a(t) = A_msin(wt+y_a) является проекцией на ось ординат вектора длиной A_m, вращающегося с угловой частотой w . Причем, положение этого вектора в начальный момент времени t = 0 должно составлять угол y_a с осью абсцисс (рис. 2 а) и б)).

Если изобразить таким образом несколько векторов, соответствующих функциям с одинаковыми угловыми частотами, то они будут вращаться синхронно, сохраняя взаимное положение. Поэтому при исследовании соотношений синусоидальных функций можно считать векторы неподвижными и изобразить в положении, соответствующем любому произвольному моменту времени. Очевидно, что самое простое построение получится, если принять t = 0, т.е. построить векторы так, чтобы их углы с осью абсцисс соответствовали начальным фазам.

Для построения изображающих векторов можно использовать любую координатную систему на плоскости, однако наиболее удобной для проведения расчетов является комплексная плоскость (рис. 2 в)). В этом случае изображающий вектор A_m сопоставляется с комплексным числом и его можно определить четырьмя различными способами или формами записи:

алгебраическая форма - A_m = p + jq соответствует записи комплексного числа в виде вещественной p = ReA и мнимой q = ImA составляющих (в отличие от математики, в электротехнике буквой i обозначают ток, поэтому мнимую единицу принято записывать символом j);

тригонометрическая форма - A_m = A_m(cosy _a+jsin y _a) является результатом записи вещественной и мнимой составляющих через модуль A_m и аргумент комплексного числа y _a в виде p= A_mcosy _a и q= A_msiny _a ;

показательная форма - A_m = A_m e ^jy a получается применением к тригонометрической форме формулы Эйлера cosy _a+jsin y _a = e ^jy a ;

полярная форма - A_m = A_m Р y _a является краткой записью модуля и аргумента комплексного числа и не может использоваться для математических операций с комплексными числами.

Между различными формами записи комплексных чисел или изображающих векторов существуют очевидные соотношения, которые для наглядности сведены в таблицу.

Таблица 1.

Формы записи	A_m = p + jq	A_m=A_m(cosy_a+jsiny_a)	A_m = A_me ^jy a
A_m = p + jq	-	p= A_mcosy _a q= A_msiny _a	p= A_mcosy _a q= A_msiny _a
A_m =A_m(cosy_a+jsiny_a)		-	A_m = A_m y _a=_{y a}
A_m = A_me ^jy a		A_m = A_m y _a=_{y a}	-

Комплексное число A_m называется комплексной амплитудой. Пользуясь тем, что амплитудные и действующие значения связаны между собой константой, можно ввести понятие комплексного действующего значения A , как вектора, модуль которого равен действующему значению соответствующей величины. Мнимая составляющая этого вектора, если его привести во вращение, не является исходной синусоидальной функцией, но для расчетов комплексные действующие значения имеют большое значение.

Замена синусоидальных функций a(t) комплексными числами и изображающими их векторами A позволяет перейти от тригонометрических функций времени к алгебраическим. При этом исходные синусоидальные функции времени можно считать оригиналами, а комплексные числа и векторы их изображениями или символами. Поэтому метод расчета электрических цепей, использующий такое представление функций называется символическим.

Любой математической операции в области оригиналов будет соответствовать некоторая операция в области изображений. Без доказательства сведем в таблицу основные математические операции над оригиналами и изображениями, представляя последние в двух формах: аналитической и графической, т.е. в виде аналитических выражений и соответствующих операций с векторами.

Таблица 2.

Оригинал	Изображение
a(t)=A_msin(w t+y _a)	A=p+jq=Ae ^jya
CЧ a(t)=СЧ A_msin(w t+y _a)	CЧ A=C(p+jq)=CЧ Ae ^jya
b(t)=a₁(t)+a₂(t)	B=A₁+A₂= =(p₁+p₂)+j(q₁+q₂)
b(t)=a₁(t)-a₂(t)	B=A₁-A₂= =(p₁-p₂)+j(q₁-q₂)
b(t)=a₁(t)Ч a₂(t)

b(t)=[a(t)]ⁿ	B=Aⁿ= Aⁿe ^jnya
	B=jw A= w Ч Ae ^j(y a+p /2)

Таким образом, умножение на константу оригинала соответствует умножению на эту константу модуля изображения, а в графической форме - изменению длины вектора.

Сложение оригиналов соответствует операции сложения комплексных чисел изображений или сложению изображающих векторов. Для операции сложения комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму. Вектора можно складывать по правилу параллелограмма или пристраивая к концу вектора одного слагаемого вектор другого.

Вычитание векторов также можно производить двумя способами. Можно сложить уменьшаемое с противоположно направленным вектором вычитаемого или построить вектор разности между концами векторов.

Операции умножения оригиналов соответствует умножение комплексных чисел изображений или построение вектора произведения, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент - сумме аргументов сомножителей. Умножение комплексных чисел нужно производить в показательной форме.

Взятию производной или интеграла от синусоидальной функции времени в области изображений соответствует умножение или деление на jw комплексного числа изображения исходной функции. На комплексной плоскости это соответствует изменению длины исходного вектора и поворот его на 90° в положительную или отрицательную сторону.

При операциях с комплексными числами и изображающими их векторами большую роль играют числа, модуль которых равен единице. Они называются операторами поворота. Как следует из таблицы 2, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются. На комплексной плоскости сложению аргументов соответствует операция поворота вектора множимого на угол равный аргументу множителя. Если модуль множителя равен единице, то результирующий вектор не изменит своей длины, а просто повернется относительно исходного положения на соответствующий угол.

Наиболее распространенными операторами поворота являются числа 1, j , -1 и -j . Результаты умножения произвольного комплексного числа A на эти числа показаны в таблице 3.

E		EЧ A
1	e^j0	Ae ^jy
j	e^jp/2	Ae ^j(y +p /2)
-1	e^jp	Ae ^j(y ± p )
-j	e- ^jp/2	Ae ^j(y - p /2)

Для исследования взаимных отношений различных величин, векторы токов, напряжений и ЭДС строятся совместно на одной комплексной плоскости и такая совокупность векторов называется векторной диаграммой.

к оглавлению

Знаете ли Вы, что только в 1990-х доплеровские измерения радиотелескопами показали скорость Маринова для CMB (космического микроволнового излучения), которую он открыл в 1974. Естественно, о Маринове никто не хотел вспоминать. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира