КОРРЕЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ

Предельный страх и предельный пыл храбрости одинаково расстраивают желудок и вызывают понос.

Мишель Монтень. Французский юрист-мыслитель, XVI в.

Вот это номер! Две функции имеют стопроцентную корреляцию с третьей и ортогональны друг другу. Ну и шуточки были у Всевышнего при сотворении Мира.

Анатолий Пышминцев. Новосибирский геофизик Уральской школы, ХХ в.

Содержание.

Введение.

8.1. Автокорреляционные функции сигналов. Понятие автокорреляционных функций (АКФ). АКФ сигналов, ограниченных во времени. Функции автоковариации (ФАК). АКФ периодических, дискретных и кодовых сигналов.

8.2. Взаимнокорреляционные функции сигналов (ВКФ).

8.3. Спектральные плотности корреляционных функций. Спектральная плотность АКФ. Интервал корреляции сигнала. Спектральная плотность ВКФ.

введение

Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов – ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений.

В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.

Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

Заметим, что в терминах "корреляция" и "ковариация" в настоящее время существует изрядная путаница. В иностранной литературе термин "ковариация" применяется к центрированным функциям, а "корреляция" – к произвольным. В отечественной литературе, и особенно в литературе по сигналам и их обработке, довольно часто применяется прямо противоположная терминология. Однако при переводах иностранной литературы терминология, как правило, не изменяется, и начинает все шире проникать в отечественную литературу. Принципиального значения это не имеет, но при знакомстве с литературными источниками стоит обращать внимание на принятое назначение данных терминов.

При разработке настоящих лекций было принято решение использовать общепринятую международную терминологию, как согласованную по понятиям с основными положениями теории вероятностей и математической статистики.

8.1. Автокорреляционные функции сигналов [1,25].

Понятие автокорреляционных функций (АКФ) сигналов. АКФ (correlation function, CF) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B_s(t) =s(t) s(t+t) dt = б s(t), s(t+t)с = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (8.1.1)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:

B_s(0) =s(t)² dt = E_s.

АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (8.1.1):

B_s(t) = s(t) s(t+t) dt = s(t-t) s(t) dt = B_s(-t).

Максимум АКФ, равный энергии сигнала при t=0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):

б s(t), s(t+t)с = ||s(t)||Ч ||s(t+t)||Ч cos j(t),

cos j(t) = 1 при t = 0, б s(t), s(t+t)с = ||s(t)||Ч ||s(t)|| = E_s,

cos j(t) < 1 при t № 0, б s(t), s(t+t)с = ||s(t)||Ч ||s(t+t)||Ч cos j(t) < E_s.

Рис. 8.1.1.

В качестве примера на рис. 8.1.1 приведены два сигнала – прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. Знак +t в выражении (8.1.1) означает, что при увеличении значений t от нуля копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным для построения вычислительных алгоритмов является сдвиг копии сигнала вправо по оси аргументов, т.е. применение в выражении (8.1.1) функции копии s(t-t):

B_s(t) = s(t) s(t-t) dt. (8.1.1')

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

= 0.

АКФ, вычисленная по центрированному значению сигнала s(t), представляет собой автоковариационную функцию сигнала:

C_s(t) =[s(t)-m_s][s(t+t)-m_s] dt, (8.1.2)

где m_s – среднее значение сигнала. Ковариационные функции связаны с корреляционным функциями достаточно простым соотношением:

C_s(t) = B_s(t) - m_s².

АКФ сигналов, ограниченных во времени. На практике обычно исследуются сигналы, заданные на определенном интервале [a, b], при этом вычисление АКФ производится с нормировкой на длину интервала [a, b]:

B_s(t) =s(t) s(t+t) dt. (8.1.3)

АКФ может быть вычислена и для слабозатухающих сигналов с бесконечной энергией, как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала задания сигнала к бесконечности:

B_s(t) =. (8.1.4)

АКФ по данным выражениям имеет физическую размерность мощности, и равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии.

Функции автоковариации (ФАК) вычисляются аналогично, по центрированным значениям сигнала. Замечательной особенностью этих функций являются их простые соотношения с дисперсией s_s² сигналов (квадратом стандарта - среднего квадратического отклонения значений сигнала от среднего значения). Как известно, значение дисперсии равно средней мощности сигналов, откуда следует:

|C_s(t)| ≤ s_s², C_s(t=0) = s_s². (8.1.5)

Значения ФАК, нормированные на значение дисперсии, изменяются в интервале от -1 до 1 и представляют собой функцию автокорреляционных коэффициентов:

r_s(t) = С_s(t)/С_s(0) = С_s(t)/s_s². (8.1.6)

Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией. В силу нормировки ее значения не зависят от единиц (масштаба) представления значений сигнала s(t) и характеризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига t между отсчетами сигнала. Так, например, для шумовых сигналов при полной статистической независимости отсчетов по независимой переменной, значение r_s(t) стремится к нулю при t ≠ 0, и стремится к 1 при t ® 0.

АКФ периодических сигналов. Энергия периодических сигналов бесконечна, поэтому АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

B_s(t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt. (8.1.7)

Математически более строгое выражение:

B_s(t) =. (8.1.8)

При t=0 значение нормированной на период АКФ равно средней мощности сигналов в пределах периода. При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(w₀t+j₀) при T=2p/w₀ имеем:

B_s(t) = A cos(w₀t+j₀) A cos(w₀(t-t)+j₀) = (A²/2) cos(w₀t).

Полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ. С помощью функций автокорреляции можно проверять наличие периодических свойств в любых произвольных сигналах.

АКФ дискретных сигналов. При интервале дискретизации данных Dt = const вычисление АКФ выполняется по интервалам Dt = Dt и обычно записывается, как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов nDt:

B_s(n) = Dts_kЧs_k-n. (8.1.9)

Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…N, а вычисление дискретной АКФ выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов по формуле:

B_s(n) = s_kЧs_k-n. (8.1.10)

Множитель N/(N+1-n) в данной функции является поправочным коэффициентом на постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений (от N до N-n) по мере увеличения сдвига n. Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммирования средних значений.

Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно мощности дискретного сигнала.

Кодовые сигналы являются разновидностью дискретных сигналов. На определенном интервале кодового слова МЧ Dt они могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и –1. При выделении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считаются такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых минимальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика. К числу таких кодов относится код Баркера, приведенный в таблице 8.1. Как видно из таблицы, амплитуда центрального пика кода численно равна значению М, при этом амплитуда боковых осцилляций при n № 0 не превышает 1.

Таблица 8.1.

M	Сигнал Баркера		АКФ сигнала
2		1, -1		2, -1
3		1, 1, -1		3, 0, -1
4		1, 1, 1, -1		4, 1, 0, -1
		1, 1, -1, 1		4, -1, 0, 1
5		1, 1, 1, -1, 1		5, 0, 1, 0, 1
7		1, 1, 1, -1, -1, 1, -1		7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
11		1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1		11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
13		1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1		13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

8.2. Взаимные корреляционные функции сигналов [1,19].

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (8.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

B_su(t) =s(t) u(t+t) dt. (8.2.1)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|B_su(t)| Ј ||s(t)||Ч ||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-t в формуле (8.2.1), получаем:

B_su(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = B_us(-t).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B_su(t) № B_su(-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 8.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (8.2.1) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B₁₂(t)=0. Максимум В₁₂(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

Одни и те же значения ВКФ по формулам (8.2.1) и (8.2.1') наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал t сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B_su(t) = B_us(-t).

На рис. 8.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Рис. 8.2.2. Взаимноковариационные функции сигналов.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией B_su. Вместе с тем функция B_su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B_sv на рис. 8.2.2. Если поменять местами выражения функций в (8.2.1), то новая функция B_vs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией B_sv.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Количественный показатель степени сходства сигналов s(t) и u(t) - функция взаимных корреляционных коэффициентов. Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):

r_su(t) = С_su(t)/s_ss_v. (8.2.2)

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах t может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах t, на которых наблюдаются нулевые значения r_su(t), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

8.3. Спектральные плотности корреляционных функций [1,25].

Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений.

В соответствии с выражением (8.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сигнала и его копии, сдвинутой на интервал t, при -Ґ < t < Ґ :

B_s(t) = б s(t), s(t-t)с .

Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности:

б s(t), s(t-t)с = (1/2p)S(w)S_t*(w) dw.

Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал t отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-jwt), а для сопряженного спектра на множитель exp(jwt):

S_t*(w) = S*(w)Ч exp(jwt).

С учетом этого получаем:

B_s(t) = (1/2p)S(w) S*(w)Ч exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|² exp(jwt) dw. (8.3.1)

Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

B_s(t) Ы |S(w)|²= W_s(w). (8.3.2)

Аналогичный результат может быть получен и прямым преобразованием Фурье автокорреляционной функции:

B_s(t) exp(-jwt) dt =s(t) s(t-t) exp(-jwt) dt dt =

=s(t) exp(-jwt)s(t-t) exp(jw(t+t)) d(t+t) dt = S(w) S*(w) = W_s(w).

Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:

|S(w)|²= B_s(t)Ч exp(-jwt) dt. (8.3.3)

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса – знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате ± t порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2t с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 8.3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от –Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(wT/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, и появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис. 8.3.2.

Рис. 8.3.2. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.

Как известно, спектры мощности сигналов не имеют фазовой характеристики и по ним невозможно восстановление сигналов. Следовательно, АКФ сигналов, как временное представление спектров мощности, также не имеет информации о фазовых характеристиках сигналов и восстановление сигналов по АКФ невозможно. Сигналы одной формы и сдвинутые во времени имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

Перепишем уравнение (8.3.1) в следующей форме

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w)Ч exp(jwt) dw,

и подставим в это выражение значение t=0. Полученное равенство хорошо известно и называется равенством Парсеваля

s²(t) dt = (1/2p)|S(w)|² dw.

Оно позволяет вычислять энергию сигнала, как по временной, так и по частотной области.

Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр с верхней граничной частотой до w_в (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 8.3.3 с f_в=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

B_s(t) = (W_o/p)cos(wt) dw = (W_ow_в/p) sin(w_вt)/(w_вt).

Рис. 8.3.3.

Интервалом корреляции сигнала t_к считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра с верхней граничной частотой w_в первое пересечение нуля соответствует sinс(w_вt) = 0 при w_вt = p, откуда:

t_к = p/w_в =1/2f_в. (8.3.4)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра w_в играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 8.3.3).

Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию W_q(w) со средним значением W_q(w) Ю s_q², где s_q² – дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до Ґ , АКФ шумов стремится к значению B_q(t) Ю s_q²при t Ю 0, B_q(t) Ю 0при t № 0, т.е. статистические шумы не коррелированны (t_к Ю 0).

Спектральная плотность ВКФ может быть получена на основании тех же соображений, что и для АФК, или непосредственно из формулы (8.3.1) заменой спектральной плотности сигнала S*(w) на спектральную плотность второго сигнала U*(w):

B_su(t) = (1/2p)S(w)U*(w)Ч exp(jwt) dw. (8.3.5)

Или, при смене порядка сигналов:

B_us(t) = (1/2p)U(w)S*(w)Ч exp(jwt) dw. (8.3.5')

Произведение S(w)U*(w) представляет собой взаимный энергетический спектр W_su(w) сигналов s(t) и u(t). Соответственно, U(w)S*(w) = W_us(w). Следовательно, как и АКФ, взаимнокорреляционная функция и спектральная плотность взаимной мощности сигналов связаны между собой преобразованиями Фурье:

B_su(t) Ы W_su(w) є W*_us(w). (8.3.6)

B_us(t) Ы W_us(w) є W*_su(w). (8.3.6')

В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения четности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:

U(w) = A_u(w) + j B_u(w), V(w) = A_v(w) + j B_v(w).

W_uv= A_uA_v+B_uB_v+j (B_uA_v- A_uB_v) = Re W_uv(w) + j Im W_uv(w),

и содержат определенную фазовую характеристику гармонических составляющих ВКФ, которой и формируется сдвиг максимума ВКФ.

На рис. 8.3.4 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.

Рис. 8.3.4. Формирование ВКФ.

Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В. Модуль спектра u(t) тождественен модулю S(w). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов W_su(w)= S(w)·U*(w). Как известно, при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы складываются, при этом для сопряженного спектра U*(w) фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (8.2.1) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t-t) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S(w) по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значений углов (без учета периодического сброса значений на 2p), а фазовые углы U*(w) по абсолютным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положительных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 8.3.4, вид С) является вычитание из фазовых углов S(w) значений углов U*(w), при этом фазовые углы спектра W_su(w) остаются в области отрицательных значений, что обеспечивает сдвиг всей функции ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси t на определенную величину (для одинаковых сигналов – на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начального положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы W_su(w) уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при этом функция B_su(t) смещается к нулевым значениям t, в пределе до обращения в АКФ (для одинаковых сигналах s(t) и u(t)).

При анализе дискретных данных и числовых рядов соответственно используется функция взаимной ковариации (ФВК):

C_su(n) = (s_k-)Ч (u_k+n-), (8.3.7)

Как известно для детерминированных сигналов, если спектры двух сигналов не перекрываются и, соответственно, взаимная энергия сигналов равна нулю, такие сигналы ортогональны друг другу. Связь энергетических спектров и корреляционных функций сигналов показывает еще одну сторону взаимодействия сигналов. Если спектры сигналов не перекрываются и их взаимный энергетический спектр равен нулю на всех частотах, то при любых временных сдвигах t друг относительно друга их ВКФ также равна нулю. А это означает, что такие сигналы являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.

литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

19. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. – М.: Мир, 1982. – 428 с.

25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203. – 608 с.

к оглавлению

Знаете ли Вы, что только в 1990-х доплеровские измерения радиотелескопами показали скорость Маринова для CMB (космического микроволнового излучения), которую он открыл в 1974. Естественно, о Маринове никто не хотел вспоминать. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира