Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал
то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания
с той же частотой 
,
но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты
возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы.
Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного
сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы
с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.
Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики
(aоpn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an)y = (bоpm + b1pm-1 + ... + bm)u.
Учтем, что
а значит
pnu = pnUmejwt = Um (jw)nejwt = (jw)nu.
Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:
По аналогии с передаточной функцией можно записать:
.
W(j), равная
отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому
закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что
она может быть получена путем простой замены p на
W(j) есть
комплексная функция, поэтому:
где P() -
вещественная ЧХ (ВЧХ); Q()
- мнимая ЧХ (МЧХ); А()
- амплитудная ЧХ (АЧХ): 
()
- фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного
сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:
; 
Если W(j)
изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от
0 до + 
его конец будет
вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j),
или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).
Ветвь АФЧХ при изменении
от - до 0 можно получить
зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.
В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
(рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L()
и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ().
Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:
ЛАЧХ получают из первого слагаемого,
которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный
логарифм, а десятичный, то есть L()
= 20lgA().
Величина L()
откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на
10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического
сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10
раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как
По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть
единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой
интервал называется декадой. Так как lg(0) = - ,
то ось ординат проводят произвольно.
ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом
по оси . Величина
()
откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев
она не выходит за пределы: 
+ .
ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.
Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики.
Для этого необходимо подставить в нее j
вместо p, получим АФЧХ W(j).
Затем надо выразить из нее ВЧХ P()
и МЧХ (Q().
После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A()
и ФЧХ (),
а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA()
(ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).
Передаточная функция:
W(p) = k.
)
= k.
) = k.
) = 0.
) = k.
() = 0.
) = 20lgk.
Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.
Передаточная функция:
Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть
) = 
.
)
= 0.
)
= - 1/.
)
= 1/.
()
= - /2.
)
= 20lg(1/)
= - 20lg().
ЧХ показаны на рис.51. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе
на 90о. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и
уменьшается до нуля при росте частоты (звено "заваливает" высокие
частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L()
= 0 при = 1. При увеличении частоты
на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен -
20 дб/дек (децибел на декаду).
При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:
;
;
;
;
()
= 1 - 2
= - arctg(T);
;
)
= 20lg(A())
= - 10lg(1 + (T)2).
Здесь A1 и A2 - амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; 1
и 2 - аргументы
числителя и знаменателя. ЛФЧХ:
ЧХ показаны на рис.52. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке
P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при
< 1 = 1/T можно
пренебречь (T)2
выражении для L(),
то есть ) 
-
10lg1 = 0.. >1
пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть
- 20lg(wT). = 1.
ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота,
тем меньше искажения сигнала по фазе) и к - /2
при возрастании до бесконечности.
Перегиб в точке = 1
при ()
= - /4. ЛФЧХ всех апериодических
звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным
сдвигом вдоль оси частот.
При k = 1 передаточная функция звена: 
.
В виду сложности вывода выражений для
частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.53.
Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена до сопрягающей частоты 1
= 1/T1
Реальная ЛАЧХ при 1
.
Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые
приводятся в справочниках. В предельном случае =
0 получаем консервативное звено, у которого при 1
ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к - 180о. ЛФЧХ можно построить с помощью шаблона, но для этого нужен набор шаблонов для разных коэффициентов демпфирования. При уменьшении коэффициента демпфирования АФЧХ приближается к оси абсцисс и в пределе у консервативного звена она вырождается в два луча по оси абсцисс, при этом фаза выходных колебаний скачком меняется от нуля до - 180о при переходе через сопрягающую частоту (рис.54).
При построении ЧХ некоторых звеньев можно использовать “правило зеркала”: при k = 1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси. Так на рис.55 изображены ЧХ идеального дифференцирующего и идеального форсирующего звеньев.
Если 
1,)
при всех значениях
должна быть увеличена в k раз, то есть )
= kA1().)
= 20lgA() = 20lgkA1()
= 20lgk + 20lgA1(). 1
Для примера на рис.56 приведены частотные
характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического
звена с k = 1 поднята вверх на 20lg10 = 20.
Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.
Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").
Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.
Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.
Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
|
|
 |
