Реальная физика   ТОЭЭ   ТЭЦ   РЭКТ   ТПОИ   ЭИ  

Теория автоматического управления

Частотные методы оценки качества

1. Теоретическое обоснование

Частотные методы основаны на привычном для инженеров графическом изображении динамических характеристик, которые можно снять экспериментально, поэтому они находят широкое применение. В частности зная АФЧХ разомкнутой САУ Wp(j), можно построить АФЧХ замкнутой САУ

 

Wз(j) = = Pз() + jQз(),

 

а по ней - требуемую для частотных методов вещественную ЧХ замкнутой САУ Pз(). Зная ВЧХ замкнутой САУ, можно приближенно построить переходную характеристику САУ h(t), которую снять экспериментально очень трудно, и по ней определить показатели качества управления.

Теоретическое обоснование этого в том, что любую функцию, в том числе и единичную ступенчатую, можно разложить в ряд Фурье:

 

1(t) = A0 + Ak1cos(kt) + Ak2sin(kt)].

 

Так как замкнутая САУ линейна, то при подаче на вход суммы сигналов с выхода снимается сигнал, равный сумме реакций на каждый из входных сигналов. Входному сигналу ui(wi,t) на выходе будет соответствовать составляющая выходного сигнала yi(i,t) = W(ji)ui(i,t), тогда

 

 

h(t) = = A0W(0) + (jkw)[Ak1cos(kwt) + Ak2sin(kwt)].

 

Преобразование этого выражения приводит к двум равнозначным формулам определения h(t) через составляющие ВЧХ:

 

; ,

 

где P() и Q() - вещественная и мнимая части АФЧХ замкнутой САУ. Предпочтение обычно оказывают первой формуле, хотя с одинаковым успехом можно использовать и вторую.

Точно вычислить эти интегралы можно только с помощью ЭВМ, но в практике нашел широкое применение приближенный способ построения переходной характеристики на основе линейной аппроксимации ВЧХ замкнутой САУ, который называется метод трапеций. Прежде, чем рассматривать этот метод, рассмотрим без доказательства основные соотношения между ВЧХ замкнутой САУ и ее переходной характеристикой.

 

13.2. Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой

1. Начальное значение ВЧХ P(0) равно установившемуся значению переходной характеристики ст = P() = P(0).

 

 

2.  САУ с вогнутой ВЧХ (рис.97а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис.97б кривая 1).

3.  САУ с трапециидальной ВЧХ (рис.97а кривая 2, такую ВЧХ можно аппроксимировать трапецией) имеет апериодическую переходную характеристику (рис.97б кривая 2), причем величина перерегулирования smax не превышает 18%.

4. Кривые 3 и 4 на рис.97а соответствуют колебательной переходной характеристике (рис.97б кривая 3). Величина перерегулирования smax тем больше, чем больше отношение P()max/P(0). Если это отношение стремится к бесконечности, то есть имеет место разрыв ВЧХ, то переходная характеристика приобретает вид незатухающих колебаний и САУ переходит на границу устойчивости. Величину перерегулирования можно приблизительно вычислить исходя из соотношения

 

smax < .

 

Наличие отрицательного экстремума у ВЧХ (кривая 4) свидетельствует о повышенной колебательности системы.

5.  Время переходного процесса tпп можно оценить приблизительно по виду ВЧХ без построения кривой h(t). Оно определяется полосой частот wп, при которых P() > 0.2P(0) (рис.98). п называют интервалом положительности P(). При этом всегда tпп >p/п. Для кривой 1 рис.97а: tпп4/п. Для кривой 2: tпп(1..4)4/п. Для кривых 3 и 4 коэффициент пропорциональности больше, причем он тем больше, чем больше отношение P()max/P(0).

 

13.3. Метод трапеций

 

Этот метод основан на свойствах ВЧХ, следующих из полученной ранее формулы, которые мы рассмотрим без доказательств.

1. Свойство линейности: если ВЧХ можно представить суммой  P() = SPi(), то каждой составляющей Pi() будет соответствовать составляющая переходной характеристики

 

 

,

 

при этом h(t) = (рис.99а). Поэтому, если ВЧХ имеет сложную форму, ее можно представить суммой трапециидальных ВЧХ, примыкающих к вертикальной оси. Затем все трапеции перерисовывают, перенося их основания на горизонтальную ось (рис.99б). Каждой такой трапеции соответствует своя составляющая переходной характеристики hi(t), имеющая апериодический характер (рис.99в). Результирующая кривая строится суммированием данных составляющих.

2. Если умножить P() на постоянный множитель а, то соответствующая ей h(t) также умножается на а. То есть, чем выше ВЧХ, тем выше и переходная характеристика (рис.100).

3. Если аргумент w в выражении ВЧХ P() умножить на постоянный множитель а, то аргумент в h(t) будет делиться на это число, то есть

 

.

То есть переходный процесс в случае P(a) будет протекать в а раз быстрее, чем в случае P() (рис.101).

Рассмотрим трапециидальную ВЧХ (рис.102а). Она характеризуется коэффициентом наклона k = 12. Под единичной трапецией (рис.102б) понимают трапецию, две стороны которой совпадают с осями координат и равны по 1 в соответствующих масштабах; наклон k может быть различным: P1() = .

Подставляя это определение в выражение для определения h(t) можно вычислить кривую переходного процесса, соответствующую единичной трапециидальной ВЧХ. Эти расчеты были проделаны и составлены таблицы hk -функций.

Для любой трапециидальной ВЧХ, на которые разбита реальная ВЧХ (рис.99б), можно построить подобную ей единичную трапецию со значением k = 12, где 1 - частота, соответствующая перелому реальной трапеции, 2 - основание трапеции реальной ВЧХ. Для данной единичной трапеции по таблице hk-функций строят кривую hk(k,t), где t - время. Затем, используя свойства 2 и 3 масштабирования ВЧХ и переходной характеристики строят кривую переходного процесса, соответствующего данной трапециидальной ВЧХ. Причем оба описанных процесса можно совместить: сначала задаются моментом времени t, для него по таблице находят значение hk(k,t), потом умножают это значение на P(0) (масштабирование по вертикальной оси) и откладывают полученное значение на графике h(t) для времени t = t/2 (масштабирование по горизонтальной оси). Строя таким образом точки для различных моментов времени получают кривую

 

hi(t/2) = P(0)hk(k,t).

 

Данный алгоритм удобно оформить в таблицу:

 

t

hk(k,t)

t = t/2

hi(t) = P(0)hk(k,t)

.....

.....

.....

.....

 

После суммирования составляющих переходного процесса, соответствующих каждой трапеции, получают реальную характеристику h(t).

Описанный метод построения переходной характеристики называется методом трапеций.

Контрольные вопросы

  1. Какую частотную характеристику используют для оценки качества управления САУ?
  2. Какому значению на переходной характеристике соответствует точка ВЧХ при = 0?
  3. Какую форму имеет кривая переходного процесса САУ с вогнутой ВЧХ?
  4. Какую форму имеет кривая переходного процесса САУ с трапециидальной ВЧХ?
  5. Какую форму имеет кривая переходного процесса САУ с ВЧХ, имеющей экстремум?
  6. Как оценить время переходного процесса по виду ВЧХ?
  7. В чем состоит метод трапеций?
  8. Как используется в методе трапеций свойство линейности?
  9. Как изменится кривая переходного процесса, если ВЧХ растянуть вдоль вертикальной оси?
  10.  Как изменится кривая переходного процесса, если ВЧХ растянуть вдоль горизонтальной оси?
  11.  Что называется единичной трапецией?
  12.  Сформулируйте алгоритм построения переходной характеристики в методе трапеций?
CAD   ТПОИ   ЭИ   Эконометрика   к библиотеке  

Знаете ли Вы, что, как ни тужатся релятивисты, CMB (космическое микроволновое излучение) - прямое доказательство существования эфира, системы абсолютного отсчета в космосе, и, следовательно, опровержение Пуанкаре-эйнштейновского релятивизма, утверждающего, что все ИСО равноправны, а эфира нет. Это фоновое излучение пространства имеет свою абсолютную систему отсчета, а значит никакого релятивизма быть не может. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров.
10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution