Теория автоматического управления

Частотные критерии устойчивости

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

1. Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде

D(p) = a₀(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = _i + ji = |p_i|e^jarg(pi),

где arg(p_i) = arctg(i/a_i) + k,

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p_i будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j, а характеристический полином принимает вид:

D(j) = a₀(j - p₁)(j - p₂)...(j - p_n).

При этом концы векторов j - p_i будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от - до + , то каждый вектор j - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.68г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(j) = |D(j)|e^jarg(D(j)),

где |D(j)| = a₀|j - p₁||j - p₂|...|j - p_n|,

arg(D(j)) = arg(j - p₁) + arg(j - p₂) + .. + arg(j - p_n).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j) при изменении от - до + равен

= (n - m) - m,

или при изменении от 0 до + получаем

= (n - 2m)(/2).

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

2. Критерий устойчивости Михайлова

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j) составит

= n/2.

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j) при изменении частоты от 0 до + повернется на угол n/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = a_n, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j) представляют суммой вещественной и мнимой составляющих:

D(j) = a₀(j - p₁)(j - p₂)...(j - p_n) = a₀(j)ⁿ + a₁(j)^{n
- 1} + ... + a_n = ReD(j) + jImD(j),

где

ReD(j) = a_n - a_{n - 2}² + a_{n- 4} ⁴ - ...,

ImD(j) = a_{n - 1} - a_{n - 3}³ + a_{n- 5} ⁵ - ....

Меняя от 0 до по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией.

3. Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис.70). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.

Передаточная функция разомкнутой САУ:

W_p(p) = W_p(p)/D_p(p) = > уравнение динамики: y(t) = e(t),

или

D_p(p)y(t) = K_p(p)e(t).

Здесь D_p(p) - характеристический полином разомкнутой САУ. То есть по виду корней уравнения D_p(p) = 0 можно судить об устойчивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об устойчивости замкнутой САУ.

Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздействие u = 0, тогда на вход первого звена САУ подается сигнал

e(t) = u(t) - y(t) = - y(t).

То есть

D_p(p)y(t) = K_p(p)( - y(t)),

следовательно уравнение замкнутой САУ:

(D_p(p) + K_p(p))y(t) = 0.

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой САУ:

D_з(p) = D_p(p) + K_p(p) = 0.

По виду его корней уже можно судить об устойчивости замкнутой САУ.

Воспользуемся вспомогательной функцией:

F(j) = 1 + W_р(j) = .

По сути дела она представляет собой АФЧХ разомкнутой САУ, сдвинутую на единицу вправо. Степени полиномов D_з(j) и D_p(j) равны n. Эти полиномы имеют свои корни p_зi и p_pi, то есть можно записать:

F(jw) = .

Каждую разность в скобках можно представить вектором на комплексной плоскости, конец которого скользит по мнимой оси (рис.63в). При изменении от - до + каждый из векторов j - p_i будет поворачиваться на угол +p, если корень левый и -p, если корень правый.

Пусть полином Dз(jw) имеет m правых корней и n - m левых, а полином D_p(j) имеет g правых корней и n - g левых. Тогда суммарный угол поворота вектора функции F(j) при изменении частоты от - до + :

p[(n - m) - m)] - p[(n - g) - g] = 2p(g - m).

Если замкнутая САУ устойчива, то m = 0, тогда суммарный поворот вектора F(j) при изменении от - до + должен быть равен 2g, а при изменении от 0 до + он составит 2g/2.

Отсюда можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая САУ неустойчива и имеет g правых корней, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор F(j) при изменении от 0 до + охватывал начало координат в положительном направлении g/2 раз, то есть АФЧХ разомкнутой САУ должна охватвать g/2 раз точку ( - 1, j0).

На рис.71а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис.71б - замкнутая САУ неустойчива.

На рис.71в и 71г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при 0 уходит в бесконечность.

В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса.

Достоинство. Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

Контрольные вопросы

Что называется частотными критериями устойчивости САУ?
В чем преимущество частотных критериев устойчивости перед алгебраическими:
Сформулируйте принцип аргумента.
Сформулируйте критерий устойчивости Михайлова.
Поясните каждый из годографов на рис.69. Как вы судите об устойчивости соответствующих САУ?
Как из годографов на рис.69 соответствуют САУ, находящимся на границе устойчивости?
Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста.
Поясните, являются ли устойчивыми САУ, АФЧХ которых в разомкнутом состоянии представлены на рис.71. Почему?
В чем особенность использования критерия Найквиста для астатических САУ?
Как из годографов на рис.71 соответствуют САУ, находящимся на границе устойчивости?

CAD ТПОИ ЭИ Эконометрика к библиотеке

Знаете ли Вы, что в 1965 году два американца Пензиас (эмигрант из Германии) и Вильсон заявили, что они открыли излучение космоса. Через несколько лет им дали Нобелевскую премию, как-будто никто не знал работ Э. Регенера, измерившего температуру космического пространства с помощью запуска болометра в стратосферу в 1933 г.? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира